第41講非齊次線性 線性代數(shù)59主講 大 教 April 第41講 April第41講非齊次線性 ：:@:

April第41講非齊次線性 線性代數(shù)59講受到 April4.4線性 第41講非齊次線性 第41講非齊次線性 觀看 + April第41講非齊次線性 第40講非齊次線性 April第41講非齊次線性 April 若xξ1,x則xξ1

第41講非齊次線性 Ax 2

若x則x

推廣：推廣：若xξ1x則xk1ξ1... 齊次線性 的解的線性組合仍是 的 第41講非齊次線性 :Ax

Ax 若xη1,xη2是(5)的解則x

若xx

是(5)的解，是 則xξ

Endof非齊次線性 第41講非齊次線性 xη1xη2 xη1+η2Ax=b A(η1η2)1η2bb2b

A(1(ηη)) 所以這兩個解的η1+η2)/2 April第41講非齊次線性 η1ηsAx=bs則這些解的x=(η1+…+ηs)/s證A((ηη)s1A(ηη 1ηη1(b 1(sb)b

April第41講非齊次線性 η1ηsAx=bs

(sumuptox=k1η1+…+ksη

A(kη1kηk11ηs

大

川April川第41講非齊次線性 設(shè)η1,…,ηs是非齊次線性 Ax=b的 平均x=k1η1+…+ksη 反之，設(shè) bAxA(kη1...kηsk11(k1...ks)bk1...ksb≠0

April

第41講非齊次線性 1η1,…,ηsAx=bsx=k1η1+…+ksη即組合系數(shù)之和為 (sumupto April第41講非齊次線性 2η1,…,ηsAx=bs。x=k1η1+…+ksηsAx=0。 即組合系數(shù)之和為0證設(shè)

A(1 k11...ksηsk1b...ksb b≠0

April第41講非齊次線性 2η1,…,ηs是非齊次線性方Ax=bsx=k1η1+…+ksηs是導(dǎo)出組Ax=0的解的充分必要條件是：k1+…+ks=0。

k1ks 則AxA(1ksηsk11ksηsk1b...ksb(k1...ks)b April第41講α2α,3α2α,α1α2α,3α2α,α12α2,α1α2 (A)1 (B)2(C3(D4解根據(jù)命題

April第41講非齊次線性 已知α1,α2是非齊次線性方 不同的解，則下列向量仍是Ax=b α

,

2α

α1

,

α2

)3

3

四四2

α22

April第41講已知α1,α2,α3是非齊次線性 Ax=b的αα,3ααα,3αα2α,2(αα 大學(xué) 3α15α22α3,α1α2(A)1 (B)2 (C)3(D4大解根據(jù)命題 大 April第41講非齊次線性 α1

α已知α1,αα已知α1,α2,α3是非齊次線性方Ax=b的三個不同的解，則下列向量是Ax=0的解αα,3αα2α,2(αα 3α5α2α,αα 123123

2α3

3α1α22α3α1α22(α1α3是Ax=0大

April第41講非齊次線性 3η1,…,ηsη是非齊次線性方程3η1,…,ηsη是非齊次線性方程Ax=bs+1個線性無關(guān)的解，η1-ηηs-η 由性質(zhì)3(第40講η1-ηηs-η第41講非齊次線性 η1-η,…,ηs-η是導(dǎo)出組 k1(η1η)...ksηsη)學(xué)學(xué)η1

sη

k1 η1,…,ηsηAx=η1,…,ηsηAx=bs+1η1(導(dǎo)出組Ax=0sη,…,ηsη

April4多解R(A4多解R(AR(Abrn Ax=0的 η*,η*,ξ1,…,ξnrη*, η*ξ1,…,η*ξnrAx=bn-則 April設(shè)設(shè)η*是非齊次線性 Ax=b的一個解ξ1,…,ξn-r是對應(yīng)齊次 Ax=0的基礎(chǔ)解系則(1η*,ξ1,ξnr線性無關(guān)；(2η*,η*+ξ1,…,η*ξnrAx=b的nr+1證

kη*kξ... nr 若 nr

(kξ...

nr n這說明η*是導(dǎo)出組Ax=0的解 所以k=0, ξ1,…,ξnr線性無關(guān)，k1knr第41η*,ξ1,…,ξn第41

April第41講非齊次線性 設(shè)η*是非齊次線性 Ax=b的一個解ξ1,…,ξn-r是對應(yīng)齊次 Ax=0的基礎(chǔ)解系則(1η*,ξ1,ξnr線性無關(guān)；(2η*,η*+ξ1,…,η*+ξnrAx=b的nr+1證 η*,η*+ξ1,…,η*+ξn-r是Ax=b kη*kη*ξ)... η* ) (k

...

η*kξ... 湛 湛，η*,ξ1,ξnrk1knr0k，η*,η*ξ1,…,η*ξnr第41講非齊次線性 命題4設(shè) Ax=b有無窮多解, R(A)=R(Ab)=r<nη*Ax=bξ1,…,ξnrAx=0的基礎(chǔ)解系, η*,ξ1,…,ξnr。η*,η*ξ1,…,η*ξnrAx=b。n-r+1 April April 第41講非齊次線性 下面說明Ax=b的任意n-r+1個線性無 April第41講非齊次線性 命題5設(shè)有 Ax=b, R(AR(Abrnη1,…,ηnr+1Ax=bn-r+1個線性無(由4Ax=b的確有n-r+1)，Ax=bxn-r+1x=k1η1+…+kn-r+1ηn- April第41講非齊次線性 齊次線性 Ax=b,R(A)=R(A,b)=r<nη1,…,ηnr+1Ax=bn-r+1平均x=k1η1+…+kn-r+1ηnr+1k1+…+kn- 因為x,η1,...,ηnr1是Ax=b的解

April第41講非齊次線性 因為x,η1,...,ηnr1是Ax=b的 xη1,...,xηnr1 大大設(shè)xkηknr

第41講非齊次線性 設(shè)xk1η1knr1ηnrbAxA(1...k11...knr1(k1...knr1)bb0k1...knr11

April第41講非齊次線性 命題5設(shè)有 Ax=b, R(AR(Abrnη1,…,ηnr+1Ax=bn-r+1Ax=b的任一解xn-r+1 平均：x=k1η1+…+kn-r+1ηn- 其中k1+…+kn-r+1=1 Ax=b的任意n-r+1個線性無關(guān)的 的 η1ηnr+1Ax=b由此可知：Ax=b的任意n- 個解向量都線性相關(guān) 第41講非齊次線性 η1,…,ηnr+η1,…,ηnr+1Ax=bnr1且設(shè)R(AR(Abrnnr ki1,ki 1（η11（η1ηnr+1Ax=bS

April 第41講 April第41講非齊次線性 例 已知β1,β2是非齊次線性方 Ax=b的 兩個不同的解，α1,α2是對應(yīng)齊次方大

April第41講非齊次線性 已知β1,β2是非齊次線性 解，α1,α2是對應(yīng)齊次 Ax=0的基礎(chǔ)解系， k1,k2是任意常數(shù)，則 Ax=b的通解必是 解(β1β2)2(β1β2)

AprilApril

第41講非齊次線性 已知β1,β2是非齊次線性 解，α1,α2是對應(yīng)齊次 Ax=0的基礎(chǔ)解系， k1,k2是任意常數(shù)，則 Ax=b的通解必是 α1α1α2β1β2)2都是導(dǎo)出組Ax=0(β1β2)2(β1β2)

April第41講非齊次線性 已知β1,β2是非齊次線性 解，α1,α2是對應(yīng)齊次 Ax=0的基礎(chǔ)解系， k1,k2是任意常數(shù)，則 Ax=b的通解必是 (β1β2)α1,α1

β2)

(β1β2)

平均仍是原方程的解l第41講非齊次線性 Ax=bAx=0k1k2α1,αAx=bAx=0k1k2α1,α2(C)(C)k1α1k2β1β2β1β2)2未必是Ax=bkα(ββ)2是Ax=0的 大 大

β2)

(β1β2)

April第41講非齊次線性 已知β1,β2是非齊次線性 解，α1,α2是對應(yīng)齊次 Ax=0的基礎(chǔ)解系， Ax=bk1kAx=b(D)kαk(ββ)(ββ) (β1β2)

β2)

(β1β2)

April第41講非齊次線性 已知β1,β2是非齊次線性方 Ax=b的 兩個不同的解，α1,α2是對應(yīng)齊次方 April第41講非齊次線性 A4x3η1,η2,η3是非齊次線性方Ax=β的三個線性無關(guān)的解，k1,k2為任意常數(shù)，則Ax=β的通解為

2

k(ηη (B)

(C)22

η22

April第41講非齊次線性 A4x3η1η2η3是非齊次線性方Ax=β的三個線性無關(guān)的解，k1,k2為Ax=β的通解為(A)η2 k(ηη (B)η2η3k(ηη (C)η2 k(ηη)k(ηη (D)η2η3k(ηη)k(ηη2121231η1,η2,η3是Axβ的3大η2η1η3η1是Ax=0的2大

April第41講非齊次線性 設(shè)A為4x3矩陣，η1,η2,η3是非齊次線性 Ax=β的三個線性無關(guān)的解，k1,k2Axβ(A)

2

12η1)不是Axβη22

Axβ

η2η1是Ax=0的解因為1,η,η3是Axβ的3η2η1η3η1是Ax=0的2 April第41講非齊次線性 A4x3η1,η2,η3是非齊次線性方Ax=β的三個線性無關(guān)的解，k1,k2為Ax=β的通解為

2

Axβη2η3

因為η1,η2,η3是Axβ的3η2η1η3η1是Ax=0的2 April第41講非齊次線性 設(shè)A為4x3矩陣，η1,η2,η3是非齊次線性 Ax=β的三個線性無關(guān)的解，k1,k2Axβη22

)

η22

Axβ是Ax=β的 η2η1,η3

第41講非齊次線性 A4x3η1,η2,η3Axβηη ηηAxβηη ηη η k k 不是Axβη2η3

η,ηηAx=0 因為η1,η2,η3Axβ的3η2η1η3η1Ax=0的2 April第41講非齊次線性 A4x3η1,η2,η3任意常數(shù)，則Axβ(A)η2任意常數(shù)，則Axβ(A)η2 k(ηη (B)η2η k(ηη (C)η2 k(ηη)k(ηη (D)η2 k(ηη)k(ηη April例5x1 x32x412x x

第41講非齊次線性 來 (上92 x2x x 性表示解向量η=(2,1,-1,-2)T。 2 1

12 1 2

5

21

April第41講非齊次線性 2 1 12 12 5 333 21 00331212 0111 000

x4

x12x2x4 xx x x

April第41講非齊次線性 x12x2x4x12x2x4

x2

x x4x

xx

x41 2x2x42

2 2x

1 0 02

x x 3x 3

1 20 41 4x 4

1 04

x2ξ1x4ξ2ηApril第41講非齊次線性 2

x

0

2x

x