5.4.1相位（角）裕度和增益裕度圖5-46的極坐標圖對于K值比較大時，系統(tǒng)可能不穩(wěn)定。當增益增大到確定值時，的軌跡通過-1+j0點。對于小的K值，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。的軌跡靠近-1+j0點的程度，可以用來度量穩(wěn)定程度(對條件穩(wěn)定系統(tǒng)不適用)。在實際系統(tǒng)中常用相位裕量和增益裕量表示。

5.4系統(tǒng)相對穩(wěn)定性1ba-110jr1/h若系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖：a點：但b點：但若a點沿著單位圓順時針轉(zhuǎn)過r角，則同時成立。若b點沿著負實軸向左移動到(-1,j0)點，則同時成立定義相角裕度為a點剪切頻率定義幅值裕度為b點相角交越頻率穩(wěn)定裕度的定義2相位裕度、相角裕度(PhaseMargin)設(shè)系統(tǒng)的剪切頻率(Gaincross-overfrequency)為相角裕度定義：開環(huán)頻率特性在剪切頻率處所對應(yīng)的相角與－1800之差，稱為相角裕度。即：相角裕度的含義：則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定。對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，假如開環(huán)相頻特性再滯后度。當

時，相位裕度為正值；為了使最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定，相位裕度必需為正。在極坐標圖上的臨界點:幅值為0分貝，相角為時，相位裕度為負值。當34增益裕度、幅值裕度(GainMargin)設(shè)系統(tǒng)的相位穿越頻率(Phasecross-overfrequency)定義幅值裕度為：幅值裕度對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，假如系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增大倍，則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定狀態(tài)。的含義是：若以分貝值表示，則有增益裕度為正值；

或正增益裕度表示系統(tǒng)是穩(wěn)定的；負增益裕度表示系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(最小相位系統(tǒng))若增益裕度為負值。若或56ba-110jr1/h若系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖：a點：但b點：但若a點沿著單位圓順時針轉(zhuǎn)過r角，則同時成立。若b點沿著負實軸向左移動到(-1,j0)點，則同時成立定義相角裕度為a點剪切頻率定義幅值裕度為b點相角交越頻率穩(wěn)定裕度的定義7StableSystemUnstableSystemBode圖上相位裕度與幅值裕度表示8StableSystemUnstableSystem9推斷系統(tǒng)穩(wěn)定的又一方法10一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為無窮大，因為這類系統(tǒng)的極坐標圖與負實軸不相交。因此，從理論上講，一階或二階系統(tǒng)不行能是不穩(wěn)定的。當然，一階或二階系統(tǒng)在確定意義上說只能是近似的，這是因為在推導(dǎo)系統(tǒng)方程時，忽視了一些小的時間滯后，因此它們不是真正的一階或二階系統(tǒng)。假如涉及這些小的滯后，則所謂的一階或二階系統(tǒng)可能是不穩(wěn)定的。對于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，增益裕度指出了系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益能夠增大多少。對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，增益裕度指出了為使系統(tǒng)穩(wěn)定，增益應(yīng)當削減多少。一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為多少？115.4.2關(guān)于相位裕度和增益裕度的幾點說明限制系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度是系統(tǒng)的極坐標圖對-1+j0點靠近程度的度量。這兩個裕度可以作為系統(tǒng)設(shè)計準則。僅用增益裕度和相位裕度，都不足以說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。為了確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，必需同時給出這兩個量。對于最小相位系統(tǒng)，只有當相位裕度和增益裕度都是正值時，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。負的裕度表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。適當?shù)南辔辉６群驮鲆嬖６瓤梢苑乐瓜到y(tǒng)中元件變更造成的不良影響，并且指明白頻率值。工程中為了得到滿足的性能，相位裕度應(yīng)當在之間，增益裕度應(yīng)當大于6分貝。12最小相位系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時G(jw)曲線過(-1,j0)點，該點：

同時成立-110j臨界穩(wěn)定的特點：13例5-9一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為K=1時系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度。要求通過增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕度20logh=20dB，相位裕度解：即

相位穿越頻率增益裕度14在處的開環(huán)對數(shù)幅值為15依據(jù)K=1時的開環(huán)傳遞函數(shù)

相位裕度增益穿越頻率截止頻率

16

由題意20logh=20dB知：

驗證是否滿足相位裕度的要求。依據(jù)的要求，則得：

不難看出，就能同時滿足相位裕度和增益裕度的要求。

1718例5-11設(shè)一單位反饋系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性如圖5-50所示(最小相位系統(tǒng))。寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性假如系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則求時的穩(wěn)態(tài)誤差。解：1920由于是最小相位系統(tǒng)，因而可通過計算相位裕度是否大于零來推斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由圖可知在處則得單位斜坡輸入時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

>>0系統(tǒng)穩(wěn)定215.6標準二階系統(tǒng)中階躍時間響應(yīng)與頻率響應(yīng)之間的關(guān)系在圖3-8所示的標準二階系統(tǒng)中，單位階躍響應(yīng)中的最大超調(diào)量可以精確地與頻率響應(yīng)中的諧振峰值聯(lián)系在一起。因此，從本質(zhì)上看，在頻率響應(yīng)中包含的系統(tǒng)動態(tài)特性與在時間響應(yīng)中包含的系統(tǒng)的動態(tài)特性信息是相同的。設(shè)截剪切頻率則有22

依據(jù)相位裕度的定義

上式說明相位裕度僅僅與阻尼比有關(guān)。

23圖5-51標準二階系統(tǒng)的相位裕度與阻尼比之間的關(guān)系24相位裕度與阻尼比干脆相關(guān)。對于標準二階系統(tǒng)，相位裕度與阻尼比之間的關(guān)系近似地用直線表示如下：因此，相位裕度相當于阻尼比。對于具有一對主導(dǎo)極點的高階系統(tǒng)，依據(jù)頻率響應(yīng)估計瞬態(tài)響應(yīng)中的相對穩(wěn)定性（即阻尼比）時，依據(jù)閱歷，可以應(yīng)用這個公式。對于小的阻尼比，諧振頻率與有阻尼自然頻率的值幾乎是相同的。因此，對于小的阻尼比，諧振頻率的值表征了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的速度。255.6.2截止頻率與帶寬(Cutofffrequencyandbandwidth)圖5-53截止頻率與系統(tǒng)帶寬當閉環(huán)頻率響應(yīng)的幅值下降到零頻率值以下3分貝時，對應(yīng)的頻率稱為截止頻率。對于系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)濾掉頻率大于截止頻率的信號重量，但是可以使頻率低于截止頻率的信號重量通過。閉環(huán)系統(tǒng)的幅值不低于-3分貝時，對應(yīng)的頻率范圍稱為系統(tǒng)的帶寬。26二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：頻率特性：由帶寬的定義得：27帶寬指標取決于下列因素：1、對輸入信號的再現(xiàn)實力。大的帶寬對應(yīng)于小的上升時間，即對應(yīng)于快速特性。粗略地說，帶寬與響應(yīng)速度成反比。2、對高