PAGEPAGE6空間直角坐標(biāo)系新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，了解空間直角坐標(biāo)系，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點的位置數(shù)學(xué)抽象、直觀想象2.掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示數(shù)學(xué)抽象、直觀想象我們知道，在直線上建立數(shù)軸后，就可以用一個數(shù)來刻畫點在直線上的位置；在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系之后，就可以用一對有序?qū)崝?shù)來刻畫點在平面內(nèi)的位置．[問題]怎樣才能刻畫空間中點的位置呢？知識點一空間直角坐標(biāo)系1．空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz；(2)相關(guān)概念：eq\a\vs4\al(O)叫做原點，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它們把空間分成八個部分．2．右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．eq\a\vs4\al()畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，所以三個坐標(biāo)平面把空間分成八個部分．知識點二空間向量的坐標(biāo)1．空間點的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，叫做點A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中eq\a\vs4\al(x)叫做點A的橫坐標(biāo)，eq\a\vs4\al(y)叫做點A的縱坐標(biāo)，eq\a\vs4\al(z)叫做點A的豎坐標(biāo)．2．空間向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，上式可簡記作a＝(x，y，z)．1．空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)有何特征？提示：x軸上的點的縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為0，即(x，0，0)．y軸上的點的橫坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為0，即(0，y，0)．z軸上的點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為0，即(0，0，z)．2．空間向量的坐標(biāo)和點的坐標(biāo)有什么關(guān)系？提示：點A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x，y，z)，那么向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)也為(x，y，z)．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)在空間中，過x軸，y軸的平面叫做Oxy平面．()(2)空間直角坐標(biāo)系中，在x軸上的點的坐標(biāo)一定是(0，b，c)的形式．()(3)空間直角坐標(biāo)系中，在Ozx平面內(nèi)的點的坐標(biāo)一定是(a，0，c)的形式．()(4)空間直角坐標(biāo)系中，點(1，eq\r(3)，2)關(guān)于Oyz平面的對稱點為(－1，eq\r(3)，2)．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．設(shè){i，j，k}是空間向量的一個單位正交基底，則向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐標(biāo)分別是________．答案：(3，2，－1)，(－2，4，2)3．在空間坐標(biāo)系中，點A(2，－1，2)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的投影坐標(biāo)為________．答案：(2，－1，0)求空間點的坐標(biāo)[例1](1)點P(－2，1，3)關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)是________，關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy的對稱點的坐標(biāo)是________；(2)如圖所示，四棱錐D-OABC中，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，若OD＝2，OA＝4，OC＝6，M是BD的中點，求點M的坐標(biāo)．(1)[解析]在空間直角坐標(biāo)系中，點P(－2，1，3)關(guān)于x軸的對稱點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)與豎坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，即(－2，－1，－3)；點P(－2，1，3)關(guān)于坐標(biāo)平面Oxy的對稱點的橫、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，即(－2，1，－3)．[答案](－2，－1，－3)(－2，1，－3)(2)[解]法一：點M在x軸，y軸，z軸上的射影分別為M1，M2，M3，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為2，3，1，所以點M的坐標(biāo)是(2，3，1)．法二：eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)[eq\o(OD,\s\up6(→))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))，所以點M的坐標(biāo)為(2，3，1)．eq\a\vs4\al()1．求點關(guān)于坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面對稱的點的坐標(biāo)，其規(guī)律是“關(guān)于誰對稱，誰不變”，如點(x，y，z)關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y，－z)，關(guān)于平面Oyz的對稱點是(－x，y，z)．2．求空間一點P的坐標(biāo)方法有兩個：(1)利用點在坐標(biāo)軸上的投影求解；(2)利用單位正交基底表示向量eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))的坐標(biāo)就是點P的坐標(biāo)．[跟蹤訓(xùn)練]如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2，PA＝4，則PD的中點M的坐標(biāo)為________．解析：由題意知PO＝eq\r(PA2－OA2)＝eq\r(PA2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)AB))\s\up12(2))＝eq\r(14)，點M在x軸、y軸、z軸上的射影分別為M1，O，M2，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別為－eq\f(\r(2),2)，0，eq\f(\r(14),2)，所以點M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0，\f(\r(14),2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0，\f(\r(14),2)))求空間向量的坐標(biāo)[例2]已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點，并且PA＝AD＝1.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)．[解]因為PA＝AD＝AB＝1，所以可設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝i，eq\o(AD,\s\up6(→))＝j(luò)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝k.因為eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)j＋eq\f(1,2)k，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).eq\a\vs4\al()用坐標(biāo)表示空間向量的步驟[跟蹤訓(xùn)練]在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點，以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\o(OA,\s\up6(→))，\f(1,2)\o(OB,\s\up6(→))，\f(1,4)\o(OO1,\s\up6(→))))為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(A1B,\s\up6(→))的坐標(biāo)．解：因為eq\o(DO,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))＝－(eq\o(OO1,\s\up6(→))＋eq\o(O1D,\s\up6(→)))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(OO1,\s\up6(→))＋\f(1,2)（\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))）))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OO1,\s\up6(→))，所以eq\o(DO,\s\up6(→))＝(－2，－1，－4)．因為eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA1,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(－4，2，－4).向量坐標(biāo)的廣義理解[例3]定義向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)如下：若p＝xa＋yb＋zc，則(x，y，z)叫做p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(2，1，－1)，則p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為________，在基底{2a，b，－c}下的坐標(biāo)為________．[解析]由條件知p＝2a＋b－c.設(shè)p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(x，y，z)，則p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，∵a，b，c不共面，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝1，,z＝－1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(1,2)，,z＝－1，))即p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)，－1))，同理可求得p在基底{2a，b，－c}下的坐標(biāo)為(1，1，1)．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)，－1))(1，1，1)eq\a\vs4\al()1．同一向量在不同基底下對應(yīng)的坐標(biāo)不同，當(dāng)空間一個基底確定之后，該向量的坐標(biāo)是唯一確定的，在沒有特殊說明情況下，求某向量的坐標(biāo)就認(rèn)為它的基底是單位正交基{i，j，k}．2．解答本例問題的關(guān)鍵是用所給的基底表示向量，根據(jù)新定義的向量的坐標(biāo)求解．其實質(zhì)仍然是空間向量基本定理的應(yīng)用．[跟蹤訓(xùn)練]空間四面體OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點，則eq\o(MN,\s\up6(→))在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為________．解析：∵點M在OA上，OM＝2MA，∴OM＝eq\f(2,3)OA，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,2)，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,2)，\f(1,2)))1．點P(3，0，2)在空間直角坐標(biāo)系中的位置是在()A．y軸上 B．Oxy面上C．Ozx面上 D．Oyz面上解析：選C因為P點的y坐標(biāo)為0，其他坐標(biāo)不為0，故點P(3，0，2)在Ozx面上．2．在空間直角坐標(biāo)系中，點P(－1，－2，－3)到平面Oyz的距離是()A．1 B．2C．3 D.eq\r(14)答案：A3．點P(1，1，1)關(guān)于Oxy平面的對稱點P1的坐標(biāo)為________；點P關(guān)于z軸的對稱點P2的坐標(biāo)為________．解析：點P(1，1，1)關(guān)于