課時追蹤檢測（二十二）平面向量數(shù)目積的物理背景及其含義層級一學業(yè)水平達標1．已知向量，知足||＝1，|b|＝4，且＝2，則a與b的夾角θ為( )abaa·bππA.6B.4ππC.3D.2分析：選C由題意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，因此θ＝π3.2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影為3，則等于()2a·b9A．3B.2C．21D.2分析：選B設a與b的夾角為θ.∵|a|cos3θ＝2，39∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×2＝2.3．已知|a|＝|b|＝1，a與b的夾角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c與d垂直，則k的值為()A．－6B．6C．3D．－3分析：選B∵c·d＝0，(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，2k＝12，∴k＝6.4．已知a，b知足|a|＝4，|b|＝3，夾角為60°，則|a＋b|＝( )A．37B．13C.37D.13分析：選C|＋|＝＋b2＝2＋2＋2abaaa·bb＝42＋2×4×3cos60°＋32＝37.5．在四邊形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝0，則四邊形ABCD是( )A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形1分析：選B∵AB＝DC，即一組對邊BD平行且相等，AC·BD＝0，即對角線相互垂直，∴四邊形ABCD為菱形．6．給出以下命題：①若a≠0，則對任一非零向量b都有a·b≠0；②若＝0，則a與b中起碼有一個為0；a·b③a與b是兩個單位向量，則a2＝b2.此中，正確命題的序號是________．分析：上述三個命題中只有③正確，因為|a|＝|b|＝1，因此2＝|a|2＝1，2＝||2＝1，abb故a2＝b2.當非零向量a，b垂直時，有a·b＝0，明顯①②錯誤．答案：③7．設e1，e2是兩個單位向量，它們的夾角為60°，則(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.229分析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e1＋7e1·e2－2e2＝－6＋7×cos60°－2＝－.29答案：－28．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為________．分析：∵c⊥a，∴c·a＝0，∴(a＋)·＝0，即a2＋·＝0.baab|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，1cos〈a，b〉＝－2.又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.答案：120°9．已知1與e2是兩個夾角為60°的單位向量，＝2e1＋2，＝22－31，求a與b的eaebee夾角．1＝2解：因為|e||e|＝1，1因此e1·e2＝1×1×cos60°＝2，|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝7，|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝7，22＋e1·e2＝－6＋17且a·b＝－6e1＋2e22＋＝－，22－7a·b21因此cos〈a，b〉＝＝＝－，|a|·|b|7×72因此a與b的夾角為120°.210．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影為－1.求a與b的夾角θ；求(a－2b)·b；當λ為什么值時，向量λa＋b與向量a－3b相互垂直？解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，∴|a|＝2，|b|＝1.又a在b方向上的投影為|a|cosθ＝－1，∴a·babθ＝－1.＝||||cos12π∴cosθ＝－，∴θ＝.23(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.∵λa＋b與a－3b相互垂直，∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b24＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝7.層級二應試能力達標1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a與b的夾角為π，則向量m＝a－4b的模為()3A．2B．23C．6D．1222221分析：選B|m|＝|a－4b|＝a－8a·b＋16b＝4－8×2×1×2＋16＝12，因此|m|＝23.2．在Rt△中，＝90°，＝4，則AB·AC等于( )ABCCACA．－16B．－8C．8D．16分析：選D法一：因為cosAC·AC＝|AB|·|AC|cos2A＝，故ABA＝|AC|AB16，應選D.法二：AB在AC上的投影為|AB|cosA＝|AC|，故AB·AC＝|AC||AB|cos＝|AC|2＝16，應選D.A3．已知向量a，b知足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影與b在a方向上的投影相等，則|a－b|＝()A．1B.3C.5D．33分析：選C因為投影相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因為|a|＝1，|b|＝2，因此cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，則|a－b|＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E為BC的中點，則AE·BD＝()A．－3B．0C．－1D．1分析：選C1·(AD－AB)AE·BD＝AB―→＋AD―→2121AD|2＝2AB·AD－|AB|＋2|1212＝×2×2×cos60°－2＋×2＝－1.225．設向量a，b，c知足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，則|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．分析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.則c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.法二：如圖，作AB＝BD＝a，BC＝b，則CA＝c.a⊥b，∴AB⊥BC，又∵a－b＝BD－BC＝CD，(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，因此△ABC是等腰直角三角形，∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.答案：4．已知向量，的夾角為°，且|a|＝，1a＋b·(2a－3b)＝，則＝________；6ab454212|b|b在a方向上的投影等于________．分析：1a＋b·(2a－3b)＝2＋1－3b2＝12，即3|b|2－2|b|－＝，解得|b|＝2a2a·b402(舍負)，b在a方向上的投影是|b|cos45°＝22×2＝1.答案：214117．已知非零向量a，b，知足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝2，且a·b＝2.求向量a，b的夾角；(2)求|a－b|.1解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，221∴a－b＝2，即|a|2－|b|2＝1.2又|a|＝1，2∴|b|＝.21∵a·b＝2，1|a|·|b|cosθ＝2，2cosθ＝2，∴向量a，b的夾角為45°.∵|a－b|2＝(a－b)2221＝|a|－2|a||b|cosθ＋|b|＝2，2∴|a－b|＝2.8．設兩個向量e1，e2，知足|e1|＝2，|e2|＝1，e1與e2的夾角為π，若向量2te1＋7e23與1＋te2的夾角為鈍角，務實數(shù)t的取值范圍．e解：由向量2＋7與e＋te的夾角為鈍角，1221得te1＋7e2e1＋te2<0.即|2te＋7e|·|e＋te|1212(2te1＋72)·(1＋te2)<0