一、向量在另一向量上的投影，直線與平面關(guān)系。

高等數(shù)學(xué)A復(fù)習(xí)2023/3/61兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動(dòng),1.定義設(shè)向量的夾角為

,稱

記作數(shù)量積(點(diǎn)積).引例.

設(shè)一物體在常力F作用下,位移為s,則力F

所做的功為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/3/62記作故2.性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,那么有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/3/63平面

:L⊥

L//夾角公式：面與線間的關(guān)系直線L:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/3/64二、二元函數(shù)極限計(jì)算

2023/3/65解:原式例.求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/3/66例求極限解其中2023/3/67假設(shè)當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解:

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.那么可以斷定函數(shù)極限那么有k

值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.以不同方式趨于不存在

.例5.

討論函數(shù)函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/3/68例.

求解:因而此函數(shù)定義域不包括x,y

軸那么故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/3/69三、求方向?qū)?shù)，求偏導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)求二階偏導(dǎo)，求曲面的切平面或法線方程，二元函數(shù)最大最小值應(yīng)用題

2023/3/610多元函數(shù)微分法顯示結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1.分析復(fù)合結(jié)構(gòu)(畫(huà)變量關(guān)系圖)自變量個(gè)數(shù)=變量總個(gè)數(shù)–方程總個(gè)數(shù)自變量與因變量由所求對(duì)象判定2.正確使用求導(dǎo)法那么“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)〞注意正確使用求導(dǎo)符號(hào)3.利用一階微分形式不變性2023/3/611例2.

設(shè)其中f與F分別具解法1

方程兩邊對(duì)x

求導(dǎo),得有一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù),求(99考研)2023/3/612解法2方程兩邊求微分,得化簡(jiǎn)消去即可得2023/3/613例3.設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且求解:2023/3/614

設(shè)求例3.2023/3/615

設(shè)求例3.2023/3/616解法2.利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù).第六節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由dy,dz

的系數(shù)即可得設(shè)求例3.2023/3/617為簡(jiǎn)便起見(jiàn),引入記號(hào)例4.設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令那么機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/3/618練習(xí)題1.設(shè)函數(shù)f二階連續(xù)可微,求以下函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)2023/3/619解答提示:第1題2023/3/6202023/3/6211.方向?qū)?shù)?三元函數(shù)在點(diǎn)沿方向l(方向角的方向?qū)?shù)為?二元函數(shù)在點(diǎn)的方向?qū)?shù)為沿方向l(方向角為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/3/6222.梯度?三元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為?二元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為?機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束梯度在方向l

上的投影.2023/3/623空間光滑曲面曲面

在點(diǎn)法線方程1)隱式情況.的法向量切平面方程3.曲面的切平面與法線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/3/624空間光滑曲面切平面方程法線方程2)顯式情況.法線的方向余弦法向量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/3/625例.

求球面在點(diǎn)(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:所以球面在點(diǎn)(1,2,3)處有:切平面方程即法線方程法向量令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/3/626例.確定正數(shù)使曲面在點(diǎn)解:二曲面在

M

點(diǎn)的法向量分別為二曲面在點(diǎn)M

相切,故又點(diǎn)M在球面上,于是有相切.與球面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,因此有2023/3/627例4.在第一卦限作橢球面的切平面,使其在三坐標(biāo)軸上的截距的平方和最小,并求切點(diǎn).解:

設(shè)切點(diǎn)為那么切平面的法向量為即切平面方程2023/3/628問(wèn)題歸結(jié)為求在條件下的條件極值問(wèn)題.設(shè)拉格朗日函數(shù)切平面在三坐標(biāo)軸上的截距為2023/3/629令由實(shí)際意義可知為所求切點(diǎn).唯一駐點(diǎn)2023/3/630例5.求旋轉(zhuǎn)拋物面與平面之間的最短距離.解：設(shè)為拋物面上任一點(diǎn)，那么P的距離為問(wèn)題歸結(jié)為約束條件:目標(biāo)函數(shù):作拉氏函數(shù)到平面2023/3/631令解此方程組得唯一駐點(diǎn)由實(shí)際意義最小值存在,故2023/3/632四、交換二次積分次序，二重積分計(jì)算

〔直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)〕

2023/3/633解積分區(qū)域如圖2023/3/634例.交換以下積分順序解:積分域由兩局部組成:2023/3/635(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:假設(shè)積分區(qū)域?yàn)槟敲醇僭O(shè)積分區(qū)域?yàn)槟敲?023/3/636那么極坐標(biāo)系情形:假設(shè)積分區(qū)域?yàn)?023/3/637

五、傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)計(jì)算，

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判定，

利用冪級(jí)數(shù)和函數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和

2023/3/638

求和展開(kāi)(在收斂域內(nèi)進(jìn)行)根本問(wèn)題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級(jí)數(shù)展開(kāi).為傅立葉級(jí)數(shù).為傅氏系數(shù))時(shí),時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);時(shí)為冪級(jí)數(shù);2023/3/639一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1.利用局部和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法局部和極限2023/3/6403.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz判別法:假設(shè)且那么交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,概念:且余項(xiàng)若收斂,稱絕對(duì)收斂若發(fā)散,稱條件收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/3/6411.周期為2

的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)及收斂定理其中注意:假設(shè)為間斷點(diǎn),那么級(jí)數(shù)收斂于2023/3/6422.周期為2

的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

奇函數(shù)正弦級(jí)數(shù)

偶函數(shù)余弦級(jí)數(shù)3.在[0,]上函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法

作奇周期延拓,展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)

作偶周期延拓,展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)2023/3/643例5解2023/3/644解收斂區(qū)間(-1,1),2023/3/645六、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)條件，

格林公式計(jì)算曲線積分，

高斯公式計(jì)算曲面積分

2023/3/6461.格林公式2.等價(jià)條件在

D

內(nèi)與路徑無(wú)關(guān).在

D

內(nèi)有對(duì)D

內(nèi)任意閉曲線L有在D

內(nèi)有設(shè)P,Q在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),那么有2023/3/647高斯公式及其應(yīng)用公式:應(yīng)用:(1)計(jì)算曲面積分(非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧)(2)推出閉曲面積分為零的充要條件:2023/3/648例2.

計(jì)算其中L

是沿逆時(shí)針?lè)较蛞栽c(diǎn)為中心,解法1令那么這說(shuō)明積分與路徑無(wú)關(guān),故a

為半徑的上半圓周.2023/3/649解法2

它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,(利用格林公式)那么添加輔助線段2023/3/650計(jì)算其中L為上半圓周提示:沿逆時(shí)針?lè)较?例：2023/3/651練習(xí):其中為半球面的上側(cè).且取下側(cè),提示:以半球底面原式=記半球域?yàn)?/p>

,高斯公式有計(jì)算為輔助面,利用2023/3/652例4.計(jì)算曲面積分