-.z.關于阿貝爾分部求和公式引理〔Abel變換〕設是兩數(shù)列，記，則．證明：把等式左邊展開得:上式也稱為分部求和公式．上圖是當，且單調增加時，Abel變換的直觀的示意．圖中矩形被分割成9個小矩形，根據(jù)所標出的各個小矩形的面積，即得到p=5的Abel變換：事實上，Abel變換就是離散形式的分部積分公式．記則分部積分公式可以寫成．將數(shù)列的通項類比于函數(shù)，求和類比于求積分，求差類比于求微分，－對應于，則兩者是一致的．三阿貝耳分部求和公式的推廣及應用〔一〕關于數(shù)論方面的推廣和應用定理1設，是一個數(shù)論函數(shù)，．再設是區(qū)間上的連續(xù)可微函數(shù)，則有＝＿＿．證明：設＝，＝．我們有〔約定＝0〕===－＿+=－＝－＋此外還有＝注意到＝，＝，由以上三式即得公式成立．由阿貝耳求和公式可知，如果我們知道了數(shù)論函數(shù)的均值的漸進公式，則，對于滿足適當條件的函數(shù)，數(shù)論函數(shù)的均值的漸進公式有可能通過定理公式得到?！捕酬P于阿貝耳引理及其推廣和應用1．關于級數(shù)收斂性問題定理2(Abel引理)設〔1〕為單調數(shù)列；〔2〕為有界數(shù)列，即存在M>0,對一切k，成立，則．證明：由Abel變換可得，由于單調，所以＝．定理1〔級數(shù)的Abel判別法〕單調有界，收斂，則級數(shù)斂．證明：設，由于收斂，則對于任意給定的＞0，存在正整數(shù)N，使得對于一切n>N和p,成立＜.對于應用Abel引理，即得＜3M.定理2〔阿貝耳定理〕設＝s,則＝s.證明：容易看出＝在上為一致收斂．事實上，對任給正數(shù)，有N使得當n>N時＜．從而由阿貝耳引理可知同時有＜，只要．因此由函數(shù)數(shù)項級數(shù)的連續(xù)性定理可得＝＝s.定理2(級數(shù)乘法原理)令．又設級數(shù)都收斂．則．證明：因為絕對收斂的級數(shù)可以相乘，因此＝〔〕于是由阿貝耳定理便可得到＝＝＝＝．例題1試證證明：應用阿貝耳關于級數(shù)乘法的定理，?。剑健瞡=1,2,3,…〕,==0,則有＝．．．＋＝，此處＝顯然有n=(1+)+(2+)+…+(+1)=2(1++…+)＝2ln＋2+o(1)()其中為歐拉常數(shù)．于是．又因為〔n+1〕－＝〔－〕＝－［〔n+1〕－n］=－>0故得．從而由萊布尼茲收斂判別法可見級數(shù)＝是收斂的，最后由級數(shù)乘法原理可知該命題是成立的．例題2設．試證二重級數(shù)為收斂的．分析：不難看出以及－＝，－EMBEDEquation.DSMT4－＋=，其中＝〔當m+n時〕．2．關于級數(shù)求和問題例題1=ln2.證明:當時，可得＝ln(1+*)故得＝ln(1+*)＝ln2.例題2設求證＝證明：顯然左端的級數(shù)是收斂的，把它寫成＝，而作函數(shù)＝〔〕從而＝＝〔〕．由于＝0,故＝〔〕因此，應用定理便可得到要證明的等式．〔三〕關于連續(xù)變量的阿貝耳分部求和公式及其應用當下標n變成連續(xù)變量時，與和差變換相應的是分部積分公式，與阿貝耳引理相應的是鮑納的積分中值定理．我們已經(jīng)熟悉掌握了黎曼積分的初步知識，所以這里可以把一些命題變成較一般的形式．定理1〔分部積分法〕設黎曼積分存在，則也存在，并且有分部積分公式＝－．證明：以表示［a,b］的任意劃分：：a==b,并記＝ma*()〔〕.應用和差變換于積分和，其中計值點組適合〔k=1,2,…,n〕,我們得到＝＝，其中為劃分，而計值點組＝，于是為積分的積分和，并且＝ma*()()所以令時，便得＝＝－＋注意：假設連續(xù)而為有界變差的函數(shù)，則積分存在．而由本命題可知，當為連續(xù)而為有界變差時，積分也存在．定理2〔第一中值定理〕設為一單調函數(shù)而為實值連續(xù)函數(shù)，則有中值公式＝〔〕．提示：此命題的證法與通常黎曼積分的中值公式證法相似．定理3〔第二中值定理〕設在［a,b］上為一實值連續(xù)函數(shù)而為一單調函數(shù)．則必有，使得＝＋．提示：應用分部積分公式后再應用第一中值定理即得．例題1設和滿足．又設為非增函數(shù)，則證明：令G(t)=,則G(*)0.G(a)=G(b)=0,所以有－＝G(t)＝－＝－．例題2不等式〔1〕〔式中〕對每一個不增的函數(shù)都成立的充分必要條件是函數(shù)對所有滿足且(2)成立．證明：必要性：設，則不等式(1)給出〔〕，〔3〕0(),(4)設，則有(4)得=+.設，則有〔3〕得＝－－〔〕＝＋－所以〔3〕和(4)對所有的都成立．同樣可