8.5空間直線(xiàn)、平面的平行8.5.1直線(xiàn)與直線(xiàn)平行學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)判斷空間兩直線(xiàn)的位置關(guān)系.2.能用基本事實(shí)4和等角定理解決一些簡(jiǎn)單的相關(guān)問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一基本事實(shí)4文字語(yǔ)言平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言直線(xiàn)a，b，c，a∥b，b∥c?a∥c作用證明兩條直線(xiàn)平行說(shuō)明基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做平行線(xiàn)的傳遞性知識(shí)點(diǎn)二空間等角定理1.定理文字語(yǔ)言如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)符號(hào)語(yǔ)言O(shè)A∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°圖形語(yǔ)言作用判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)2.推廣如果兩條相交直線(xiàn)與另兩條相交直線(xiàn)分別平行，那么這兩組直線(xiàn)所成的銳角(或直角)相等.思考如果兩條直線(xiàn)和第三條直線(xiàn)成等角，那么這兩條直線(xiàn)平行嗎？答案不一定，這兩條直線(xiàn)可能相交、平行或異面.1.如果兩條直線(xiàn)同時(shí)平行于第三條直線(xiàn)，那么這兩條直線(xiàn)互相平行.(√)2.如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等.(×)3.如果兩條平行線(xiàn)中的一條與某一條直線(xiàn)垂直，那么另一條也與這條直線(xiàn)垂直.(√)4.如果兩條相交直線(xiàn)和另兩條相交直線(xiàn)分別平行，那么這兩組直線(xiàn)所成的銳角(或直角)相等.(√)一、基本事實(shí)4的應(yīng)用例1(1)如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，E′，F(xiàn)′分別是AB，BC，A′B′，B′C′的中點(diǎn)，求證：EE′∥FF′.證明∵E，E′分別是AB，A′B′的中點(diǎn)，∴BE∥B′E′，且BE＝B′E′.∴四邊形EBB′E′是平行四邊形，∴EE′∥BB′，同理可證FF′∥BB′.∴EE′∥FF′.(2)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：BFD1E是平行四邊形.證明如圖所示，取BB1的中點(diǎn)G，連接GC1，GE.因?yàn)镕為CC1的中點(diǎn)，所以BG∥FC1，且BG＝FC1.所以四邊形BFC1G是平行四邊形.所以BF∥GC1，BF＝GC1，又因?yàn)镋G∥A1B1，EG＝A1B1，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.所以四邊形EGC1D1是平行四邊形.所以ED1∥GC1，ED1＝GC1，所以BF∥ED1，BF＝ED1，所以四邊形BFD1E是平行四邊形.反思感悟基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做空間直線(xiàn)平行的傳遞性，解題時(shí)首先找到一條直線(xiàn)，使所證的直線(xiàn)都與這條直線(xiàn)平行.跟蹤訓(xùn)練1如圖，在三棱錐P－ABC中，G，H分別為PB，PC的中點(diǎn)，M，N分別為△PAB，△PAC的重心，且△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，求證：GH∥MN.證明如圖，取PA的中點(diǎn)Q，連接BQ，CQ，則M，N分別在BQ，CQ上.∵M(jìn)，N分別為△PAB，△PAC的重心，∴eq\f(QM,MB)＝eq\f(QN,CN)＝eq\f(1,2)，則MN∥BC.又G，H分別為PB，PC的中點(diǎn)，∴GH∥BC，∴GH∥MN.二、等角定理的應(yīng)用例2如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱CC1，BB1，DD1的中點(diǎn).求證：∠BGC＝∠FD1E.證明因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是正方體的棱CC1，BB1，DD1的中點(diǎn)，所以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1，所以四邊形CED1G與四邊形BFD1G均為平行四邊形.所以GC∥D1E，GB∥D1F.因?yàn)椤螧GC與∠FD1E的兩邊方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.反思感悟等角定理的結(jié)論是相等或互補(bǔ)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)一般是借助于圖形判斷是相等還是互補(bǔ)，還是兩種情況都有可能.跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn).求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.證明(1)如圖，連結(jié)AC，在△ACD中，∵M(jìn)，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，∴MN是△ACD的中位線(xiàn)，∴MN∥AC，且MN＝eq\f(1,2)AC.由正方體的性質(zhì)，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2)A1C1，即MN≠A1C1，∴四邊形MNA1C1是梯形.(2)由(1)可知，MN∥A1C1.又ND∥A1D1，且∠DNM與∠D1A1C1的兩邊的方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.1.分別和兩條異面直線(xiàn)平行的兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系是()A.一定平行 B.一定相交C.一定異面 D.相交或異面答案D解析可能相交也可能異面，但一定不平行(否則與條件矛盾).2.若AB∥A′B′，AC∥A′C′，則有()A.∠BAC＝∠B′A′C′B.∠BAC＋∠B′A′C′＝180°C.∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°D.∠BAC＋∠B′A′C′＝90°答案C解析由已知可知∠BAC和∠B′A′C′的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，所以∠BAC與∠B′A′C′相等或互補(bǔ).3.如圖，空間四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相等，順次連接各邊中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH一定是()A.矩形 B.正方形C.菱形 D.空間四邊形答案C解析利用E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點(diǎn)，可得這個(gè)四邊形是平行四邊形，再由對(duì)角線(xiàn)相等可得四邊形EFGH一定是菱形.4.兩等角的一組對(duì)應(yīng)邊平行，則()A.另一組對(duì)應(yīng)邊平行B.另一組對(duì)應(yīng)邊不平行C.另一組對(duì)應(yīng)邊不可能垂直D.以上都不對(duì)答案D解析另一組對(duì)應(yīng)邊可能平行，也可能不平行，也可能垂直.注意和空間等角定理(若兩個(gè)角的對(duì)應(yīng)邊平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ))的區(qū)別.5.兩個(gè)三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)三角形()A.全等 B.不相似C.僅有一個(gè)角相等 D.相似答案D解析由等角定理知，這兩個(gè)三角形的三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，故選D.1.知識(shí)清單：(1)基本事實(shí)4的應(yīng)用.(2)等角定理的應(yīng)用.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化思想.3.常見(jiàn)誤區(qū)：用等角定理時(shí)，角度有可能相等或互補(bǔ).1.空間兩條互相平行的直線(xiàn)指的是()A.在空間沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線(xiàn)B.分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)C.在兩個(gè)不同的平面內(nèi)且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線(xiàn)D.在同一平面內(nèi)且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線(xiàn)答案D2.不平行的兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系是()A.相交 B.異面C.平行 D.相交或異面答案D3.如圖所示，在長(zhǎng)方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有()A.3條B.4條C.5條D.6條答案B解析EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.4.若空間三條直線(xiàn)a，b，c滿(mǎn)足a⊥b，b∥c，則直線(xiàn)a與c()A.一定平行 B.一定垂直C.一定是異面直線(xiàn) D.一定相交答案B解析∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.5.一條直線(xiàn)與兩條異面直線(xiàn)中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是()A.平行或異面 B.相交或異面C.異面 D.相交答案B解析假設(shè)a與b是異面直線(xiàn)，而c∥a，則c顯然與b不平行(否則c∥b，則有a∥b，矛盾)，c與b可能相交或異面.6.過(guò)直線(xiàn)l外兩點(diǎn)可以作l的平行線(xiàn)的條數(shù)為_(kāi)_______.答案0條或1條解析以如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1為例.令A(yù)1B1所在直線(xiàn)為直線(xiàn)l，過(guò)l外的兩點(diǎn)A，B可以作一條直線(xiàn)與l平行，過(guò)l外的兩點(diǎn)B，C不能作直線(xiàn)與l平行.7.對(duì)角線(xiàn)互相垂直的空間四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)分別為M，N，P，Q，則四邊形MNPQ是________.答案矩形解析如圖所示.∵點(diǎn)M，N，P，Q分別是四條邊的中點(diǎn)，∴MN∥AC，且MN＝eq\f(1,2)AC，PQ∥AC，且PQ＝eq\f(1,2)AC，∴MN∥PQ，且MN＝PQ，∴四邊形MNPQ是平行四邊形，又∵AC⊥BD，NP∥BD，∴PQ⊥NP，∴四邊形MNPQ是矩形.8.如圖所示，兩個(gè)三角形△ABC和△A′B′C′的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)AA′，BB′，CC′交于同一點(diǎn)O，且eq\f(AO,A′O)＝eq\f(BO,B′O)＝eq\f(CO,C′O)＝eq\f(2,3)，則eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝________.答案eq\f(4,9)解析如圖，eq\f(AO,A′O)＝eq\f(BO,B′O)＝eq\f(CO,C′O)＝eq\f(2,3)，可證AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.由等角定理∠CAB＝∠C′A′B′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq\f(4,9).9.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1內(nèi)有一點(diǎn)P，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作棱BC的平行線(xiàn)，應(yīng)該怎樣畫(huà)？并說(shuō)明理由.解如圖所示，在面A1C1內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)EF∥B1C1，交A1B1于點(diǎn)E，交C1D1于點(diǎn)F，則直線(xiàn)EF即為所求.理由：因?yàn)镋F∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.10.在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC和AD的中點(diǎn)，將平面DCEF沿EF翻折起來(lái)，使CD到C′D′的位置，G，H分別為AD′和BC′的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH為平行四邊形.證明∵在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，∴EF∥AB且EF＝eq\f(1,2)(AB＋CD)，又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB.∵G，H分別為AD′，BC′的中點(diǎn)，∴GH∥AB且GH＝eq\f(1,2)(AB＋C′D′)＝eq\f(1,2)(AB＋CD)，∴GH∥EF且GH＝EF，∴四邊形EFGH為平行四邊形.11.若直線(xiàn)a，b與直線(xiàn)l所成的角相等，則a，b的位置關(guān)系是()A.異面 B.平行C.相交 D.相交、平行、異面均可能答案D12.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是側(cè)面AA1D1D，側(cè)面CC1D1D的中心，G，H分別是線(xiàn)段AB，BC的中點(diǎn)，則直線(xiàn)EF與直線(xiàn)GH的位置關(guān)系是()A.相交B.異面C.平行D.垂直答案C解析如圖，連接AD1，CD1，AC，則E，F(xiàn)分別為AD1，CD1的中點(diǎn).由三角形的中位線(xiàn)定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.13.(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，以下結(jié)論正確的是()A.直線(xiàn)AM與CC1是相交直線(xiàn)B.直線(xiàn)AM與BN是平行直線(xiàn)C.直線(xiàn)BN與MB1是異面直線(xiàn)D.直線(xiàn)AM與DD1是異面直線(xiàn)答案CD解析直線(xiàn)AM與CC1是異面直線(xiàn)，直線(xiàn)AM與BN也是異面直線(xiàn)，故AB錯(cuò)誤；CD正確.14.已知E，F(xiàn)，G，H為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，若eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝eq\f(1,2)，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(1,3)，則四邊形EFGH的形狀為_(kāi)_______.答案梯形解析如圖，在△ABD中，∵eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝eq\f(1,2)，∴EH∥BD且EH＝eq\f(1,2)BD.在△BCD中，∵eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(1,3)，∴FG∥BD且FG＝eq\f(1,3)BD，∴EH∥FG且EH>FG，∴四邊形EFGH為梯形.15.如圖所示，已知三棱錐A－BCD中，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A.MN≥eq\f(1,2)(AC＋BD) B.MN≤eq\f(1,2)(AC＋BD)C.MN＝eq\f(1,2)(AC＋BD) D.MN<eq\f(1,2)(AC＋BD)答案D解析如圖所示，取BC的中點(diǎn)E，連接ME，NE，則ME＝eq\f(1,2)AC，NE＝eq\f(1,2)BD，所以ME＋NE＝eq\f(1,2)(AC＋BD).在△MNE中，有ME＋NE>MN，所以MN<eq\f(1,2)(AC＋BD).16.如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點(diǎn)，且有AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)m，n滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形？(3)在(2)的條件下，若AC⊥BD，試證明：EG＝FH.(1)證明∵AE∶EB＝AH∶HD，∴EH∥B