第第頁一種顧及起始數(shù)據(jù)誤差影響的最小二乘平差方法摘要:本文針對顧及起始數(shù)據(jù)誤差對平差結(jié)果的影響,運(yùn)用最小二乘原理,

推導(dǎo)出一組適用公式,與以往的平差中所采用的逐次相關(guān)平差法,以及推估擬合

平差法等相比,具有公式簡單,便于微機(jī)編程的特點(diǎn),并結(jié)合水準(zhǔn)網(wǎng)平差的實(shí)際算

例,驗(yàn)證了該組公式的正確性和可行性.

關(guān)鍵詞:起始數(shù)據(jù)誤差;最小二乘原理;平差

Abstract:Thispaperconsideringtheeffectofinitialdataerrorsontheresultofadjustment,byapplyingtheprincipleofleastsquares,asetofapplicableformulasarededuced,andthecorrelativeflatthepreviousadjustmentofdifferencemethod,andtoestimatethefittingadjustmentmethodcomparedwithformula,simple,easytoprogramming,andcombinedwiththestandardadjustmentofactualexamples,toverifythecorrectnessandfeasibilityoftheformula.Keywords:initialdataerror;theprincipleofleastsquares；adjustment

中圖分類號：S771.4文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號：2095-2104（2013）

0引言

在各類控制網(wǎng)中,為了確定控制網(wǎng)的尺度和定向,網(wǎng)中都要有必要的起算數(shù)據(jù),由于起算數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)相比較,一般都有較高的精度,若按微誤差標(biāo)準(zhǔn),當(dāng)觀測值誤差大于或等于3倍的起算數(shù)據(jù)誤差時(shí),可忽略起算數(shù)據(jù)對平差結(jié)果的影響,把它們視為無誤差的固定值,但實(shí)際上仍然含有一定誤差,若作強(qiáng)制附合處理,將會(huì)使控制網(wǎng)發(fā)生扭曲或變形,對網(wǎng)中的不同類型的觀測值的綜合處理和平差結(jié)果以及可靠性分析都是不利的,只有顧及起算數(shù)據(jù)對所求量的影響,才能全面地反映所求結(jié)果的精度.

顧及起始數(shù)據(jù)誤差的影響,在以往的平差中大都采用逐次相關(guān)平差法,或者推估擬合平差法等,本文運(yùn)用最小二乘原理,結(jié)合水準(zhǔn)網(wǎng)平差,談一下顧及起始數(shù)據(jù)誤差影響的另一種平差方法.

1平差的數(shù)學(xué)模型

1．1條件平差

設(shè):某平差問題中有起始數(shù)據(jù)為,其協(xié)因數(shù)矩陣為,它們是從上一級控制網(wǎng)平差得到或是直接確定的,已知本級控制網(wǎng)的觀測值及其權(quán)陣,必要觀測值個(gè)數(shù)為t,條件方程式個(gè)數(shù)r=n-t.

條件方程式為:++=0⑴

式中:a為觀測值改正數(shù)系數(shù)矩陣,b為起始數(shù)據(jù)改正數(shù)系數(shù)矩陣,為觀測值改正數(shù)矩陣,為含有誤差的起始數(shù)據(jù)改正數(shù)矩陣,W為自由項(xiàng)矩陣.

設(shè):A=(ab),V=.則:誤差方程⑴式可以寫為:

AV+W=0⑵

由最小二乘原理可得:

法方程式:AAK+W=0⑶

改正數(shù):V=AK⑷

在上述⑶,⑷式中:=其中為觀測值權(quán)逆矩陣,為起始數(shù)據(jù)在本級網(wǎng)的協(xié)因數(shù)矩陣.

=/⑸

式中:為上級網(wǎng)單位權(quán)中誤差,為本級網(wǎng)單獨(dú)平差時(shí)單位權(quán)中誤差,為起始數(shù)據(jù)在上級網(wǎng)平差后的協(xié)因數(shù)陣的逆矩陣.

將上述⑴,⑵,⑶,⑷,⑸各式進(jìn)行歸納得到基礎(chǔ)方程式為:

①改正數(shù)條件方程式:++=0

②法方程式:(aa+bb/)k+w=0

③改正數(shù):=ak

=k/

單位權(quán)中誤差=±√vv/(n-t)

=±√(vv+v)/(n-t)

1.2間接平差

誤差方程的矩陣表達(dá)式為:v=bx+⑹

式中:=L-AX+BX+L⑺

X為未知數(shù)的近似值,X為具有誤差的起始數(shù)據(jù)值,L,L為常數(shù),為自由項(xiàng).

由⑺式得的協(xié)因數(shù)矩陣為:

Q=Q+BQB=Q+B/B⑻

式中:為上級網(wǎng)單位權(quán)中誤差,為本級網(wǎng)單獨(dú)平差時(shí)單位權(quán)中誤差,為起始數(shù)據(jù)在上級網(wǎng)平差后的協(xié)因數(shù)陣的逆矩陣,Q為起始數(shù)據(jù)在本級網(wǎng)的協(xié)因數(shù)矩陣,Q為本級網(wǎng)觀測值權(quán)倒數(shù),

由最小二乘原理可得:

法方程式:(AQA)x+AQ=0

即:未知數(shù)x=-(AQA)AQ⑼

將上述⑹,⑺,⑻,⑼各式進(jìn)行歸納得到基礎(chǔ)方程式為:

①誤差方程的矩陣表達(dá)式為:v=bx+

②法方程的矩陣表達(dá)式:(AQA)x+AQ=0

③改正數(shù)方程式:

x=-(AQA)AQ

=-(A(Q+B/)BA)A(Q+B/B)

水準(zhǔn)網(wǎng)平差算例

本文的算例選自《文獻(xiàn)三》中96頁的例〔5-1〕

某一水準(zhǔn)網(wǎng),圖(一)中A、B、C為已知點(diǎn),P為待定點(diǎn),觀測高差的權(quán)陣為P=E;已知點(diǎn)高程=10.549m,H=10.653m,H=11.774m,觀測高差:h=+0.464m,h=+0.367m,=-0.749m,起算數(shù)據(jù)協(xié)因數(shù)陣為:,單位權(quán)中誤差=3.6mm/km,本級網(wǎng)單獨(dú)平差的單位權(quán)中誤差=3.6mm/km;試計(jì)算各點(diǎn)平差值及平差后的單位權(quán)中誤差.

2.1平差計(jì)算實(shí)例:

解:以條件平差法為例

條件方程式-+0+-+0+=0

+0-++0-+=0

式中:=+--=-7mm,=+--=-5mm.

條件方程系數(shù)陣:=,=

令:A=〔,〕,則條件方程式為++W=0

若觀測值權(quán)逆矩陣為,起始數(shù)據(jù)的協(xié)因數(shù)矩陣為

=,==

=/=3.6*/3.6=

法方程式系數(shù)陣:

N=A=+

=**+

**=+=

自由項(xiàng)系數(shù):W=

法方程式:*+=0

解得:=1.5,=0.5

改正數(shù)計(jì)算:

①觀測值改正數(shù):=ak

即:=**=

②起算數(shù)據(jù)改正數(shù):=k/

即:=**=

各點(diǎn)高程的平差值為:

=10.551mH=10.6515mH=11.7735m=10.107m

單位權(quán)中誤差=±√vv/(n-t)

=±√(vv+v)/(n-t)

=±√13/2=±2.55mm

3結(jié)論

將采用上述平差方法計(jì)算的算例與文獻(xiàn)（三）中所采用顧及起始數(shù)據(jù)誤差影響的水準(zhǔn)網(wǎng)平差的例題相比較,對同一個(gè)平差問題,雖然采用的平差方法不同,但其平差結(jié)果卻完全相同,這就說明了顧及起始數(shù)據(jù)誤差影響的最小二乘平差方法的正確性和可行性;該方法既可用于高程控制網(wǎng)平差,同樣也可用于平面控制網(wǎng)平差,不但適用于顧及起始數(shù)據(jù)誤差的影響的情形,而且更適用于在兩級或多級同級網(wǎng)布設(shè),即所謂的逐次相