2022-2023學(xué)年四川省遂寧市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，所以,因此，故選：C2．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加演講比賽，事件“至少有1名男生”與事件“至少有1名女生”（

）.A．是對(duì)立事件 B．都是不可能事件C．是互斥事件但不是對(duì)立事件 D．不是互斥事件【答案】D【解析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義直接判斷即可.【詳解】事件“至少有1名男生”與事件“至少有1名女生”能同時(shí)發(fā)生，即兩名學(xué)生正好一名男生，一名女生，故兩事件既不是對(duì)立事件也不是互斥事件.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件和對(duì)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題.3．設(shè)直線，．若，則的值為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【分析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得或.故選：A.4．已知三條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系及平行垂直性質(zhì)判斷逐一判斷.【詳解】若,可以有或相交，故A錯(cuò)；若，可以有或異面，故B錯(cuò)；若，可以有、與斜交、，故C錯(cuò)；過作平面，則，又，得，，所以，故D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查空間線、面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5．已知直線l：，若圓上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)P，Q，且它們到直線l的距離都為1，則稱該圓為“完美型”圓，則下列圓中是“完美型”圓的是A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，算出到直線l距離等于1的兩條平行線方程為3x+4y﹣7=0或3x+4y﹣17=0，當(dāng)圓與這兩條直線共有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)滿足該圓為“完美型”圓．由此對(duì)A、B、C、D各項(xiàng)中的圓分別加以判斷，可得本題答案．【詳解】解：設(shè)直線l'：3x+4y+m=0，l'與l的距離等于1則，解之得m=﹣7或﹣17，即l'的方程為3x+4y﹣7=0或3x+4y﹣17=0,可得當(dāng)圓與3x+4y﹣7=0、3x+4y﹣17=0恰好有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，滿足該圓為“完美型”圓．對(duì)于A，因?yàn)樵c(diǎn)到直線l'的距離d=或，兩條直線都與x2+y2=1相離,故x2+y2=1上不存在點(diǎn)，使點(diǎn)到直線l：3x+4y﹣12=0的距離為1，故A不符合題意.對(duì)于B，因?yàn)樵c(diǎn)到直線l'的距離d=或，兩條直線都與x2+y2=16相交，故x2+y2=16上不存在4個(gè)點(diǎn)，使點(diǎn)到直線l：3x+4y﹣12=0的距離為1，故B不符合題意.對(duì)于C，因?yàn)辄c(diǎn)（4，4）到直線l'的距離d=或，兩條直線都與（x﹣4）2+（y﹣4）2=4相離,故（x﹣4）2+（y﹣4）2=4上不存在點(diǎn)，使點(diǎn)到直線l：3x+4y﹣12=0的距離為1，故C不符合題意.對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)（4，4）到直線l'的距離d=或，所以兩條直線中3x+4y﹣7=0與（x﹣4）2+（y﹣4）2=16相離，而3x+4y﹣17=0（x﹣4）2+（y﹣4）2=16相交,故（x﹣4）2+（y﹣4）2=16上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)P、Q，使點(diǎn)到直線l：3x+4y﹣12=0的距離為1，故D符合題意.故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．6．中國(guó)古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法，如圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，若輸入，，依次輸入的值為1，2，3，則輸出的（

）A．10 B．11 C．16 D．17【答案】B【分析】根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)，令依次進(jìn)入循環(huán)系統(tǒng)，計(jì)算輸出結(jié)果.【詳解】解：∵輸入的，，當(dāng)輸入的為1時(shí)，，，不滿足退出循環(huán)的條件；當(dāng)再次輸入的為2時(shí)，，，不滿足退出循環(huán)的條件；當(dāng)輸入的為3時(shí)，，，滿足退出循環(huán)的條件；故輸出的值為11．故選：B7．如圖，是對(duì)某位同學(xué)一學(xué)期次體育測(cè)試成績(jī)（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到的散點(diǎn)圖，關(guān)于這位同學(xué)的成績(jī)分析，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．該同學(xué)的體育測(cè)試成績(jī)總的趨勢(shì)是在逐步提高，且次測(cè)試成績(jī)的極差超過分B．該同學(xué)次測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)是分C．該同學(xué)次測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是分D．該同學(xué)次測(cè)試成績(jī)與測(cè)試次數(shù)具有相關(guān)性，且呈正相關(guān)【答案】C【分析】根據(jù)給定的散點(diǎn)圖，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，由散點(diǎn)圖知，8次測(cè)試成績(jī)總體是依次增大，極差為，A正確；對(duì)于B，散點(diǎn)圖中8個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)是48，B正確；對(duì)于C，散點(diǎn)圖中的8個(gè)數(shù)由小到大排列，最中間兩個(gè)數(shù)都是48，則次測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是分，C不正確；對(duì)于D，散點(diǎn)圖中8個(gè)點(diǎn)落在某條斜向上的直線附近，則次測(cè)試成績(jī)與測(cè)試次數(shù)具有相關(guān)性，且呈正相關(guān)，D正確.故選：C8．平面過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，,，，則m，n所成角的正弦值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：如圖，設(shè)平面平面=，平面平面=，因?yàn)槠矫?，所以，則所成的角等于所成的角.延長(zhǎng)，過作，連接，則為，同理為，而，則所成的角即為所成的角，即為，故所成角的正弦值為，選A.【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成的角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形、解形求角、得鈍求補(bǔ).9．曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡(jiǎn)可得為半圓，求出圓心和半徑，再根據(jù)直線過定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得臨界條件分析即可【詳解】曲線可化為，是圓心為，半徑為的圓的上半部分，直線過定點(diǎn)，畫出圖象如下圖所示.由圖可知，直線斜率的取值最大是，設(shè)相切時(shí)斜率為，則直線方程，即，此時(shí)，即，解得，故取值范圍為.故選：D10．甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?個(gè)小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間中隨機(jī)到達(dá)，若兩船有一艘在停泊位時(shí)，另一艘船就必須等待，則這兩艘輪船?？坎次粫r(shí)都不需要等待的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先確定這是幾何概型問題，可設(shè)甲乙分別先到的時(shí)間，建立他們之間不需要等待的關(guān)系式，作出符合條件的可行域，并求其面積，根據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算可得答案.【詳解】設(shè)甲、乙到達(dá)停泊點(diǎn)的時(shí)間分別是x、y點(diǎn)，則甲先到乙不需要等待須滿足，乙先到甲不需要等待須滿足，作出不等式組表示的可行域如圖（陰影部分）：正方形的面積為，陰影部分面積為，故這兩艘輪船?？坎次粫r(shí)都不需要等待的概率，故選：B11．設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)球面上四點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，若三棱錐體積的最大值為，則該球的表面積為（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件做出圖像，結(jié)合勾股定理即可求出球的半徑，從而得到球的表面積.【詳解】因是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，故由正弦定理得，的外接圓半徑，又因三棱錐體積的最大值為，故此時(shí)點(diǎn)到平面的距離，由A，B，C，D是同一個(gè)球面上四點(diǎn)，做出下圖，故圖中，，，，由勾股定理得：，即，計(jì)算得，該球的表面積.故選：C.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.12．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號(hào)，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美．平面直角坐標(biāo)系中，曲線：就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，給出如下結(jié)論：①曲線圍成的圖形的面積是；②曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過；③若是曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值是．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合已知條件寫出曲線的解析式，進(jìn)而作出圖像，對(duì)于①，通過圖像可知，所求面積為四個(gè)半圓和一個(gè)正方形面積之和，結(jié)合數(shù)據(jù)求解即可；對(duì)于②，根據(jù)圖像求出曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值即可判斷；對(duì)于③，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，然后利用圓上一點(diǎn)到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑即可求解.【詳解】當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為：；當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為：；當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為：；當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為：，曲線的圖像如下圖所示：由上圖可知，曲線所圍成的面積為四個(gè)半圓的面積與邊長(zhǎng)為的正方形的面積之和，從而曲線所圍成的面積，故①正確；由曲線的圖像可知，曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為兩個(gè)半徑與正方形的邊長(zhǎng)之和，即，故②錯(cuò)誤；因?yàn)榈街本€的距離為，所以，當(dāng)最小時(shí)，易知在曲線的第一象限內(nèi)的圖像上，因?yàn)榍€的第一象限內(nèi)的圖像是圓心為，半徑為的半圓，所以圓心到的距離，從而，即，故③正確，故選：C.二、填空題13．將某班的60名學(xué)生編號(hào)為，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為5的樣本，且隨機(jī)抽得的第一個(gè)號(hào)碼為03，則抽得的最大號(hào)碼是___________.【答案】51【分析】根據(jù)總體容量和樣本容量，得到抽樣間隔求解.【詳解】因?yàn)榭傮w容量是60，樣本容量是5，所以抽樣間隔為12，又因?yàn)榈谝粋€(gè)號(hào)碼為03，所以所有號(hào)碼是03，15，27，39，51，所有最大號(hào)碼是51，故答案為：5114．已知實(shí)數(shù)、滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為___________.【答案】4【解析】本題首先可根據(jù)約束條件繪出可行域，然后根據(jù)可行域易知過點(diǎn)時(shí)目標(biāo)函數(shù)最大.【詳解】由題意可知，約束條件為，故可繪出可行域，如圖所示：則，，結(jié)合可行域易知：目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)取最大值，最大值為，故答案為：.15．已知直線（其中為非零實(shí)數(shù)）與圓相交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則的最小值為_____．【答案】8【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得圓心到直線的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得，再將變形為積為定值的形式后，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，因?yàn)闉榉橇銓?shí)數(shù)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得等號(hào)，所以的最小值為8.故答案為：8.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，考查了基本不等式求最值，屬于中檔題.16．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與?不重合），則下列結(jié)論正確的是___________.①存在點(diǎn)，使得平面平面；②存在點(diǎn)，使得平面；③的面積不可能等于；④若，分別是在平面與平面的正投影影的面積，則存在點(diǎn)，使得?【答案】①②④.【分析】當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，可證明平面平面；②取靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)記為，可證明平面；③作，則；④當(dāng)，．【詳解】①如圖1當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，可知也是中點(diǎn)且，，，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故①正確；②如圖2取靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)記為，記，，因?yàn)椋?，所以為靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，則為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，且，，平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，且平面，平面，所以平面平面，且平面，所以平面，故②正確；③如圖3作，在中根據(jù)等面積得：，根據(jù)對(duì)稱性可知：，又，所以是等腰三角形，則，故③錯(cuò)誤；④如圖4,圖5設(shè)，在平面內(nèi)的正投影為，在平面內(nèi)的正投影為，所以，，當(dāng)時(shí)，解得：，故正確.故答案為：①②④.三、解答題17．平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，求BC邊上的高所在直線的方程；求的面積．【答案】（1）；（2）3【分析】求出直線BC的斜率，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)求出高線的斜率即可求出點(diǎn)到直線的距離，以及底BC的距離，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】由題意，直線BC的斜率，則BC邊上高的斜率，則過A的高的直線方程為，即，的方程為，．點(diǎn)A到直線的距離，，則三角形的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高線的計(jì)算，以及三角形的面積的求解，其中解答中結(jié)合距離公式以及直線垂直的斜率關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．18．某種機(jī)械設(shè)備使用年限和相應(yīng)維修費(fèi)用（萬(wàn)元）有如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：使用年限23456維修費(fèi)用2.23.85.56.57.0已知和具有線性相關(guān)關(guān)系.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)求回歸直線方程；（2）該設(shè)備使用8年時(shí)，估計(jì)所需維修費(fèi).（參考公式：，）【答案】（1）；（2）萬(wàn)元.【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)計(jì)算可得，由此得到回歸直線方程；（2）將代入回歸直線方程即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知：，，，，，，線性回歸方程為：.（2）將代入回歸直線方程可得：，即該設(shè)備使用年時(shí)，估計(jì)所需維修費(fèi)為萬(wàn)元.19．如圖，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，，D是AP的中點(diǎn)，E、F分別為PC、PD的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起得到四棱錐，(1)G為線段BC上任一點(diǎn)，求證：平面EFG平面PAD；(2)當(dāng)G為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：AP平面EFG．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）先利用線面垂直的判定定理得到CD平面PAD，結(jié)合EFCD可得到EF平面PAD，接著利用面面垂直的判定定理即可求證；（2）先利用線面平行的判定定理得到GE平面PAB，EF平面PAB，然后利用面面平行的判定定理得到平面EFG平面PAB，即可證明結(jié)論【詳解】（1）∵△PDC中，E、F分別是PD、PC的中點(diǎn)，∴EFCD，∵CDPD，CDAD，PDAD＝D，PD、AD平面PAD，∴CD平面PAD，∴EF平面PAD，∵EF平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD（2）∵G為BC的中點(diǎn)，E為PC的中點(diǎn)，∴GEBP，∵GE平面PAB，BP平面PAB，∴GE平面PAB，由（1）知，EFDC，∵ABDC，∴EFAB，∵EF平面PAB，AB平面PAB，∴EF平面PAB，∵EFGE＝E，EF、GE平面EFG，∴平面EFG平面PAB，∵PA平面PAB，∴AP平面EFG．20．某學(xué)校進(jìn)行體驗(yàn)，現(xiàn)得到所有男生的身高數(shù)據(jù)，從中隨機(jī)抽取人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（已知這個(gè)身高介于到之間），現(xiàn)將抽取結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，并按此分組繪制如圖所示的頻率分布直方圖，其中第六組和第七組還沒有繪制完成，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組和第七組人數(shù)的比為．（）補(bǔ)全頻率分布直方圖；（）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這位男生身高的中位數(shù)；（）用分層抽樣的方法在身高為內(nèi)抽取一個(gè)容量為的樣本，從樣本中任意抽取位男生，求這兩位男生身高都在內(nèi)的概率．【答案】（1）見解析；（2）；（3）.【詳解】試題分析：（1）先分別算出第六組和第七組的人數(shù)，進(jìn)而算出其頻率與組距的比，補(bǔ)全直方圖；（2）利用中位數(shù)兩邊頻率相等，求出中位數(shù)的值；（3）先借助分層抽樣的特征求出第四、第五組的人數(shù)，再運(yùn)用列舉法列舉出所有可能數(shù)及滿足題設(shè)的條件的數(shù)，運(yùn)用古典概型的計(jì)算公式求解：解：（1）第六組與第七組頻率的和為：∵第六組和第七組人數(shù)的比為5：2.∴第六組的頻率為0.1，縱坐標(biāo)為0.02；第七組頻率為0.04，縱坐標(biāo)為0.008.（2）設(shè)身高的中位數(shù)為，則

∴估計(jì)這50位男生身高的中位數(shù)為174.5

（3）由于第4，5組頻率之比為2：3，按照分層抽樣，故第4組中應(yīng)抽取2人記為1，2，第5組應(yīng)抽取3人記為3，4，5

則所有可能的情況有：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}共10種

滿足兩位男生身高都在[175，180]內(nèi)的情況有{3，4}，{3，5}，{4，5}共3種，因此所求事件的概率為．21．如圖，已知平面四邊形中，為的中點(diǎn)，，，且．將此平面四邊形沿折成直二面角，連接，設(shè)中點(diǎn)為．(1)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)點(diǎn)存在，且為線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)，即；(2)【分析】（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由平面，則，列方程即可得出答案.（2）求出直線的方向向量與平面的法向量，由線面角的表示方法即可求出答案.【詳解】（1）由題知，平面平面，平面平面，因?yàn)椋矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，則，則以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．結(jié)合已知可得，，，，則中點(diǎn)．平面，，故可設(shè)，則，平面，，又，所以，解得，即，故點(diǎn)存在，且為線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)，即．（2）由（1）得是平面的一