冪函數(shù)之勘阻及廣創(chuàng)作【知識(shí)梳理】1．冪函數(shù)的觀點(diǎn)一般地，函數(shù)y＝x叫做冪函數(shù)．此中x是自變量，α是常數(shù)．2．稀有冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)11分析式y(tǒng)＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x2圖象定義域RRR{x|x≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y≠0}[0，＋∞)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)在(－∞，0]上在(－∞，0)上單一性在(－∞，＋∞)單一遞減，在在(－∞，＋∞)單一遞減，在在[0，＋∞)上上單一遞加(0，＋∞)上單上單一遞加(0，＋∞)上單單一遞加調(diào)遞加調(diào)遞減定點(diǎn)(1,1)3．冪函數(shù)的性質(zhì)全部的冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)．(2)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸．α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右側(cè)趨勢(shì)原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)窮地逼近y軸正半軸；當(dāng)x趨于＋∞時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)窮地逼近x軸正半軸．【?？碱}型】題型一、冪函數(shù)的觀點(diǎn)x【例1】(1)以下函數(shù)：①y＝x3；②y＝1；③y＝4x2；④y2x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．此中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為( )A．1B．2C．3D．4(2)已知冪函數(shù)y＝m2m1xm22m3，求此冪函數(shù)的分析式，并指出定義域．(1)[分析]②⑦為指數(shù)函數(shù)，③中系數(shù)不是1，④中分析式為多項(xiàng)式，⑤中底數(shù)不是自變量自己，所以只有①⑥是冪函數(shù)，應(yīng)選B.[答案]B(2)[解]∵y＝m2m1xm22m3為冪函數(shù)，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.當(dāng)m＝2時(shí)，m2－2m－3＝－3，則y＝x－3，且有x≠0；當(dāng)m＝－1時(shí)，m2－2m－3＝0，則y＝x0，且有x≠0.故所求冪函數(shù)的分析式為y＝x－3，{x|x≠0}或y＝x0，{x|x≠0}．【類題通法】判斷一個(gè)函數(shù)能否為冪函數(shù)的方法判斷一個(gè)函數(shù)能否為冪函數(shù)的依照是該函數(shù)能否為

y＝

x

(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的分析式為一個(gè)冪的形式，且需知足：

(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1.反之，若一個(gè)函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)應(yīng)具備這一形式，這是我們解決某些問(wèn)題的隱含條件．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】函數(shù)f(x)＝m2m1xm2m3是冪函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，求f(x)的分析式．解：依據(jù)冪函數(shù)的定義得m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)m＝－1時(shí)，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是減函數(shù)，不切合要求．故

f(x)

＝x3.【例

2】

題型二、冪函數(shù)的圖象(1)如圖，圖中曲線是冪函數(shù)y＝x

在第一象限的大概圖象，已知

11α取－2，－2，2，2四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線

C1，C2，C3，C4的α的值挨次為

(

)11A．－2，－2，2，2

11B．2，2，－2，－21C．－2，－2,2

1，2

11D．2，2，－2，－2(2)如圖是冪函數(shù)

y＝

xm與

y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則( )A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>111[分析](1)令x＝2，則22>22>2－2>2－2，11故相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的α值挨次為2，2，－2，－2.應(yīng)選B.此類題有一簡(jiǎn)捷的解決辦法，在(0,1)內(nèi)取x0，作直線x＝x0，與各圖象有交點(diǎn)，則“點(diǎn)低指數(shù)大”．如圖，0<m<1，n<－1.[答案](1)B(2)B【類題通法】解決冪函數(shù)圖象問(wèn)題應(yīng)掌控的兩個(gè)原則依照?qǐng)D象高低判斷冪指數(shù)大小，有關(guān)結(jié)論為：在(0,1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越湊近x軸(簡(jiǎn)記為指大圖低)；在(1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離(2)依照?qǐng)D象確立冪指數(shù)

x軸(簡(jiǎn)記為指大圖高)．α與0,1的大小關(guān)系，即依據(jù)冪函數(shù)在1第一象限內(nèi)的圖象(近似于y＝x－1或y＝x2或y＝x3)來(lái)判斷．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc的圖象如下圖，則a，b，c的大小關(guān)系為( )A．c<b<aB．a(chǎn)<b<cC．b<c<aD．c<a<b分析：選A由冪函數(shù)的圖象特點(diǎn)知，c<0，a>0，b>0.由冪函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)x>1，冪指數(shù)大的冪函數(shù)的函數(shù)值就大，則a>b.綜上所述，可知c<b<a.題型三、利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小【例3】比較以下各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大?。?.50.5(1)2與1；53(2)2131與；3523與32(3)43.34[解](1)∵冪函數(shù)y＝x0.5在(0，＋∞)上是單一遞加的，21又5>3，∴

0.5>10.52.53(2)∵冪函數(shù)y＝x1在(－∞，0)上是單一遞減的，3又－3<－5，∴

2131>.35x32∵函數(shù)y1＝2為R上的減函數(shù)，又>，34323∴23>24.33232又∵函數(shù)y2＝x3在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且4>3，2223∴33>23，∴33>24.4343【類題通法】比較冪值大小的方法若指數(shù)同樣，底數(shù)分歧，則考慮冪函數(shù)；若指數(shù)分歧，底數(shù)同樣，則考慮指數(shù)函數(shù)；若指數(shù)與底數(shù)都分歧，則考慮拔出中間數(shù)，使這個(gè)數(shù)的底數(shù)與所比較數(shù)的一個(gè)底數(shù)同樣，指數(shù)與另一個(gè)數(shù)的指數(shù)同樣，那么這個(gè)數(shù)就介于所比較的兩數(shù)之間，從而比較大?。緦?duì)點(diǎn)訓(xùn)練】比較以下各題中兩個(gè)冪的值的大小：32.34，2.44；(2)2332，32；660.315，0.355.3解：(1)∵y＝x4為[0，＋∞)上的增函數(shù)，且2.3<2.4，32.34<2.44.3(2)∵y＝x2為(0，＋∞)上的減函數(shù)，且2<3，33∴22>32.(3)666∵y＝x5為R上的偶函數(shù)，∴0.315＝0.315.6又函數(shù)y＝x5為[0，＋∞)上的增函數(shù)，且0.31<0.35，6666∴0.315<0.355，即0.315<0.355.【練習(xí)反應(yīng)】1．以下函數(shù)是冪函數(shù)的是()A．y＝2xB．y＝2x－1C．y＝(x＋1)2D．y＝3x2分析：選D由冪函數(shù)的觀點(diǎn)可知D正確．2．以下命題：①冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,0)；②冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限；③n＝0，函數(shù)y＝xn的圖象是一條直線；④冪函數(shù)y＝xn當(dāng)n>0時(shí)，是增函數(shù)；⑤冪函數(shù)y＝xn當(dāng)n<0時(shí)，在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減小．正確的命題為()A．①④B．④⑤C．②③D．②⑤分析：選Dy＝x－1可是(0,0)點(diǎn)，∴①錯(cuò)誤，清除A；當(dāng)n＝0時(shí)，y＝xn的圖象為兩條射線，③錯(cuò)誤，清除C；y＝x2不是增函數(shù)，④錯(cuò)誤，清除B；所以答案選D.13．已知冪函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，則f8＝________.分析：設(shè)f(x)＝1x，則4α＝2，∴α＝2，1，∴f11＝12＝2.即f(x)＝x2884答案：244．函數(shù)f(x)＝m2m1xm22m3是冪函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)時(shí)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝________.分析：由m2－m＋1＝1，得m＝0或m＝1，再把m＝0和m＝1分別代入m2＋2m－3<0查驗(yàn)，得m＝0.答案：05．比較以下各題中兩個(gè)冪的值的大?。?1113134.(1)1.12，0.92；(2)1.12，0.92；