《函數(shù)的單一性》教課方案講課人：楊靜班級：0503班教課目的1．使學(xué)生理解函數(shù)單一性的觀點，并能判斷一些簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的單一性．2．經(jīng)過函數(shù)單一性觀點的教課，培育學(xué)生剖析問題、認(rèn)識問題的能力．經(jīng)過例題培育學(xué)生利用定義進行推理的邏輯思想能力．3．經(jīng)過本節(jié)課的教課，浸透數(shù)形聯(lián)合的數(shù)學(xué)思想.使學(xué)生會利用圖象判斷和利用定義證明函數(shù)單一性。教課要點與難點教課要點：函數(shù)單一性觀點的應(yīng)用（判斷及證明）．教課難點：函數(shù)單一性觀點的理解．教課過程設(shè)計復(fù)習(xí)引入前面我們對函數(shù)從頭下了定義，并且學(xué)習(xí)了函數(shù)的三種表示法：圖象法、分析法、列表法。此中前兩種較為常用。今日我們就經(jīng)過圖象和純代數(shù)分析式這兩個角度來研究函數(shù)的單一性，它刻畫的是自變量大小的變化與函數(shù)值變化之間的關(guān)系。師：請同學(xué)們察看下邊兩組在相應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)，而后指出這兩組函數(shù)之間在性質(zhì)上的主要差別是什么？(用投影給出兩組函數(shù)的圖象．)第一組：第二組：生：第一組函數(shù)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；第二組函數(shù)，函數(shù)值y隨x的增大而減?。畮煟?手執(zhí)投影棒使之沿曲線挪動)對．他(她)答得很好，這正是兩組函數(shù)的主要差別．當(dāng)變大時，第一組函數(shù)的函數(shù)值都變大，而第二組函數(shù)的函數(shù)值都變?。倘辉诿恳唤M函數(shù)中，函數(shù)值變大或變小的方式其實不同樣，但每一組函數(shù)卻擁有一種共同的性質(zhì)．我們在學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比率函數(shù)以及冪函數(shù)時，就以前依據(jù)函數(shù)的圖象研究過函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的變大而變大或變小的性質(zhì)．而這些研究結(jié)論是直觀地由圖象獲得的．在函數(shù)的會合中，有好多函數(shù)擁有這類性質(zhì)，所以我們有必需對函數(shù)這類性質(zhì)作更進一步的一般性的議論和研究，這就是我們今日這一節(jié)課的內(nèi)容．(點明本節(jié)課的內(nèi)容，既是以前有所認(rèn)識的，又是新的知識，惹起學(xué)生的注意．)二、對觀點的剖析(板書課題：函數(shù)的單一性)師：請同學(xué)們翻開課本第58頁，請××同學(xué)把增函數(shù)、減函數(shù)、單一區(qū)間的定義朗誦一遍．(學(xué)生朗誦．)師：好，請坐．經(jīng)過方才閱讀增函數(shù)和減函數(shù)的定義，請同學(xué)們思慮一個問題：這類定義方法和我們方才所議論的函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大或減小能否一致？假如一致，定義中是如何描繪的？生：我認(rèn)為是一致的．定義中的“當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)”描繪了y隨x的增大而增大；“當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)”描繪了y隨x的增大而減少．師：說得特別正確．定義頂用了兩個簡單的不等關(guān)系“x＜f(x2)或f(x1)＞1＜x2”和“f(x)1f(x2)”，它刻劃了函數(shù)的單一遞加或單一遞減的性質(zhì)．這就是數(shù)學(xué)的魅力！(經(jīng)過教師的情緒感染學(xué)生，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．)師：此刻請同學(xué)們和我一同來看方才的兩組圖中的第一個函數(shù)y=f1(x)和y=f2(x)的圖象，領(lǐng)會這類魅力．(指圖說明．)師：圖中y=f1(x)關(guān)于區(qū)間[a，b]上的隨意x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，都有f1(x1)＜f1(x2)，所以y=f1(x)在區(qū)間[a，b]上是單一遞加的，區(qū)間[a，b]是函數(shù)y=f1(x)的單一增區(qū)間；而圖中y=f2(x)關(guān)于區(qū)間[a，b]上的隨意x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，都有f2(x1)＞f2(x2)，所以y=f2(x)在區(qū)間[a，b]上是單一遞減的，區(qū)間[a，b]是函數(shù)y=f2(x)的單一減區(qū)間．(教師指圖說明剖析定義，使學(xué)生把函數(shù)單一性的定義與直觀圖象聯(lián)合起來，使新舊知識融為一體，加深對觀點的理解．浸透數(shù)形聯(lián)合剖析問題的數(shù)學(xué)思想方法．)師：所以我們能夠說，增函數(shù)在圖象上就是隨X增大漸漸上漲的，減函數(shù)在圖象上就是隨X增大漸漸降落的。師：好．我們剛才以增函數(shù)和減函數(shù)的定義作了初步的剖析，經(jīng)過閱讀和剖析你認(rèn)為在定義中我們應(yīng)當(dāng)抓住哪些要點詞語，才能更透辟地認(rèn)識定義？由方才給出的增函數(shù)、減函數(shù)的定義，判斷：（1）可否說f(x)=x2在x=0這一點上是遞加的（生：不可以．因為它的函數(shù)值是獨一確定的常數(shù)(注意這四個字“獨一確立”)，因此沒有增減的變化．那么，我們不可以離開區(qū)間平常討論某一個函數(shù)是增函數(shù)或是減函數(shù)）（2）可否直接說函數(shù)f(x)=x2是增函數(shù)（生：不可以。舉例子趁便重申定義中“任取”的必需性。在y軸左邊它是減函數(shù)，在y軸右邊它是增函數(shù)．因此我們不可以說y=x2是增函數(shù)或是減函數(shù)．(在學(xué)生回答下列問題時，教師展現(xiàn)函數(shù)y=x2的圖像，從“形”上感知．)師：有同學(xué)說，觀察函數(shù)y=x2，在區(qū)間R上，假如取兩個特定的值x1=－1，x2=2，明顯x1＜x2，而f(x1)=1，f(x2)=4，有f(x1)<f(x2)，若由此判斷y=x2是R上的增函數(shù)，他的推導(dǎo)和結(jié)論對嗎？假如不對，錯在哪里？(讓學(xué)生思慮片晌．)生：依靠該函數(shù)的函數(shù)圖象，該函數(shù)不是R上的單一函數(shù)。生：還有依靠定義中的“屬于這個區(qū)間的隨意兩個”和“都有”也是要點詞語。我們知道上例取兩數(shù)時，沒有依照以上隨意性。師：很好，我們在學(xué)習(xí)任何一個觀點的時候，都要擅長抓住定義中的要點詞語，在學(xué)習(xí)幾個鄰近的觀點時還要注意差別它們之間的不一樣．生：“隨意”就是指不可以取特定的值來判斷函數(shù)的增減性，而“都有”則是說只需x1＜x2，f(x1)就一定都小于f(x2)，或f(x1)都大于f(x2)．師：好極了！經(jīng)過剖析定義，我們知道要判斷函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)或減函數(shù)，不可以由特定的兩個點的狀況來判斷，而一定嚴(yán)格依照定義在給定區(qū)間內(nèi)任取兩個自變量x1，x2，依據(jù)它們的函數(shù)值f(x1)和f(x2)的大小來判斷函數(shù)的增減性．(教師經(jīng)過一系列的設(shè)問，使學(xué)生處于踴躍的思想狀態(tài)，從抽象到詳細(xì)，并經(jīng)過反例的反襯，使學(xué)生加深對定義的理解．在觀點教課中，反例常常幫助學(xué)生更深刻地理解觀點，鍛煉學(xué)生的發(fā)散思想能力．)師：反過來，假如我們已知f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么，我們就能夠經(jīng)過自變量的大小去判斷函數(shù)值的大小，也能夠由函數(shù)值的大小去判斷自變量的大?。匆话憬t特別建立，反之，特別建立，一般不必定建立．這正是辯證法中一般和特別的關(guān)系．(用辯證法的原理來解說數(shù)學(xué)知識，同時用數(shù)學(xué)知識去理解辯證法的原理，這樣的剖析，有助于深入地理解和掌握觀點，分清觀點的內(nèi)涵和外延，培育學(xué)生學(xué)習(xí)的能力．)三、觀點的應(yīng)用例1圖4所示的是定義在閉區(qū)間[－5，5]上的函數(shù)f(x)的圖象，依據(jù)圖象說出f(x)的單調(diào)區(qū)間，并回答：在每一個單一區(qū)間上，f(x)是增函數(shù)仍是減函數(shù)？(用投影幻燈給出圖象．)生甲：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[－5，－2]，[1，3]上是減函數(shù)，所以[－5，－2]，[1，3]是函數(shù)y=f(x)的單一減區(qū)間；在區(qū)間[－2，1]，[3，5]上是增函數(shù)，所以[－2，1]，[3，5]是函數(shù)y=f(x)的單一增區(qū)間．講堂練習(xí)：描繪下列圖配線的狀況,該裝線的生產(chǎn)效率表示為生產(chǎn)線工人數(shù)目的函數(shù)。202:整個上午（8：00—12：00）天氣愈來愈暖，正午（12：00—13：00）一場狂風(fēng)雨是天氣忽然涼了很多?？耧L(fēng)雨事后，天氣轉(zhuǎn)暖,至到太陽落山（18:00）才開始轉(zhuǎn)涼。下邊是一天8：00—20：00時期氣溫作為時間函數(shù)的的圖象，請說出所畫函數(shù)的單一區(qū)間。溫度O8:0012:0013:0018:0020:00時間例2證明函數(shù)f(x)=3x＋2在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．師：從函數(shù)圖象上察看函數(shù)的單一性誠然形象，但在理論上不夠嚴(yán)格，特別是有些函數(shù)不易畫出圖象，所以一定學(xué)會依據(jù)分析式和定義從數(shù)目上剖析辨識，這才是我們研究函數(shù)單調(diào)性的基本門路．(指出用定義證明的必需性．)師：如何用定義證明呢？請同學(xué)們思慮后在筆錄本上寫出證明過程．(教師巡視，并指定一名中等水平的學(xué)生在黑板上板演．學(xué)生可能會對如何比較f(x1)和f(x2)的大小關(guān)系感覺無從下手，教師應(yīng)給予啟迪．)師：關(guān)于f(x1)和f(x2)我們?nèi)绾伪容^它們的大小呢？我們知道對兩個實數(shù)a，b，假如a＞b，那么它們的差a－b就大于零；假如a=b，那么它們的差a－b就等于零；假如a＜b，那么它們的差a－b就小于零，反之也建立．所以我們可由差的符號來決定兩個數(shù)的大小關(guān)系．師：(板演)設(shè)x1，x2是(－∞，＋∞)上隨意兩個自變量，當(dāng)x1＜x2時，f(x1)－f(x2)=(3x1＋2)－(3x2＋2)=3x1－3x2=3(x1－x2)＜0，所以f(x)是R上的是增函數(shù)．師：證明思路是清楚的．一開始設(shè)x1，x2是(－∞，＋∞)內(nèi)隨意兩個自變量，并設(shè)x1＜x2(并標(biāo)明“①→取值”)，而后看f(x1)－f(x2)，這一步是證明的要點，再對式子進行變形，一般方法是分解因式或配成完整平方的形式，這一步可歸納為“作差，變形”(同上，劃線并標(biāo)明”②→作差，變形”)．但美中不足的是他沒能說明為何f(x1)－f(x2)＜0，沒實用到開始的假定“x1＜x2”，不要認(rèn)為其不言而喻，在這里必定要對變形后的式子說明其符號．應(yīng)寫明“因為x1＜x2，所以x1－x2＜0，進而f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．”這一步可歸納為“定符號”(在黑板上板演，并注明“③→定符號”)．最后，作為證明題必定要有結(jié)論，我們把它稱之為第四步“下結(jié)論”(在相應(yīng)地點標(biāo)明“④→下結(jié)論”)．這就是我們用定義證明函數(shù)增減性的四個步驟，請同學(xué)們記著．需要指出的是第二步作差比較，假如所給函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上恒大于0也能夠經(jīng)過作商比較法△講堂練習(xí)：試剖析函數(shù)y=kx+b(k0)在R上的單一性。(對學(xué)生的做法進行剖析，把證明過程步驟化，能夠形成思想的定勢．在學(xué)生剛才接觸一個新的知識時，思想定勢對理解知識自己是有利的，同時對學(xué)生養(yǎng)成必定的思想習(xí)慣，形成一定的解題思路也是有幫助的．最后舉出幾個一次函數(shù)的實例要大家會判斷他們的單一性。)例3證明函數(shù)f(x)=在（0，+）是減函數(shù)。思慮：能說函數(shù)f(x)=是定義域上的單一函數(shù)嗎？（提示：能夠經(jīng)過①反比率函數(shù)圖象推出結(jié)論②也能夠先假定結(jié)論，再經(jīng)過依照定義來證明）剖析：因為由圖象可知，它分別在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是減函數(shù)．經(jīng)過方才的議論我們知道此反函數(shù)既不是定義域上的增函數(shù)也不是定義域內(nèi)的減函數(shù)，它在(－∞，0)和(0，＋∞)每一個單一區(qū)間內(nèi)都是減函數(shù)．所以在函數(shù)的幾個單一增(減)區(qū)間之間不要用符號“∪”連結(jié)．此外，x=0不是定義域中的元素，此時不要寫成閉區(qū)間．(教師巡視．對學(xué)生證明中出現(xiàn)的問題給于點拔．可依照學(xué)生的問題，給出下邊的提示：分式問題化簡方法一般是通分．要說明三個代數(shù)式的符號：k，x1·x2，x2－x1．對學(xué)生的解答進行簡單的剖析小結(jié)，點出學(xué)生在證明過程中所出現(xiàn)的問題，惹起全體學(xué)生的重視．)四、講堂小結(jié)師：請同學(xué)小結(jié)一下這節(jié)課的主要內(nèi)容，有哪些是應(yīng)當(dāng)特別注意的？(請一個思路清楚，擅長表達(dá)的學(xué)生口述，教師可從中賜予提示．)生：（1）這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)單一性的定義，要特別注意定義中“給定區(qū)間”、“屬于”、“任意”、“都有”這幾個要點詞語；在寫單一區(qū)間時不要輕易用并集的符號連結(jié)；2）最后在用定義證明函數(shù)的單一性時，應(yīng)當(dāng)注意證明的四個步驟．五、作業(yè)課本P60練習(xí)2、習(xí)題第2題．六、課后思慮思慮：函數(shù)yx1x1的單一性是如何的，此函數(shù)的最大值和最小值為多少？講堂教課方案說明函數(shù)的單一性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，是研究函數(shù)時常常要注意的一個性質(zhì)．并且在比較幾個數(shù)的大小、對函數(shù)作定性剖析、以及與其余知識的綜合應(yīng)用上都有寬泛的應(yīng)用．對學(xué)生來說，函數(shù)的單一性早已有所知，但是沒有給出過定義，不過從直觀上接觸過這一性質(zhì)．學(xué)生對此有必定的感性認(rèn)識，對觀點的理解有必定利處，但另一方面學(xué)生也會感覺是已經(jīng)學(xué)過的知識，感覺無聊．所以，在設(shè)計教課方案時，增強了對觀點的剖析，希望能夠使學(xué)生認(rèn)識到看似簡單的定義中有許多值得去斟酌、去思索的東西，此中其至包括著辯證法的原理．此外，對