等差數(shù)列

(děnɡch

āsh

ùli

è)·例題分析【例

1】

在100之內(nèi)有多少個能被

7個整除的自然數(shù)？解∵100之內(nèi)能被7整除的自然數(shù)構成一個等差數(shù)列，此中a1=7，d＝7，an＝98．代入an＝a1＋(n－1)d中，有98＝7＋(n－1)·7解得n＝14答100之內(nèi)有14個能被7整除的自然數(shù)．【例2】在－1與7之間按序插入三個數(shù)a，b，b使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列．解設這五個數(shù)構成的等差數(shù)列為{an}由：a1＝－1，a5＝7∴7＝－1＋(5－1)d解出d＝2所求數(shù)列為：－1，1，3，5，7．插入一個數(shù)，使之構成一個新的等差數(shù)列，求新數(shù)列的通項．【例4】在[1000，2000]內(nèi)能(nèinénɡ)被3整除且被4除余1的整數(shù)一共有多少個？解設a=3n，b＝4m－3，n，m∈Nnm}，中同樣的項構成的數(shù)列{c}的通得n＝4k－1(k∈N)，得{anmn項cn＝12n－3(n∈N)．那么在[1000，2000]內(nèi){cn}的項為84·12－3，85·12－3，，166·12－3∴n＝166－84＋1=83∴一共有83個數(shù)．【例5】三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為15，其平方和為83，求此三個數(shù)．解設三個數(shù)分別為x－d，x，x＋d．解得x＝5，d＝±2∴所求三個數(shù)為3、5、7或許7、5、3說明注意學習本題對三個成等差數(shù)列的數(shù)的想法．【例6】a、b、c成等差數(shù)列，求證：b＋c，c＋a，a＋b也成等差數(shù)列．證∵a、b、c成等差數(shù)列∴2b=a＋c(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c2(a＋c)∴b＋c、c＋a、a＋b成等差數(shù)列(děnɡchāshùliè)．說明若是a、b、c成等差數(shù)列，?；?b＝a＋c的形式去運用；反之，若是求證a、b、c成等差數(shù)列，常改證2b=a＋c．本例的企圖即在讓讀者領會這一點．可能是等差數(shù)列．剖析直接證明a、b、c不行能是等差數(shù)列，相關等差數(shù)列的知識較難運用，這時常常用反證法．證假定a、b、c是等差數(shù)列，那么2b=a＋c2ac＝b(a＋c)=2b2，b2＝ac．又∵a、b、c不為0，a、b、c為等比數(shù)列，又∴a、b、c為等差數(shù)列，a、b、c為常數(shù)列，與a≠b矛盾，假定(jiǎshè)是錯誤的．a(chǎn)、b、c不行能成等差數(shù)列．【例8】解答以下各題：(1)等差數(shù)列{an}，an≠0，公差d≠0，求證：①對隨意k∈N，對于x的方程akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0有一公一共根；剖析與解答(1)akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0{an}為等差數(shù)列，∴2ak+1＝ak＋ak+2∴akx2＋(ak＋ak+2)x＋ak+2＝0(akx＋ak+2)(x＋1)=0，ak≠0∵{an}為等差數(shù)列，d為不等于零的常數(shù)由條件得2b=a＋c4RsinB＝2RsinA＋2RsinC，2sinB＝sinA＋sinC剖析至此，變形(biànxíng)目的需明確，即要證因為目的是半角的余切形式，一般把切向弦轉(zhuǎn)變，故有【例9】假定正數(shù)a1，a2，a3，an+1成等差數(shù)列，求證：證明設該數(shù)列的公差為d，那么a1－a2=a2－a3＝＝an－an+1=－d∴a1－an+1=－nd∴原等式(děngshì)建立．【例10】設x≠y，且兩數(shù)列x，a1，a2，a3，y和b1，x，內(nèi)容總結（