考研概率試題(數(shù)四)

題目：(87,2分)對于任意二事件A和B,有P(A-B)=(C)

P(A)-P(B).(B)P(A)-P(B)+P(AB)(C)P(A)-P(AB).(D)P(A)+P(-)-P(AZ).

知識點：概率的性質(zhì)

解：A-B=A-AB,且ABUA,故。成立.

注釋本題考查概率的性質(zhì).P(A—B)=P(A)-P(AB)是一常用式子.只有BUA時(A)才成

立.

題目：(87,8分)已知離散型隨機變量X的概率分布為

P(X=l)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5

寫出X的分布函數(shù)F(x)；(2)求X的數(shù)學(xué)期望和方差.

知識點：離散型隨機變量期望方差

0x<1

0.2l<x<2

F(x)=<

0.52<x<3

%-3(2)2,3;0.61

解：⑴1

注釋本題主要考查離散型隨機變量由分布列求分布函數(shù)和期望、方差的方法。分布函數(shù)定

義式中

2

題目：（88,7分）假設(shè)有十只同種電器元件，其中有兩只廢品.裝配儀器時，從這批元件中

任取一只，若是廢品，則扔掉重新任取一只；若仍是廢品，則扔掉再取一只.試求在取到正品之

前，已取出的廢品只數(shù)的概率分布、數(shù)學(xué)期望和方差.

知識點：離散型隨機變量期望方差概率

X）12

4812“88

p—￡（x）=-r＞（x）=—-

解：645459405

注釋本題主要考查離散型隨機變量的分布列和期望、方差的計算。其中概率的計算可

以這樣：設(shè)

｛第歆取得正品｝,則同可）（國

A=（i>1）,P（X=2）=P（AAA3）=p（4P4）p（4）=|x"xW

3

題目：（89,8分）某儀器裝有三只獨立工作的同型號電子元件,其壽命（單位：小時）都服從

同一指數(shù)分布，分布密度為

麗，若

/（無）=<

試求：在儀器使用的最初200小時內(nèi)，至少有一只電子元件損壞的概率.1-eT

知識點:離散型隨機變量二項分布

解設(shè)電子元件的壽命為X,又設(shè)在最初的200小時內(nèi)，有Y只電子原件損壞。

則知，X的概率密度f（x）,而丫~8（3，〃）

「2001-2

p=p(X<200)=J-—emdx=-e600

III

注釋本題主要考查一堆連續(xù)型隨機變量的概率計算。求概率時，遇到“至少”、“至多”這

類問題時，可考慮其對立事件的概率；解2用到二項分布，同學(xué)要善于從“獨立”、“重復(fù)”、

“發(fā)生幾次”（本題指幾個元件損壞）幾個要素上判斷其屬于二項分布（貝努里概型）

4

題目：(89,8分)已知隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布為

(x,y)(00)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)

P{X=x,Y=y)~6?100.150.250.200.15~0J5

試求：(DX的概率分布；

%(X+Y)

(2)X+Y的概率分布；(3)Z=sin―2一的數(shù)學(xué)期望.

知識點：二位離散型隨機變量邊緣分布隨機變量函數(shù)分布期望

X012

解：4.(1)P0.250.450.3

X+Y0123

⑵“0.10.40.350.15⑶E(Z)=0.25

注釋本題主要考查二維離散型隨機變量由聯(lián)合分布求邊緣分布、隨機變量函數(shù)的分布和

期望的方法。

5

題目：(89,3分)設(shè)隨機變量XI、X2、X3相互獨立，其中XI在區(qū)間［0,6］上服從均勻分

布,X2~N(0,22),X3服從參數(shù)為入=3的泊松分布，記Y=X1-2X2+3X3,則DY=46.

知識點:方差特殊分布

注釋本題主要考查方差的計算性質(zhì)和特殊分布的方差。對二項、播送、均勻、指數(shù)、正態(tài)等

特殊分布，不但要求記住其分布列或密度，還要記住其期望和方差

6

題目：(90,6分)甲、乙兩人獨立地各進(jìn)行兩次射擊，設(shè)甲的命中率為0.2,乙的命中率為

0.5,以X和Y分別表示甲和乙的命中次數(shù)，試求(X,Y)的聯(lián)合概率分布.

知識點：二維隨機變量及其分布

解:

012

Pi.

00.160.320.160.64

10.080.160.080.32

20.010.020.010.04

P-i0.250.50.251

7

題g：(90,3分)設(shè)隨機變量X~N(-3,1),Y~N(2,1),且X與Y相互獨立.若Z=X-2Y+7,則

Z0N(0,5)

知識點：正態(tài)分布期望方差計算

注釋本題主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)和期望方差的計算性質(zhì)。注意。?=。，。(。)=。2。(丫)(C

為常數(shù))，切勿寫成“Q(X-2y+7)=0X-2DY+7”.錯！另外，參閱本章3-3題注釋。

題目：(90,3分)已知隨機變量X服從二項分布，且EX=2.4,DX=1.44,則二項分布的參數(shù)n,

P的值為(B)

(A)n=4,p=0.6(B)n=6,p=0.4(C)n=8,p=0.3(D)n=24,p=0.1

知識點:二項分布期望方差

題目:(91,3分)設(shè)A、B為隨機事件,P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,則P(麗)=0.6.

知識點：概率的計算性質(zhì)

解...P(A—B)=P(A)-尸(A3),

得P(A-8)=P(A)-P(AB)=0.7-0.3=0.4.

故P(而)=l-P(AB)=l-0.4=0.6.

注釋本題考查概率的計算性質(zhì)

8

題目：(91,7分)在電源電壓不超過200V、在200?240V和超過240V三種情形下,某種電

子元件損壞的概率分別為0.1、0.001和0.2,設(shè)電源電壓X?N(220,252),試求

1.該電子元件損壞的概率a；

2.該電子元件損壞時，電源電壓在200?240V的概率B.0.064;0.009

X0.100.200.400.600.801.001.201.40

①（幻0.5300.5790.6550.7260.7880.8410.8850.919

表中①(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).

知識點：全概率公式正態(tài)分布概率計算

注釋本題主要考查全概率公式(及貝葉斯公式)和正態(tài)分布概率計算。

9

題目：（91,7分）一輛汽車沿一街道行駛,要過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個信號燈

為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨立,且紅、綠兩種信號顯示的時間相等，以X表示該汽

車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù).求X的概率分布和El1+X4

知識點：分布列和隨機變量函數(shù)的期望

X0123

11

P-1J.1

解：7.2488*X+1

注釋本題主要考查分布列和隨機變量函數(shù)的期望。其中｛X=3｝表示｛三個路口遇紅燈｝,不要

溜掉。本題不是二項分布（問的不是”共遇幾次綠燈”）。有時間時應(yīng)取之和為1.

10

題目：(92,3分)設(shè)A,B.C為隨機事件,P(A)=P(B)=P(C)=W,P(AB)=P(BC)=O,P(AC)=§，則

A,B,C至

5

少出現(xiàn)一個的概率為§

知識點：隨機事件及其概率

解P(A8,C至少出現(xiàn)一個)=P(AUBUC)

=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

111n1nA5

44488

其中尸(ABC)=°可如下推出：

ABCuAB,：.0<P(ABC)<P(AB)=0故P(ABC)=0.

注釋本題主要考查P(AUBUC)的計算式，其中尸(ABC)=°的證明不能證：“

P(AB)=0.-.AB=0,r.ABC=0C=0,/.P(ABC)=尸(0)=0”，因為P(AB)=0得不至1J“

AB=0”這一結(jié)論.

題目：(92,3分)設(shè)當(dāng)事件A與B同時發(fā)生時事件C也發(fā)生，則(D)

(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(AVB)(C)P(C)WP(A)+P(B)T(D)P(C)>P(A)+P(B)-1.

知識點：隨機事件及其概率

題目：(93,3分)設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取的兩件中有一件是

不合格品，則另一件也是不合格品的概率為二

知識點：條件概率

解設(shè)八=｛取的兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品｝,B=｛取的兩件產(chǎn)品都是不合格品｝.

顯然有BcA,.\AB=B

11

P(即4)=還=股

則所求概率為P(A)P(A)

C212

P(A)=1-P(兩件產(chǎn)品均為合格品)=1-旨=1-；=1

而Go33

C：2

P(3)=V=—

G：15

P(B|A)=^-^=-

12/35

注釋本題考查條件概率的計算。有人這樣設(shè)："A={取的兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品},

B={另一件也是不合格品}”這樣的說法含義不準(zhǔn)確。兩件產(chǎn)品被取出，誰是“另一件”？

“這一件，，？要避免這樣含糊的說法，可以看出反否是否說的清楚即可。

題目：(93,3分)設(shè)隨機變量X與Y均服從正態(tài)分布,X?N(u,42),Y?N(u,52),記pl=P{X

Wu-4},p2=P{Y2u+5},則(A)

對任何實數(shù)口，都有pl=p2.

對任何實數(shù)都有pl=Vp2.

只對u的個別值,才有pl=p2.

(D)對任何實數(shù)口都有pl=>p2.

知識點：隨機變量正態(tài)分布

12

題目：(93,8分)設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，都在區(qū)間[1,3]上服從均勻分布.引進(jìn)事件

A={XWa},B={Y>a}

71

P(AUB)———

已知9,求常數(shù)a；2.求X的數(shù)學(xué)期望.

知識點：連續(xù)型隨機變量概率計算函數(shù)的期望

5711

八一或一￡：(-)=-In3

解：⑴33⑵x2

注釋本題主要考查(連續(xù)型)隨機變量的概率計算和函數(shù)的期望。不要寫

￡(—)=-i/rP(A)-T^-dx1]a[[-dx

“XJ-r2”“-2”以及來說aeU，3]時，寫成“小2”一類寫法，因

2

為f(x)并非E只在xe[l,3]才有。

13

題目：（94,3分）設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60樂30%10%,現(xiàn)從中任了一件,結(jié)果不

2

是三等品，則取到的是一等品的概率為§

知識點：條件概率

解設(shè)4=｛取的產(chǎn)品是，等品｝,i=1,2,3

有題意知24）=06P（4）=。3P（A3）=0.1,

得P（A）=I-P（4）=O.9

目Au4,故a4=A

P（A扃）=儂&=竺二

所求概率為1尸⑷0.93

注釋本題主要考查條件概率的計算。希望能看出％u&。

14

題目：（95,7分）設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,證明：Y=l-e-2X在區(qū)間（0,1）上

服從均勻分布.

知識點：續(xù)型隨機變量函數(shù)分布

注釋本題主要考查一維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布。兩種證法各有優(yōu)劣，主要證發(fā)2中要

求Hy）單調(diào)，也勿丟掉l-y〉o這一限制證法1中可以具體作出L/x（x）dx的積分值（有

Fx（--ln（l-y））.UM，-,）2

點繁），也可表示成2-（這兒自為X的分布函數(shù)），但不能寫成J一（參

見本章2T1題注釋末尾）。

15

1+x,若-1<X<0

/(X)\—X,若0WXW1]

0,其他則DX=6.

題目：(95,3分)設(shè)隨機變量X的概率密度為

知識點：隨機變量

題目：(96,3分)設(shè)A,B為隨機事件且AUB,P(B)>0,則下列選項必然成立的是(B)

P(A)<P(A|B)(B)P(A)WP(A|B)(C)P(A)>P(A|B)(D)P(A)2P(A|B).

知識點：本題主要考查條件概率的計算式。

解vAB=A

P(A⑻="A3)2P(A)

故P?

(???°<°58)<1)故選明

題目：(96,3分)一實習(xí)生用同一臺機器接連獨立地制造3個同種零件,第i個零件是不合

111

格的概率pi=^+l(i=l,2,3),以X表示3個零件中合格品的個數(shù),則P(X=2)=24

知識點：互不相容和獨立事件的概率計算

解記4=｛制造的第i個零件是合格品｝,i=l,2,3.由題意知、兒，4相互獨立，且

P(4)=l-p,.=1-■；~-=---^=1,2,3

z+1z+l

則

P(X=2)=P(AlA^u4uAA2A3)

=尸(444)+2(444)+尸(私人)

=P(A)P(4)P(A)+p(A)p(而p(4)+P(A)P(4)P(4)

12111312311

=—X—X—+—X—義一+—X—X—=—

23423423424

注釋本題考查互不相容和獨立事件的概率計算。主要本題非二項分布(非貝努里概型)，因為

“重復(fù)”這一條件不成立。

16

題目：（96,7分）設(shè)一電路裝有三個同種電氣元件,其工作狀態(tài)相互獨立，且無故障工作時

間都服從參數(shù)為X>0的指數(shù)分布.當(dāng)三個元件都無故障時，電路正常工作，否則整個電路不能

正常工作.試求電路正常工作的時間T的概率分布.

知識點：指數(shù)分布

3〃田r>0

捫（。=<

0

解:r<0

17

題目:(97,3分)設(shè)A,B是任意兩個隨機事件,則P{(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)}=0.

知識點：事件的運算

解?「(A+8)(A+8)(A+B)(A+8)=(AA+AB+AB+B)(AA+AS+AB+B)

故P(A+B)(A+B)(A+B)(A-bB)=P(0)=0

注釋本題主要考查事件的運算，由于事件的并，交運算具有交換、結(jié)合及分配律，故可以像

多項式相乘一樣地“乘二本題要求考試做得快捷，不可多耽誤時間。

題目：(97,3分)設(shè)隨機變量服從參數(shù)為(2,p)的二項分布,隨機變量Y服從參數(shù)為⑶p)的

5i_

二項分布，若P{X21}=3,則P{Y^1}=3.

知識點：本題主要考查二項分布的計算。

解由已知，X~B⑵P),Y~B(3,P).所以

-=P(X>l)=l-P(X=0)=l-C?-p°-(l-p)2=l-(l-p)2

9

r421

**?(1-pY——，由1_p￡[0,1],解得1-p=]P—~

i221o

^P(y.i)=i-P(y=o)=i-co(-)o.(-)3=1--=-

18

￡J_

題目：(97,8分)設(shè)隨機變量X的絕對值不大于l,P{X=-l}=W,p{X=l}=1,在事件{T〈X〈1}

出現(xiàn)的條件下,X在(T,1)內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長度成正比.試求:

(1)X的分布函數(shù)尸(x)=P[X*x}；(2)X取負(fù)值的概率.

知識點：分布函數(shù)和條件概率

0%<-1

F(x)=<—(x+1)+--1<x<1

1618

解：I1

注釋本題主要考查分布函數(shù)和條件概率的計算。解中“P(TWX*R-1<X<1)=hx+1)”

是題中“在事件{T<X<1}出現(xiàn)成正比…”這句話的數(shù)學(xué)式子表述。解中用到式子:

“P(X=a)=F(a)—F(a—O),,,“P(X〈a)=F(a_O)”是用分布函數(shù)求概率的式子。

19

題目：(97,3分)設(shè)隨機變量服從參數(shù)為⑵p)的二項分布,隨機變量Y服從參數(shù)為⑶p)的

5W.

二項分布，若P{X20}=5,則P{￥>1)=27

知識點：二項分布

題目：(97,3分)設(shè)X是一隨機變量EX=口，DX=。2(口，。2>0是常數(shù))，則對任意常數(shù)C必

有

(A)E(X-C)2=EX2-C2(B)E(X-C)2=E(X-u)2

(C)E(X-C)2<E(X-u)2(D)E(X-C)2^E(X-u)2[D]

知識點：期望

注釋本題主要考查數(shù)學(xué)期望的計算性質(zhì)。解中插項的方法是一較常用手法。(若加條

件，則E(X—C)2>E(X—")2)

20

題目：（97,8分）設(shè)隨機變量Y服從參數(shù)為人=1的指數(shù)分布，隨機變量

vfO,若丫乙

’[1,若丫＞々（攵=1⑵

求：（1）（XI,X2）的聯(lián)合概率分布；（2）E（X1+X2）.

知識點：隨機變量的分布概率的計算期望的性質(zhì)

解：⑴

01

王

01-e-'0

1e~l-e~2e~2

⑵

注釋本題主要考查隨機變量的分布、概率的計算和期望的性質(zhì)。其中⑵可以先求出X，X2

的邊緣分布或Xi+X]的分布（本題之解簡潔些）再求期望。

21

1

題目：（98,3分）設(shè)一次試驗成功的概率為p,進(jìn)行100次獨立重復(fù)試驗，當(dāng)p=2時,成功次數(shù)

的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大,其最大值為5.

知識點：標(biāo)準(zhǔn)差

解由題意，成功次數(shù)為參數(shù)n=100,p的貝努里概型，其標(biāo)準(zhǔn)差

JnpQ-p)=10jp(l-p)<10義?+；一.)=5

其中“W”中等號成立的充要的條件為

2

P=I一即“一5,這是標(biāo)準(zhǔn)差最大。

注釋“標(biāo)準(zhǔn)差”的概念在數(shù)字特征一節(jié)里（本題可對歸入本章第3節(jié)）。本題用到“幾何平均

數(shù)W算術(shù)平均”

題目：（98,3分）設(shè)A,B,C是三個相互獨立的隨機事件,且OVP（C）<1.則在下列給定的四對事

件中不相互獨立的是（B）

（A）石^與C.⑻旅與心⑹不^與己（D）而與心

知識點：獨立事件

解只有（B）中，衣與有共同的C,一般不獨立。

注釋本題考查的是事件組獨立的一個結(jié)論：若442,…4相互獨立，將4，42,…4分成女

組彼此沒有共同的事件，然后各組內(nèi)諸事件并、交、差、補等運算，得到的k個新事件是相

互獨立的（例如，若…4相互獨立，則AUA2,4-A4，AA4U4相互獨立）。因此，本

題中（A）、（C）、（D）的兩個事件均獨立，不選。

22

題目：（98,9分）設(shè)某種商品每周的需求量X是服從區(qū)間［10,30］上均勻分布的隨機變量,而經(jīng)

銷商店進(jìn)貨數(shù)量為區(qū)間［10,30］中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利500元；若供大

于求則削價處理,每處理1單位商品虧損100元；若供不應(yīng)求,則可從外部調(diào)劑供應(yīng),此時每1

單位商品獲利300元.為使商店所獲利潤期望值不少于9280元,試確定最少進(jìn)貨量.21

知識點：隨機變量期望

注釋本題主要考查隨機變量函數(shù)的期望。這是一有應(yīng)用背景的題目，希望同學(xué)能從題意看出

Y與X、h的函數(shù)關(guān)系（寫g（X）是為了后邊套公式方便）。本題X為隨機變量（已知分布），h為

非隨機變量（未知待求）而Y是隨機變量，但勿去求Y的分布。

23

題目：(98,7分)某箱裝有100件產(chǎn)品，其中一、二和三等品分別為80、10和10件.現(xiàn)從

中隨機抽取一件,記

v[1,若抽到，?等品

A.=<

'[0其他。=1,2,3)

試求：(1)(XI,X2)的聯(lián)合分布；(2)(XI,X2)的相關(guān)系數(shù)夕.

知識點：離散型隨機變量

解：16.(1)

01

X

11

0

W10

4

10

5

(2)-3

注釋本題主要考查離散型(二維)隨機變量的分布列和數(shù)字特征的計算。由題意有

(X2=l)u(X|=O),.\P(X|=O,X2=l)(其余類似)。解中的表可不寫，而表中寫出兩個邊緣分

布列是為了求取MX?等方便。

24

題目：（99,3分）設(shè)隨機變量X服從指數(shù)分布，則隨機變量Y=min{X,2}的分布函數(shù)（D）

是連續(xù)函數(shù)（B）至少有兩個間斷點（C）是階梯函數(shù)（D）恰好有一個間斷點

知識點：隨機變量的分布

注釋本題主要考查隨機變量的分布。其中min（X,2）的值必在（0,2）內(nèi)，所以對y作＞4°，＞22

和0＜y〈2的討論。本題參閱本章2-2題分析、2-H題注釋末尾、2-2題注釋4,本題的Y非

離散非聯(lián)系，無密度，勿對弓3）求導(dǎo)。

25

題目：(99,9分)設(shè)二維隨機變量(X,Y)在矩形G={(X,Y)}0WxW2,0Wy〈l上服從均勻分

布,試求邊長為X和Y的矩形面積S的概率密度f(s).

知識點：二維隨機變量

l(ln2-lnS)0<5<2

￡(S)=2、

0S<0或S>2

解:

26

題目：(99,8分)已知隨機變量XI和X2的概率分布

---

-10101

X1~?

_L1J.]_1_

.424.,22

而且P{X1X2=0}=l.

求XI和X2的聯(lián)合分布：2.問XI和X2是否獨立？為什么？

知識點：隨機變量及其分布

(1)

-101Pi.

X?

]_

00

442

]_]_

100

22

]_

P-J1

424

(2)不獨立

27

題目：(99,3分)設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為X的泊松分布,且已知E[(XT)(X-2)]=1,則入=

1

知識點：泊松分布期望方差

注釋本題主要考查泊松分布的期望、方差和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，參閱本章3-3題注釋，其中

EX。=+(EX)2是由DX=EX?-(EX)?得到，在特殊分布時很常用。

題目：(99,3分)設(shè)隨機變量X和Y的方差存在且不等于0,則D(X+Y)=DX+DY是X和Y

不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件.B.獨立的必要條件，但不是充分條件.

不相關(guān)的充分必要條件.D.獨立的充分必要條件.(BC)

知識點：隨機變量方差

注釋本題考查不相關(guān)的等價說法等性質(zhì)。其實，以下幾種說法等價：a.X與Y不相關(guān)；

b.E(XY)=E(X)E(Y).C.D(X+Y)=D(X)+D(Y)；d.cov(X,Y)=0；e.相關(guān)系數(shù)夕=°.(設(shè)X、Y的二

階矩存在)。另外，若X與Y獨立，則X與Y不相關(guān)(反之不成立)，所以本題的(B)也是對的。

28

題目：(00,3分)設(shè)A,B,C三個事件兩兩獨立,則A,B,C相互獨立的充分必要條件是(A)

(A)A與BC獨立.(B)AB與AUc獨立.(C)AB與AC獨立.(D)AUB與AUC獨立.

知識點：相互獨立的充分必要條件

解A,B,C兩兩獨立，所以

P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)

可知這時，A,B,C相互獨立當(dāng)且僅當(dāng)“「(ABC)=P(A)P(B)P(C)(*)”成立，而由

P(BC)=P(B)P(C),知(*)成立oP(ABC)=P(A)P(BC)。人與BC獨立,故選(A).

注釋本題考查兩兩獨立、相互獨立的概念，對三個事件而言，兩兩獨立用3個的等式定義，

而相互獨立用4個等式定義(即加一個(*)式)，要強一些。

29

題目：(00,8分)設(shè)二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為

/(九,y)=；明(%,y)+小(%，＞)]

其中域(x,y)和。式光,y)都是二維正態(tài)密度函數(shù),且它們對應(yīng)的二維隨機變量的相關(guān)系數(shù)分別為

§和-3,它們的邊緣密度函數(shù)所對應(yīng)的隨機變量的數(shù)學(xué)期望都是0,方差都是1.

(1)求隨機變量X和Y的密度函數(shù)工(功和力(力，及X和Y的相關(guān)系數(shù)p(可以直接利用二維正

態(tài)的性質(zhì)).

(2)問X和Y是否獨立?為什么？

知識點：二維正態(tài)分布性質(zhì)數(shù)字特征

1上1上

=2啟y)=_^e2

解：20.(1)72兀72兀p=o不獨立

注釋本題主要考查二維正態(tài)分布的性質(zhì)和數(shù)字特征，引入(配7)等是為了把題目中的文字?jǐn)?/p>

述用數(shù)學(xué)語言來描述，其實是一個“理解題意”的過程(不引等量也可，但心里要清

楚，式子要用對。而本解法可能易于理解些).解(2)時，要求學(xué)生記住二維正態(tài)分布的密度,

請不要怕繁。主要本題中(X,Y)不是服從正態(tài)分布的(盡管X和Y都服從正態(tài)分布)，不能用“正

態(tài)分布時，獨立與不相關(guān)等價”這個結(jié)論。

30

題目：(01,3分)對于任意二事件A和B,與AUB=B不等價的是(D)

AUB.(B)5uA(C)AB=0.(D)M=①.

知識點：事件的關(guān)系和運算

解對任意事件A,B均有BUAUB故AUBuB等價于AUB,而(A)、(B)、(C)相互等價，

而(D)是與BuA等價

注釋本題考查事件的關(guān)系和運算。不難看出，下述各命題等價：

Au8AB=AAUB=3④A-B=0⑤⑥A8=0

題目：(01,3分)設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布在以點(0,1),(1,0),(1,1)為頂點的三角形

1

區(qū)域上服從均勻分布，試求隨機變量1＞乂+丫的方差.18

知識點：隨機變量均勻分布方差

31

題目:(02,8分)設(shè)A,B是任意二事件，其中0VP(A)VI.證明:P(B|A)=P(B|A)是A與B獨立

的充分必要條件.

知識點：獨立的充分必要條件

證1必要性

..居石獨立得P(網(wǎng)4)=P(B),尸(甲)=P(B),故P(B|A)=P(甲)

與B獨立,

充分性

尸(AB)_P(AB)P(B)-尸(AB)

由P(A)~P(A)l-P(A)

化簡得P(A8)=P(A)P(B)即八與B獨立。

32

題目：（02,3分）設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率分布為

-101

00.070.180.15

10.080.320.20

則X和Y的關(guān)系數(shù)P=0.

知識點：二維離散型隨機變量

注釋本題主要考查二維離散型隨機變量的相關(guān)系數(shù)。本題中cov（X,Y）=0,所以沒有求DX和

DY,直接得到夕=°,本題給出了不相關(guān)但不獨立的例子（本題中X與Y不獨立）。

題目：（02,3分）設(shè)隨機變量XI,X2,…Xn相互獨立,Sn=Xl+X2+…+Xn,則根據(jù)列維-林德伯

格（Levy-Lindberg）中心極限定理，當(dāng)n充分大時,Sn近似服從正態(tài)分布，只要XI,X2,…,Xn

（A）有相同的數(shù)學(xué)期望.（B）有相同的方差.

（C）服從同一指數(shù)分布.（D）服從同一離散型分布.[C]

知識點：中心極限定理二隨機變量同分布

解由列維-林德貝格中心極限定理，在X”X2「"X”獨立同分布且方差非0的條件下，門充分

S.=￡X]

大時，7近似服從正態(tài)分布，可見（A）、（B）條件不夠，不選（二隨機變量同分布時必

有數(shù)學(xué)期望相同，方法相同（只要存在）；但反過來，若數(shù)學(xué)期望相同，方差相同二隨機變量

卻未必同分布）。同樣，（D）中沒有“方差非0”一條，也是不能選的（方差為0的隨機變量必

服從退化分布即P（X=C）=1,屬離散型隨機變量）。只有（C）符合條件，故選（C）。

注釋本題考查中心極限定理的使用條件。只要不是退化分布且獨立同分布，s”都近似服從

正態(tài)分布（n充分大時），不一定非要指數(shù)分布不可。很多教材中結(jié)論是在上述的條件下，將3

標(biāo)準(zhǔn)化后近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。其實，不將S"標(biāo)準(zhǔn)化，仍有近3似服從正態(tài)分布的結(jié)論（條

件當(dāng)然不變）。對退化分布列如PG，』）一』？，…幾,則P（S,=M=1,S“是不可能近似

服從正態(tài)分布的。

33

題目：(03,4分)對行任意二事件A和B,(B)

(A)若ABW?,則A,B一定獨立.(B)若ABW中，則A,B有可能獨立.

(C)若AB=O>，則A,B一定獨立.(D)若AB=(P，則A,B一定不獨立.

知識點：獨立事件

題目：(03,13分)設(shè)隨機變量X的概率密度為

1

若無e[1,8]

/(幻=,3般

0,其他

F(x)是X的分布函數(shù),求隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù).

知識點：隨機變量均勻分布

0y<0

<y0<y<\

解：;1

注釋對隨機變量4，其分布函數(shù)為F(x),則尸6)服從上的均勻分布(只要4為連續(xù)型隨機變

量，無論服從什么分布)，這是概率論中的一個結(jié)論(有興趣的同學(xué)可參閱數(shù)學(xué)四1995年的一

道題，本書第4章2-13題)，解中°a<1時，后邊嚴(yán)格的寫為

G(y)=P{(X-l)U(l<X<8)(V^—l)<y}=P{(X<l)U(X<(l+y)2)}=P{X￡(l+y)2}

=F[(l+y)2)]=y,

但對非數(shù)學(xué)專業(yè)的同而言不必寫這么多，本題還有其他的形式解法如：求出F(x)后，可見

y=F(x)在上xe[1,8]上嚴(yán)格遞增，故反函數(shù)戶尸心)存在，所以°<丁<1時

G(y)=P{R(X)Wy}=P{XW尸(>)}=用尸()，)]；又如：求出F(X)后，丫=療一1(1WXW8),

反函數(shù)x="(y)=(l+y)2，°WyWl,〃G)=3(l+y)2,故丫的概率密度為

1

人(>)=/(九(y)>|"(y)|-3(l+y)2=l(0<y<l)

3聞［(1+))2『

,即

34

題目：(03,4分)設(shè)隨機變量X和Y都服從正態(tài)分布,且它們不相關(guān),貝(C)

(A)X與Y一定獨立.(B)(X,Y)服從二維正態(tài)分布.

(C)X與Y未必獨立.(D)X+Y服從一維正態(tài)分布.

知識點：隨機變量正態(tài)分布

題目：(03,4分)設(shè)隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.5,EX=EY=0,EX2=EY2=2,則

E(X+Y)2=6

知識點：數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)方差

注釋本題主要考查數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)及方差、相關(guān)系數(shù)的計算式。求出DX、DY后，用

E(X+r)2=￡>(%+Y)+[E(X+r)]2=D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,丫)=DX+DY+2P(X,Y)/DX-4DY：

做法也可，但勿寫成“”，因為X和Y沒有獨立或不相關(guān)的條件。

35

_P(AB)-P(A)P(B)

JP(A)P(B)P肉P齒)

題目：(03,13分)對于任意二事件A和B,0<P(A)<l,0<P(B)<l,

稱作事件A和B的相關(guān)系數(shù).

證明事件A和B獨立的充分必要條件是其相關(guān)系數(shù)等于零;

利用隨機變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)，證明IP|<1.

知識點：事件同獨

注釋考查事件同獨立性的定義。而解(2)時要理解題意：“利用隨機變量相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)”，

這就要求我們引入隨機變量與A、B聯(lián)系起來(解中X、Y的引法很自然，也是概率中常用的手

法)，如果不引隨機變量，即使證出0區(qū)1也常不給分，因為''不合題意”(筆者所在的閱卷即

是這樣的)。而引出X和Y后，關(guān)于X、Y、XY(甚至(X,Y))的分布可全用P(A)、P(B、P(AB)

來描述，后邊就好辦了。注意X與Y沒有“獨立性”，因為A、B沒有“獨立性”的條件。

36

題目：（04,13分）設(shè)隨機變量X在區(qū)間（°』）上服從均勻分布，在X=x（0<x<l）的條件下，隨

機變量丫在區(qū)間（°，幻上服從均勻分布，求

（I）隨機變量X和丫的聯(lián)合概率密度;（II）丫的概率密度；（in）概率p{x+y>i}.

知識點：隨機變量均勻分布

—,0<y<x<L

f（x,y）=,x-Iny,0<y<1,

6（y）="

0,其他0，其他（3）l-ln2

解：⑴⑵

37

題目：（04,4分）設(shè)隨機變量X，X2,…，X“（〃>1）獨立同分布,且方差〃>0.令隨機變量

〃汩，則。

(A)nif

Cov(X,Y)=—

tCov(X,Y^o-

(0〃.(D)x

知識點：隨機變量獨立同分布

38

題目：(05,13分)設(shè)X，X2，?\X“(〃>2)為獨立同分布的隨機變量，且均服從N(0,1).記

X=-YXiXi=X-X,i=l,2,--,n.

求：⑴匕的方差以”=12…,％

(II)X與.的協(xié)方差?！忝鞴?(HI)p{x+z<0}?

知識點：方差、協(xié)方差的計算

解：(1J〃；(II)〃；(III)2

注釋本題(I)、(II)主要考查方差、協(xié)方差的計算，注意X，與X、X1與屈、Y與匕等均沒

有“獨立”或“不相關(guān)”的結(jié)論，切勿“D(X「i)=DXi+Di,"(I)中解1及(II)的解法

用了協(xié)方差的線性運算性質(zhì)。較為簡潔。有人解(II)時用協(xié)方差的定義式計算式來做：

。?？蓭卓?=譏(乂一后乂)(匕一￡}；)]=夙?工)=E[(X,-X)(X?-X)]

=E(X,X,)-E(X')一E(XXJ+E(X)2,

22

E(X1X?)=EX1-EX?=0,E(X1X)=E(-X1+-^X1X.)=-E(X1)+-^E(X1X;)

nnj=2nnj=2

=—[DX]+(EX1)2]+—Z(EX1%)=—

，而〃nRn

1——]a1?1——1?

E(XXn)=-O(X)=O(-Zx,)=rZz)X產(chǎn)一,E(X)=—ZEX,=O,

同理〃，而n/=,ni=]nn泊

—2——11

2

/.E(X~)=D(X)+(EX)=-Cov(Yi,Y?)=—

〃帶入得〃，似不如正文解法簡潔。(HI)主要考查

正態(tài)分布的性質(zhì)和概率計算，可參閱本章2-6題的注釋?！岸嗑S的服從正態(tài)分布的隨機變量的

個分量的線性組合仍服從正態(tài)分布”，這是一常見、重要的結(jié)論(即使沒有“獨立性”的條件,

這個結(jié)論也成立)。解中〃恰好可以不用求(一2須記住)，如果一定想求，則

21114

(y=D(Yl+Yn)=DYl+DYn+2Cov(Yi,Yn)=(l—)+(l—)+2(—)=2—

〃〃?〃，也不難。

39

題目：（05,4分）設(shè)X，X2,…，X”,…為獨立同分布的隨機變量列，且均服從參數(shù)為的

指數(shù)分布,記①（%）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),則（C）

ZXj-〃2

limP<i=l-~7=——《X>=①(元).limP<i=l>=①(%).

〃一>8

A、B、

n

%，Xj—nZxf

limP<—f=1r----<x=①(x).limP<.i——<x>=①(x).

…Yn大

D、I

c、

知識點：中心極限定理指數(shù)分