與中垂線(xiàn)有關(guān)的問(wèn)題【基礎(chǔ)知識(shí)精講】一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)且與該線(xiàn)段垂直，則稱(chēng)該直線(xiàn)為線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)是到線(xiàn)段兩端距離相等的點(diǎn)的集合.1.定理：垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端距離相等，2.逆定理：到線(xiàn)段兩端距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段中垂線(xiàn)上.1的證明，利用了全等三角形，2的證明利用等腰三角形的“三線(xiàn)合一”的性質(zhì).【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】例1已知3BC中，AB,BC,CA的中垂線(xiàn)分別為11,12,13（圖1）.求證l1,l2,l3三線(xiàn)共點(diǎn).例2若三角形三邊的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)在某一邊上，則該三角形一定是（）人.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 口.等腰直角三角形例3如圖3JABC中nA=120。AB=AC,AB的中垂線(xiàn)交AB于D,BC于F.

BE1C~例4如圖4,AD為aABC的角平分線(xiàn)，AD的中垂線(xiàn)交AB于E,BC延長(zhǎng)線(xiàn)于F,求證nCAF=nB.圖4【難題巧解點(diǎn)撥】例14BC中/A=90°,AB=AC,D、E、F分別在AB,AC,BC上，且AD=AE,CD為EF中垂線(xiàn)，求證BF=2AD（圖5）.圖5如圖6,AD為aABC的高，nB=2nC,BD=5,BC=20，求AB.圖6【同步達(dá)綱練習(xí)】一、判斷()1.三角形兩邊的垂直平分線(xiàn)交在三角形一邊上，該三角形為等邊三角形.()2.到三角形三頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在三角形內(nèi).()3.到三角形距離三邊相等的點(diǎn)是三條中垂線(xiàn)的交點(diǎn).( )4.四邊形ABCD中共有一點(diǎn)P，使PA=PB=PC=PD，則nA+nC=180°.()5.和線(xiàn)段兩端距離相等的點(diǎn)只有線(xiàn)段的中點(diǎn).()6.和線(xiàn)段兩端相等的點(diǎn)不一定在線(xiàn)段上.二、選擇!.到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的是()A.三條中線(xiàn)交點(diǎn)B.三條高的交點(diǎn)C.三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)D.三條中垂線(xiàn)的交點(diǎn).線(xiàn)段AB外有兩點(diǎn)C,D(ftAB同側(cè))使CA=CB,DA=DB,nADB=80°,nCAD=10°,則UnACB=( ) A.90° B.100° C.110°D.120°.BD為CE的中垂線(xiàn)，A在CB延長(zhǎng)線(xiàn)上，nC=34°,則nABE=( )A.17° B.34° C.68° D.136°.O為aABC三邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)，則O稱(chēng)為aABC的( )A.外心 8.內(nèi)心 。垂心 口.重心.若三角形一邊中垂線(xiàn)過(guò)另一邊中點(diǎn)，則該三角形必為()A.鈍角三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 口.等腰三角形.AABC中，nACB=90°,nA=30°AC的中垂線(xiàn)交AC于E.交AB于D,（圖7）則圖中60°的角共有（）A.6個(gè) B.5個(gè) C.4個(gè) D3個(gè)三、填空1.△ABC中，AB=AC,P為形內(nèi)一點(diǎn)，PB=PC，則P在的中垂線(xiàn)上，P還在n的平分線(xiàn)上.20ABC中，AB=AC=14，腰AB的中垂線(xiàn)交AC于D—BCD周長(zhǎng)為4cm,則BC=.30ABC中，AB=AC,nA=120°,AB中垂線(xiàn)交BC于E,則U些= .BC 4.正aABC內(nèi)一點(diǎn)O到三邊距離相等，且OA=OB=OC.則nBOC=.50ABC的邊AC、BC的中垂線(xiàn)交于AB上一點(diǎn)O且OC=BC則nA=.6.若PA=PB,DA=DB，則UPD是AB的.四、解答.△ABC中,nC=90°,AB的中垂線(xiàn)交AB于D,AC于E.且nEBC=40°,求nA及nBED的度數(shù)..已知O為等邊三角形三邊中線(xiàn)交點(diǎn)，求證BO與CO的中垂線(xiàn)必三等分BC.【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】.AD為aABC的角平分線(xiàn)，DE||AC,交AB于E.過(guò)E作AD的垂線(xiàn)交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于F（圖8）,求證1（nBAC+nAFC）=90°-nB.^2

.如圖9,aABC中，AB=AC,AE||BC,D為直線(xiàn)AE上任一點(diǎn).求證DB+DO2AB.【拓展訓(xùn)練】例1：如圖1，在^ABC中，已知AC=27，ab的垂直平分線(xiàn)交ab于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長(zhǎng)等于50，求BC的長(zhǎng).點(diǎn)評(píng)：此題是SBC中一邊ab的垂直平分線(xiàn)AC相交;那么當(dāng)ab的垂直平分線(xiàn)與bc相交時(shí)，（如圖2）,對(duì)應(yīng)的是^ACE的周長(zhǎng)，它的周長(zhǎng)也等于AC+BC.圖形變化，但結(jié)論不變.

變式1:如圖1在3BC中，AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E,若nBEC=70°則nA=:變式2:如圖3,在Rt△ABC中，AB的垂直平分線(xiàn)交BC邊于點(diǎn)E。若BE=2,nB=15°求：AC求：AC的長(zhǎng)。例2:如圖5，在^ABC中，AB=AC,BC=12/BAC=120°,AB的垂直平分線(xiàn)交BC邊于點(diǎn)E,AC的垂直平分線(xiàn)交BC邊于點(diǎn)N.(1)求^AEN的周長(zhǎng).(2)求nEAN的度數(shù).(3)判斷^AEN的形狀.變式1:如圖6，在^ABC中，AB=AC,BC=12,nBAC=130°,AB的垂直平分線(xiàn)交BC邊于點(diǎn)E,AC的垂直平分線(xiàn)交BC邊于點(diǎn)N.

(1)求^AEN的周長(zhǎng).(2)求nEAN的度數(shù).(3)判斷^AEN的形狀.變式2:如圖7，在^ABC中，BC=12,nBAC=100°,AB的垂直平分線(xiàn)交BC邊于點(diǎn)E,AC的垂直平分線(xiàn)交BC邊于點(diǎn)N.(1)求^AEN的周長(zhǎng).(2)求nEAN的度數(shù).【課后練習(xí)】4 C1、如圖，已知：AB=BC=14cm,DE垂直平分AB，交BC于E4 C長(zhǎng)。精品資料

2、如圖，已知：在小BC中，nC=90°,nB=22.5°,DE垂直平分AB,BD=8。求AC的長(zhǎng)。3、如圖，已知AD是nBAC的平分線(xiàn)，DE±AC于E,DF±AB于F。求證：AD±EFO4、如圖，已知△ABC中，nC=90°,AD平分nBAC,BC=20,4、5、如圖，已知：AB||CD,BE、CF分別是nABC、nBCD的平分線(xiàn)，EF垂直平分BC。求證：BE=CFo

7、如圖，已知^ABC中，nABC的平分線(xiàn)與AC的中垂線(xiàn)相交于點(diǎn)N,ND±AB于