PAGEPAGE11本章復(fù)習(xí)提升易混易錯(cuò)練易錯(cuò)點(diǎn)1對數(shù)函數(shù)中忽略真數(shù)大于0而致錯(cuò)1.(2021江蘇宿遷淮北中學(xué)高一月考,)函數(shù)f(x)=log12(-x2+2x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (A.(1,3)B.(1,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,1)2.(2021江蘇鹽城安豐中學(xué)高一期中,)已知log0.72m<log0.7(m-1),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.易錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)2忽略對底數(shù)的討論而致錯(cuò)3.(2021山東煙臺一中高一月考,)若loga3<1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.(1,3)B.(0,1)∪(3,+∞)C.(0,1)∪(1,3)D.(0,1)4.(2021江蘇連云港石榴高級中學(xué)高一月考,)求函數(shù)f(x)=ax-24-ax-1(a>0,a≠1)5.(2020浙江臺州啟超中學(xué)高一期中,)已知函數(shù)f(x)=ax+1ax-1(a>0,(1)求函數(shù)的定義域和值域;(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 易錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)3換元時(shí)忽略中間變量的取值范圍而致錯(cuò)6.()已知函數(shù)f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域.7.()求函數(shù)y=(log12x)2-12log12x+5易錯(cuò)點(diǎn)4利用函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)忽略函數(shù)的定義域而致錯(cuò)8.(2020河北石家莊二中高一上期中,)近年來,“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便,某共享單車公司計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元,根據(jù)行業(yè)規(guī)定,每個(gè)城市至少要投資40萬元,由前期市場調(diào)研可知:甲城市的收益P與投入a(單位:萬元)滿足P=32a-6,乙城市的收益Q與投入a(單位:萬元)滿足Q=14a+2.設(shè)甲城市的投入為x(單位:萬元),兩個(gè)城市的總收益為f(x)(單位:萬元)(1)求f(x)的解析式及定義域;(2)如何安排甲、乙兩個(gè)城市的投資,才能使總收益最大?易錯(cuò)思想方法練一、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用1.(多選)(2021江蘇鹽城濱海中學(xué)高一月考,)已知2020a=2021b,則下列不可能成立的是 ()A.0<b<aB.a<b<0C.0<a<bD.b<a<02.(2020浙江義烏高一期末,)已知函數(shù)f(x)=5x-1,0<x<1,2x+1,x≥1,設(shè)m>n>0,若f(n3.()已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上為增函數(shù),f13=0,則不等式f(log18x)>0的解集為二、分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用4.(2021云南玉溪高一期末,)已知函數(shù)y=14ax2-2x+4的值域?yàn)?,116,若不等式loga(t·4x)<loga(2x-t)在A.2C.(-∞,2)D.(0,2)5.(2021湖北武漢高一期末,)若函數(shù)f(x)=loga(x2-ax+12)在(2,3)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

6.()已知函數(shù)f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若f(x)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若f(x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.7.(2021江蘇句容高級中學(xué)高一期中,)設(shè)函數(shù)f(x)=loga[(x+1)(ax+1)],a>0且a≠1.(1)求函數(shù)的定義域;(2)若a>1時(shí),f(x)在-52,-32上恒為正(3)若函數(shù)f(x)在-12,13上單調(diào)遞增三、轉(zhuǎn)化與化歸思想在函數(shù)中的應(yīng)用8.()若10|lgx|-a=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.a<1B.a>1C.a≤1D.a≥19.()已知函數(shù)f(x)=|log2x|,0<x≤8,x2-20x+99,x>8,若a,b,c,d互不相同,且a<b<c<d,f(a四、函數(shù)與方程思想在函數(shù)中的應(yīng)用10.(2019湖北黃岡高一上期末,)函數(shù)的定義域?yàn)镈,若滿足①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②存在區(qū)間[a,b],使f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)閍2,b2,那么就稱函數(shù)為“減半函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=logc(2cx+t)(c>0,且c≠1)是“減半函數(shù)”,則t的取值范圍為A.(0,1)B.(0,1]C.-∞,答案全解全析本章復(fù)習(xí)提升易混易錯(cuò)練1.A函數(shù)f(x)是由y=log12t和t=-x2+2x+3易知函數(shù)y=log12t所以要求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,需要求t=-x2+2x+3的單調(diào)減區(qū)間.令-x2+2x+3>0,解得-1<x<3.函數(shù)t=-x2+2x+3圖象的對稱軸為x=1,所以函數(shù)t=-x2+2x+3在x∈(-1,3)上的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3).所以函數(shù)f(x)=log12(-x2+2x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3).2.答案(1,+∞)解析∵log0.72m<log0.7(m-1),∴2m>0,易錯(cuò)警示在解決真數(shù)中含有參數(shù)的對數(shù)問題時(shí),一定要保證真數(shù)大于0.忽略了這一點(diǎn)會(huì)使得所求參數(shù)范圍擴(kuò)大從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.3.B當(dāng)a>1時(shí),由loga3<1=logaa,得a>3;當(dāng)0<a<1時(shí),由loga3<1=logaa,得a<3,∵0<a<1,∴0<a<1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1)∪(3,+∞).故選B.4.解析由4-ax≥0,得ax≤4.當(dāng)a>1時(shí),x≤loga4;當(dāng)0<a<1時(shí),x≥loga4.故當(dāng)a>1時(shí),f(x)的定義域?yàn)?-∞,loga4];當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)的定義域?yàn)閇loga4,+∞).令t=4-ax,則0≤t<2,ax=4-∴y=4-t2-2t-1=-(t+1)2+4.令g(t)=-(t+1)2+4,當(dāng)0≤t<2時(shí),g(t)是減函數(shù),∴g(2)<g(t)≤g(0),即-5<g(t)≤3.∴函數(shù)f(x)的值域是(-5,3].5.解析(1)由題意得ax-1≠0,解得x≠0,∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}.f(x)=ax當(dāng)0<ax<1時(shí),-1<ax-1<0,∴2a∴f(x)=1+2a當(dāng)ax>1時(shí),ax-1>0,∴2ax-1>0,∴f(x∴函數(shù)的值域?yàn)?-∞,-1)∪(1,+∞).(2)設(shè)x1,x2為區(qū)間(-∞,0)上的任意兩個(gè)值,且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=1+2∵x1<x2<0,∴當(dāng)0<a<1時(shí),ax2<ax1,ax1-1>0,ax2-1>0,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函數(shù)f(x)為增函數(shù);當(dāng)a>1時(shí),ax2>ax1,ax1-1<0,ax2-1<0,f(x1)-f(x同理,當(dāng)x>0時(shí),若0<a<1,函數(shù)f(x)為增函數(shù);若a>1,函數(shù)f(x)為減函數(shù).綜上,當(dāng)a>1時(shí),f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上遞減;當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上遞增.易錯(cuò)警示在解決底數(shù)中含有字母的指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)問題時(shí),要注意對底數(shù)a分0<a<1和a>1兩種情況討論.6.解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域是[1,9],所以1≤x≤9,1≤x2≤9故函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的定義域?yàn)閇1,3].由題意知y=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6,令t=log3x,則t∈[0,1],y=t2+6t+6=(t+3)2-3,由二次函數(shù)的圖象(圖略)可知此函數(shù)在[0,1]上單調(diào)遞增,故所求函數(shù)的值域是[6,13].7.解析因?yàn)?≤x≤4,所以log122≥log12x≥設(shè)t=log12x,則-2≤t≤-1,y=t2-12t+5,其圖象的對稱軸為直線t=14,所以當(dāng)t=-2,即x=4時(shí),ymax=10;當(dāng)t=-1,即x=2時(shí),y易錯(cuò)警示求復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間時(shí),為了敘述簡便,常需要利用換元法,此時(shí)務(wù)必需要注意新元的范圍,否則極易出現(xiàn)錯(cuò)解.8.解析(1)由題意知,甲城市投資x萬元,則乙城市投資(120-x)萬元,所以f(x)=32x-6+14(120-x依題意得x≥40,120-x≥40,故f(x)=-14x+32x+26(40(2)令t=x,則t∈[210,45],所以y=-14t2+32t+26=-14(所以當(dāng)t=62,即x=72時(shí),y取得最大值,為44萬元.所以當(dāng)甲城市投資72萬元,乙城市投資120-72=48萬元時(shí),總收益最大,且最大總收益為44萬元.易錯(cuò)警示利用函數(shù)知識解決應(yīng)用性問題時(shí),不僅要考慮函數(shù)本身的定義域,還要結(jié)合實(shí)際問題寫出自變量的限制條件.思想方法練1.CD令m=2020a=2021b>0,則a=log2020m,b=log2021m.作出函數(shù)y=log2020x,y=log2021x的圖象,數(shù)形結(jié)合判斷a,b之間的大小關(guān)系.作出y=log2020x與y=log2021x的圖象如圖所示.由圖可知,若0<m<1,則a<b<0;若m=1,則a=b=0;若m>1,則0<b<a.故選CD.2.答案12解析作出函數(shù)f(x)的圖象,數(shù)形結(jié)合求出n的取值范圍,再將n·f(m)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的式子,從而得出n·f(m)的取值范圍.作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.由圖可知,f(n)=f(m)同時(shí)成立時(shí)n的取值范圍為45≤n<1又n·f(m)=n·f(n)=n(5n-1)=5n2-n=5n2所以125≤n·f(m)<43.答案0,1解析∵f(x)是R上的偶函數(shù),∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.∵f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),∴f(x)在(-∞,0]上為減函數(shù).由函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)的圖象,數(shù)形結(jié)合求得不等式的解集.作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.由f13=0,得f-1∴f(log18x)>0?log18x<-13或log思想方法利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):①能準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象,注意函數(shù)的定義域;②科學(xué)設(shè)置參數(shù),并建立參數(shù)之間的關(guān)系,將數(shù)與形進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換;③掌握數(shù)學(xué)曲線中的代數(shù)特征,正確掌握參數(shù)的取值范圍.4.A由函數(shù)y=14ax2對指數(shù)中的二次項(xiàng)系數(shù)分a=0,a>0,a<0三種情況討論求解.當(dāng)a=0時(shí),y=14-2當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)y=14ax2-2x+4在x∈-∞,1a上單調(diào)遞增,在x∈1a,+∞當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)y=14ax2-2x+4在x綜上,a=12所以log12(t·4x)<log12(2x-t)在x所以t·4x>0,由t·4x>0在x∈[1,2]上恒成立,可得t>0.①由2x-t>0在x∈[1,2]上恒成立,即t<2x在[1,2]上恒成立,可得t<2.②t·4x>2x-t在x∈[1,2]上恒成立,即t>2x4x+1令f(x)=2x+12x,易知函數(shù)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(1)=52,所以t>由①②③得25<t<2,故實(shí)數(shù)t的取值范圍是25,5.答案(0,1)∪[6,7]解析令t=x2-ax+12,其圖象開口向上,對稱軸為x=a2對底數(shù)分a>1和0<a<1兩種情況討論.當(dāng)a>1時(shí),y=logat在定義域上單調(diào)遞增,則t=x2-ax+12在(2,3)上單調(diào)遞減,所以a2≥3,32-3當(dāng)0<a<1時(shí),y=logat在定義域上單調(diào)遞減,則t=x2-ax+12在(2,3)上單調(diào)遞增,所以a2≤2,2又0<a<1,所以0<a<1.綜上,0<a<1或6≤a≤7.6.解析(1)∵f(x)的值域?yàn)镽,∴y=ax2+2x+1的值域包含(0,+∞).對二次項(xiàng)系數(shù)分a<0,a=0,a>0討論求解.當(dāng)a<0時(shí),顯然不成立;當(dāng)a=0時(shí),y=2x+1∈R,符合題意;當(dāng)a>0時(shí),需滿足Δ=4-4a≥0,解得a≤1,故0<a≤1.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,1].(2)∵f(x)的定義域?yàn)镽,∴ax2+2x+1>0對任意的x∈R恒成立,∴a>0,Δ=4-4a<7.解析(1)由題意得(x+1)(ax+1)>0,即(x+1)x+1求不等式的解集,需要比較-1與-1a的大小,即分a>1,0<a<1討論求解當(dāng)a>1時(shí),-1a>-1,所以不等式的解集為(-∞,-1)∪-當(dāng)0<a<1時(shí),-1a<-1,所以不等式的解集為-∞,-1a(2)由(1)知,當(dāng)a>1時(shí),定義域?yàn)?-∞,-1)∪-1令g(x)=(x+1)(ax+1),則g(x)在-52,-32上單調(diào)遞減,所以g(x所以f(x)≥loga34因?yàn)閒(x)在-52,-32上恒為正,所以loga34a-(3)任取x1,x2∈-12,13,且x設(shè)h(x)=(x+1)(ax+1)=ax2+(a+1)x+1,其圖象的對稱軸為x=-a+12a=-1所以h(x)在-12,13上單調(diào)遞增,即h(x1)<h對底數(shù)a分0<a<1,a>1兩種情況討論求解.當(dāng)0<a<1時(shí),logah(x1)>logah(x2),即f(x1)>f(x2),不滿足題意,舍去;當(dāng)a>1,且h(x1)>0時(shí),logah(x1)<logah(x2),即f(x1)<f(x2),滿足題意.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>1.思想方法在指數(shù)、對數(shù)函數(shù)問題中,底數(shù)對函數(shù)的圖象和性質(zhì)有影響,解題時(shí)要注意對底數(shù)進(jìn)行分類討論,這是分類討論思想在本章中的重要體現(xiàn).8.B若10|lgx|-a=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,即10|lgx|=a有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則函數(shù)y=10|lgx|與y=a的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).將方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為其對應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)x≥1時(shí),lgx≥0,y