第六講立體幾何新題型的解題技巧考點(diǎn)1 點(diǎn)到平面的距離例1（2007年福建卷理）如圖，正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱長都為 2，D為CC1中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1BD；A（Ⅱ）求二面角AA1DB的大?。唬á螅┣簏c(diǎn)C到平面ABD的距離．C1DBP例2.(2006 年湖南卷)如圖,已知兩個正四棱錐

D CM O BAP-ABCD與Q-ABCD的高分別為 1和2,AB=4.(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD；

Q(Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角；(Ⅲ)求點(diǎn)P到平面QAD的距離.考點(diǎn)2 異面直線的距離例3已知三棱錐SABC，底面是邊長為42的正三角形，棱SC的長為2，且垂直于底面.E、D分別為BC、AB的中點(diǎn)，求 CD與SE間的距離.考點(diǎn)3 直線到平面的距離例4．如圖，在棱長為2的正方體AC1中，G是AA1的中點(diǎn)，求BD到平面GB1D1的距離.H考點(diǎn)4 異面直線所成的角例5（2007年北京卷文）如圖，在 Rt△AOB中， OAB π，斜邊AB4．Rt△AOC可以通過6Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角 B AO C的直二面角．D是AB的中點(diǎn)．I）求證：平面COD平面AOB；II）求異面直線AO與CD所成角的大?。?．（2006年廣東卷）如圖所示，AF、DE分別是⊙O、⊙O1的直徑.AD與兩圓所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直徑，AB＝AC＝6，OE//AD.(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大??；(Ⅱ)求直線BD與EF所成的角.考點(diǎn)5 直線和平面所成的角例7.（2007年全國卷Ⅰ理）四棱錐S ABCD中，底面 為平行四邊形，側(cè)面 底面 ．已知∠ S o，ABCD SBC ABCD ABC 45AB 2，BC 22，SA SB 3．（Ⅰ）證明 SA BC；

CBDA（Ⅱ）求直線 SD與平面SAB所成角的大小．考點(diǎn)6 二面角例8．（2007年湖南卷文）如圖，已知直二面角 PQ ，A PQ，B ，C ，CA CB， BAP 45o，直線CA和平面所成的角為30o．CPAQBI）證明BC⊥PQ；II）求二面角BACP的大?。?．(2006年重慶卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB為直角，AB‖CD，AD=CD=2AB,E、F分別為PC、CD的中點(diǎn).（Ⅰ）試證：CD平面BEF；（Ⅱ）設(shè)PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于30,求k的取值范圍.考點(diǎn)7 利用空間向量求空間距離和角例10．（2007年江蘇卷）如圖，已知 ABCD A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，且AEFC11．（1）求證：E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面；（2）若點(diǎn)G在BC上，BG2，點(diǎn)M在BB1上，3GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥平面BCC1B1；（3）用表示截面EBFD1和側(cè)面BCC1B1所成的銳二面角的大小，求tan．例11．（2006年全國Ⅰ卷）C如圖,l1、l2是互相垂直的兩條異面直線，MN是它們的公垂線AN段，點(diǎn)A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MNMB（I）證明ACNB；（II）若ACB60，求與平面所成角的余弦值.NBABC考點(diǎn)8簡單多面體的有關(guān)概念及應(yīng)用，主要考查多面體的概念、性質(zhì)，主要以填空、選擇題為主，通常結(jié)合多面體的定義、性質(zhì)進(jìn)行判斷 .例12. 如圖（1），將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器，當(dāng)這個正六棱柱容器的底面邊長為時容積最大.例13.如圖左，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點(diǎn)，將△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐后，GH與IJ所AGF(A、B、C)C成角的度數(shù)為（）HHA、90°B、60°JC、45°DE例14.長方體－1111中，DABCDABCDIJ①設(shè)對角線D1B與自D1出發(fā)的三條棱分別成α、β、BEA1求證：cos2α＋cos2β＋cos2＝1②設(shè)D1B與自D1出發(fā)的三個面成α、β、角，求證：cos2α＋cos2β＋cos2＝2A

GD、0°FD1角 C1B1DCB考點(diǎn)9.簡單多面體的側(cè)面積及體積和球的計算例15.如圖，在三棱柱ABC－ABC中，AB＝2a，BC＝CA＝AA＝a，1111A1在底面△ABC上的射影O在AC上A11C①求AB與側(cè)面AC1所成角；B②若O恰好是AC的中點(diǎn)，求此三棱柱的側(cè)面積.1AAOC例16.等邊三角形ABC的邊長為4，M、N分DKNM別為AB、AC的中點(diǎn)，沿MN將△AMN折起，使得BBLC面AMN與面MNCB所成的二面角為30°，則四棱錐AA—MNCB的體積為 （ ）NCM KLBA、

3

B、

3

C、

3

D、32

2例17.如圖，四棱錐

P—ABCD中，底面是一個矩形，

AB＝3，AD＝1，又

PA⊥AB，PA＝4，∠PAD＝60°①求四棱錐的體積；P②求二面角P－BC－D的大小.例18.（2006年全國卷Ⅱ）已知圓O1HCE是半徑為DR的球O的一個小圓，且圓O1的面積與球O的AB表面積的比值為2，則線段1R的比值O9OO與RO1為.rA【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測】一、選擇題1．如圖，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在BB1上，且BD=1，若AD與側(cè)面AA1CC1所成的角為，則的值為（）A.3B.4C.arctan10D.arcsin6D442．直線a與平面成角，a是平面的斜線，b是平面BC內(nèi)與a異面的任意直線，則a與b所成的角（）AA.最小值，最大值B.最小值，最大值2C.最小值，無最大值D.無最小值，最大值43．在一個45的二面角的一平面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成45角，則此直線與二面角的另一平面所成的角為（）A.30B.45C.60D.904．如圖，直平行六面體ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，1C1DBAD601與側(cè)面11所成1B1A的角的正弦值為（）DCA.1B.322

A BC.2D.3245．已知在ABC中=9，=15，BAC120，它所在平面外一點(diǎn)P到ABC三，ABAC頂點(diǎn)的距離都是14，那么點(diǎn)P到平面ABC的距離為（）A.13B.11C.9D.76．如圖，在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、DN1C1N分別是棱A1B1、A1D1的中點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面AMN的A1MB1距離是（）DAA.9B.3AB2C.65D.257．將QMN60，邊長=的菱形沿對角線折成60的二面角，則MPMNaMNPQNQ與NQ間的距離等于( )A.3aB.2

3aC.6aD.3a4448．二面角 l 的平面角為120，在 內(nèi)，AB l于B，AB=2,在 內(nèi)，CD l于D，CD=3,BD=1,M是棱l上的一個動點(diǎn)，則 AM+CM的最小值為()A. 2 5 B. 22 C. 26 D. 269．空間四點(diǎn)A、B、C、D中,每兩點(diǎn)所連線段的長都等于 a, 動點(diǎn)P在線段AB上, 動點(diǎn)Q在線段CD上，則P與Q的最短距離為()A.1aB.2aC.3aD.a22210．在一個正四棱錐，它的底面邊長與側(cè)棱長均為a，現(xiàn)有一張正方形包裝紙將其完全包?。ú荒懿眉艏?，但可以折疊） ，那么包裝紙的最小邊長應(yīng)為（ ）A.(26)aB.26aC.(13)aD.13a2211．已知長方體ABCD-ABCD中，AA=AB=2，若棱AB上存在點(diǎn)P，使D1PPC，11111則棱AD的長的取值范圍是()A.0,1B.0,2C.0,2D.1,212．將正方形ABCD沿對角線AC折起，使點(diǎn)D在平面ABC外，則DB與平面ABC所成的角一定不等于（ ）A. 30 B. 45C.60D.D1C190BA1E1二、填空題1．如圖，正方體ABCD-ABCD的棱長為1，EDC1111是A1B1的中點(diǎn)，則下列四個命題：AB①E到平面ABC1D1的距離是1；2②直線BC與平面ABC1D1所成角等于45；③空間四邊形ABCD1在正方體六個面內(nèi)的射影圍成1面積最小值為 ；④BE與CD1所成的角為arcsin 10102．如圖，在四棱柱ABCD---A1B1C1D1中，P是A1C1D1CP1A上的動點(diǎn)，E為CD上的動點(diǎn)，四邊形ABCD滿1B1足___________時，體積VPAEB恒為定值（寫上DC你認(rèn)為正確的一個答案即可）EAB3．邊長為1的等邊三角形ABC中,沿BC邊高線AD折起,使得折后二面角B-AD-C為60°,則點(diǎn)A到BC的距離為_________,點(diǎn)D到平面ABC的距離為__________.4．在水平橫梁上 A、B兩點(diǎn)處各掛長為 50cm的細(xì)繩，AM、BN、AB的長度為60cm，在MN處掛長為60cm的木條，MN平行于橫梁，木條的中點(diǎn)為 O，若木條繞過O的鉛垂線旋轉(zhuǎn) 60°，則木條比原來升高了_________.5．多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的

.

如圖正方體的一個頂點(diǎn)

A在平面內(nèi)

.其余頂點(diǎn)在

的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)

A相鄰的三個頂點(diǎn)到

的距離分別是

1、2

和

4.P

是正方體其余四個頂點(diǎn)中的一個，則

P到平面

的距離可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7.以上結(jié)論正確的為

.（寫出所有正確結(jié)論的編號 ）．．?O16. 如圖，棱長為1m的正方體密封容器的三個面上有三個?O2?O3銹蝕的小孔（不計小孔直徑） O1、O2、O3它們分別是所在面3的中心.如果恰當(dāng)放置容器，容器存水的最大容積是 _______m.三、解答題11．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，底面邊長為a,D為BC為中點(diǎn)，M在BB1上，且BM=B1M，3又CM⊥AC1;1）求證：CM⊥C1D;2）求AA1的長.2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA=2，PA⊥底面ABCD，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在PC上.求F在何處時，EF⊥平面PBC；在(1)的條件下，EF是不是PC與AD的公垂線段.若是，求出公垂線段的長度；若不是，說明理由；在(1)的條件下，求直線BD與平面BEF所成的角.3．如圖，四棱錐S—ABCD的底面是邊長為 1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．（1）求證BC SC；（2）求面ASD與面BSC所成二面角的大??；（3）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線 DM與SB所成角的大?。?．在直角梯形 ABCD中， D=BAD=90,AD=DC=1AB=a,(如圖