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文章詳情文章詳情浙教版“黃金分割”的教學(xué)思考與實踐發(fā)布者：鄭瑄

發(fā)布時間：2015-04-0317:04:41

閱讀（86）

評論（1）

好奇之心

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探究之意

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觀賞之樂——浙教版“黃金分割”的教學(xué)思考與實踐

鄭瑄（寧波市江北區(qū)教育局教研室，浙江寧波

315000）

摘要：唐代王維曾說“凡畫山水，意在筆先”.課堂教學(xué)亦然！“黃金分割”，究其本質(zhì)，即為有別于線段中點分割的又一種線段分割.如果說線段的中點分割于學(xué)生們而言，在剛進入中學(xué)后的不久就已經(jīng)認識并從本質(zhì)屬性的角度進行了研究，那么，而今的黃金分割又有何獨特的、別致的、神奇的“景觀”呢？同時，研究的方式方法于中點分割又有何借鑒之處呢？……“站在系統(tǒng)的高度，納入知識的長河”，這是筆者對這節(jié)課的教學(xué)最初的教學(xué)思路和教學(xué)主張.而培植孩子們始終擁有對自然科學(xué)的好奇之心，對數(shù)學(xué)問題的探究之意，對宇宙萬物的觀賞之樂，是我對整節(jié)課教學(xué)堅定不移的教學(xué)立意.關(guān)鍵詞：黃金分割

好奇之心

探究之意

觀賞之樂

由杭師大童富勇教授帶領(lǐng)的團隊歷經(jīng)多年實踐打造的“浙派名師課堂教學(xué)藝術(shù)展”，是一個極富“能量”的學(xué)術(shù)共同體.她既是特級名師們呈現(xiàn)教育思想、展示教學(xué)智慧的平臺，也是全國各地同仁們學(xué)習(xí)研討、品評反思的基地，更是雙方共同專業(yè)成長、業(yè)務(wù)提升的一個絕好的磁場.筆者十分榮幸和榮光，多次應(yīng)邀作為主講教師參與活動，浙教版《黃金分割》即為一例，這樣的機緣是為人師者的財富！課前，有了任務(wù)的驅(qū)動和研究的動力；課中，有了感性的體察和理性的體味；課后，有了互動的生成和反思的欲求.檢審《黃金分割》這一教學(xué)行程頗有意義與意味，在咀嚼、回味的同時，更有一些教學(xué)思考與感悟油然而生，如今撰文，以饗同仁.

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教學(xué)立意唐代王維曾說“凡畫山水，意在筆先”.課堂教學(xué)亦然！“黃金分割”，究其本質(zhì)，即為有別于線段中點分割的又一種線段分割.如果說線段的中點分割于學(xué)生們而言，在剛進入中學(xué)后的不久就已經(jīng)認識并從本質(zhì)屬性的角度進行了研究，那么，而今的黃金分割又有何獨特的、別致的、神奇的“景觀”呢？同時，研究的方式方法于中點分割又有何借鑒之處呢？……“站在系統(tǒng)的高度，納入知識的長河”，這是筆者對這節(jié)課的教學(xué)最初的教學(xué)思路和教學(xué)主張.而培植孩子們始終擁有對自然科學(xué)的好奇之心，對數(shù)學(xué)問題的探究之意，對宇宙萬物的觀賞之樂，是我對整節(jié)課教學(xué)堅定不移的教學(xué)立意.

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教學(xué)行程2.1

好奇之心——濃郁的興趣與問題的意識教師：同學(xué)們，我們曾經(jīng)在七年級學(xué)習(xí)和研究了線段的中點（如圖1），點P將線段AB分割成相等的兩部分，我們稱點P為線段AB的中點.此時，，.我們看見了一種均衡、對稱、和諧之美.那么，我們又是如何找到一條線段的中點呢？學(xué)生1：對折（簡潔之法）.學(xué)生2：刻度尺度量（老百姓都知道的方法）.學(xué)生3：尺規(guī)作圖（不是一般的老百姓）.

教師：用一副磨損了刻度的三角板，輔以推平行線法，也可以找到線段的中點；甚至只用一副圓規(guī)，都能作出線段的中點.不過，這些不是今天這節(jié)課的主題，今天想要給大家介紹的，是一種新的線段的分割——黃金分割.（板書課題）教師：這種如黃金般貴重的分割究竟是怎樣的一種分割呢？同學(xué)們，你們請看（如圖2）：如果點P將線段AB分割成兩條線段AP（較長）和PB（較短），恰好能使，那么就稱線段AB被點P黃金分割（golden

section），點P叫做線段AB的黃金分割點，線段AP與AB的比叫做黃金比.以上兩種分割有何區(qū)別呢？學(xué)生4：線段的中點分割是分得的線段相等，而黃金分割是分得的線段成比例.教師：觀察、歸納得很好！我想問問同學(xué)們，關(guān)于黃金分割，你們特別想了解、知道一些什么呢？（學(xué)生們沉吟、思考、交互竊議……）學(xué)生5：我想知道黃金分割有什么用？

學(xué)生6：我想了解怎么找到黃金分割點？找中點的各種方法在這里是不是都可行？學(xué)生7：有什么辦法可以計算出黃金比等于多少？學(xué)生8：憑什么取“黃金”這么“偉大”的名稱？……教師：同學(xué)們，你們提出的這些問題都十分有意義、有價值！老師像你們這般年紀初次接觸黃金分割的時候，也有很多的想法，更有十二分的好奇心.Ok！現(xiàn)在，讓我們帶著這些個問題，更深入地走進黃金分割.但是，從哪一個問題著手解決比較科學(xué)合理呢？（學(xué)生們再次進入思考狀態(tài)……終于達成共識.）學(xué)生們：老師，可能要先算出黃金比！【教學(xué)思考】新事物總是會讓人充滿好奇之心，特別的愿聞其詳，尤其是對于青春年少的學(xué)生們而言.“黃金分割”概念定義的本身，探索意義并不重大，重要的是由此接踵而來的“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題”，以及在這一行程中彰顯的數(shù)學(xué)的思維方式.黃金分割與中點分割在研究方法上可謂一脈相承，這就使得“站在系統(tǒng)的高度，納入知識的長河”的教學(xué)主張成為可能并得以實現(xiàn).濃郁的興趣與問題的意識彌足珍貴，想必法布爾10卷本的《昆蟲記》、牛頓的萬有引力定律、愛迪生的諸多發(fā)明，……都源自于對自然萬物的好奇之心.2．2探究之意——科學(xué)的態(tài)度與理性的精神教師：好，這就一個問題出來了：如圖2，若，求（或）的值.（學(xué)生們寧靜地獨立思考，探索問題解決的途徑；教師密切地巡梭、觀察，擷取學(xué)生們思維的火花，并選擇三位有代表性思想的同學(xué)上黑板板演他們的解題過程.）學(xué)生9：設(shè)AP=x，PB=y，則，但是，出現(xiàn)困頓，幾乎無以為繼.學(xué)生10：設(shè)AP=1，PB=x，則，于是，，得到學(xué)生11：設(shè)AB=1，PB=x，則

……教師：很多同學(xué)都想到應(yīng)用代數(shù)方程的思想來解決此問題，這個切入口合理科學(xué)，值得稱道.但是，我們也發(fā)現(xiàn)，以上展示的各種方法，其實是各有千秋并且有良莠之分的.現(xiàn)在，我們需要從數(shù)學(xué)理性的角度來領(lǐng)略、品味和剖析.我們不妨思考這樣一個問題：以上三種方法中對于最終要求的黃金比，分別與假設(shè)中的未知數(shù)是什么關(guān)系呢？學(xué)生12：第一種方法黃金比為；第二種方法黃金比為x；第三種方法黃金比為（或者）.教師：如此看來，我們的終極目標是需要從以上方程中分別求得、x、（或者）的值才是.顯然，第二種方法更讓我們可以簡捷、明快地得到答案，因為黃金比就是假設(shè)的未知數(shù)x.而第一、二種方法，都有一個“拐彎抹角”的過程.尤其是第一種方法，在求解的過程中，最好將看成一個整體，將方程變形為一個關(guān)于的二次方程（教師略作板演以昭示學(xué)生們）.看來在理解問題的基礎(chǔ)上，理性地選擇適切的方法才是科學(xué)的態(tài)度.那么，是否還有同樣便捷的方法呢？學(xué)生13：假設(shè)AB=1，AP=x，得到，此時的未知數(shù)x也為黃金比.教師：真不錯！基于以上的分析、思考與計算，我們得到了黃金比為.現(xiàn)在，接下來又有一個問題應(yīng)該可以得到解決了，你們認為是哪一個問題呢？學(xué)生們：找黃金分割點.教師：回顧中點的找尋，折、度量、尺規(guī)……等等，各種方法在此都可行嗎？哪一種方法馬上可以成就呢？學(xué)生14：我覺得用度量法可以馬上找到一條線段的黃金分割點.比方說線段AB長為1，就量出AP長為0.618；AB為2，就量出AP長為1.236；……總之，AP的長為0.618AB.教師：Wonderful！(板書呈現(xiàn)：∵.∴)

那么，從點B出發(fā)度量BP=0.618AB可以嗎？學(xué)生們：（恍然）噢！可以的，線段的黃金分割點有兩個.教師：同學(xué)們，我建議讓我們繼續(xù)深入下去思考，如何用尺規(guī)做出線段的黃金分割點.（學(xué)生們饒有興味地再一次進入研究狀態(tài).直尺圓規(guī)雙管齊下，手腦并用不得要領(lǐng)，顯然不能一蹴而就.略待片刻后，教師緩緩的聲音輕輕地提示：關(guān)鍵是作出！……終于，一個、兩個、三個……成功者愈來愈多，教師選擇三位有代表性思想的同學(xué)上黑板呈現(xiàn)他們的作圖過程，并一一闡述他們的作圖依據(jù).）學(xué)生15：不妨假設(shè)AB=2，那么只要作出即可.作CB⊥AB于點B，使，連結(jié)AC，截CD=CB，再截AP=AD，則點P即為線段AB的黃金分割點(如圖3).學(xué)生16：作CB⊥AB于點B，使CB=2AB，連結(jié)AC，截CD=AB，則，作AD的中垂線，垂足為E，截AP=AE，則點P即為線段AB的黃金分割點(如圖4).學(xué)生17：作CB⊥AB于點B，使CB=2AB，連結(jié)AC，作AC的中垂線，垂足為D，作AB的中垂線，垂足為E，截DF=AE，再截AP=AF，則點P即為線段AB的黃金分割點(如圖5).

教師：讓我們?yōu)樗麄兊穆敺f和智慧喝彩、鼓掌！教師：同學(xué)們，想不想看看如何用“折”的方法找到黃金分割點呢？（學(xué)生們興致盎然，翹首以待.教師出示兩個以“折”找黃金分割點的方法，以師生共同分享、研判、求真……，折1即時解決，折2留待課后同學(xué)們繼續(xù)研究.）折1：如圖6，用紙折出黃金分割點：裁一張正方形的紙片ABCD，先折出BC的中點E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落到線段EA上，折出點B的新位置B′，因而EB′=EB．類似地，在AB上折出點B″使AB″=AB′．這時B″就是AB的黃金分割點．折2：如圖7，第一步：先將一張正方形紙片ABCD對折，得到折痕EF；第二步：折出矩形BCFE的對角線BF；第三步：將AB邊折到BF上，得到折痕BG，點G為線段AD的黃金分割點（AG>DG）

（圖6）

（圖7）

【教學(xué)思考】數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標志.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中逐步積累.幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標.黃金比的求解，宏觀上在于建立代數(shù)方程模型，此為問題解決之關(guān)鍵所在；微觀上要思辨地找尋適切的未知數(shù)假設(shè)手段.質(zhì)疑、辨析、歸納的過程，正是數(shù)學(xué)思維能力提升的渠道.黃金分割點的確定，是一個有“序”的思維漸進與提升過程——量、作、折，均立足于黃金比.散漫的找尋不是科學(xué)的態(tài)度，理性的求索才是康莊大道.數(shù)學(xué)思想蘊涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，學(xué)生們在積極參與教學(xué)活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，才能逐步經(jīng)歷、體驗、感悟、內(nèi)化數(shù)學(xué)思想與方法.2．3觀賞之樂——神奇的景觀與無限的遐想教師：黃金分割具有嚴格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學(xué)價值.諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域，都有許多神奇的景觀.兩千多年前，柏拉圖曾在雅典帕特農(nóng)神廟旁如是說：“God

eternally

geometrizes”上帝是一位幾何學(xué)家.請同學(xué)們欣賞神奇的0.618?。▓D片展示）——著名畫家達?芬奇的名畫《蒙娜麗莎》；文明古國埃及的金字塔；維納斯女神；腳穿足尖鞋的芭蕾舞演員；（此時，教師戲謔地聲稱自己的身段與0.618相去甚遠，故而今天不僅穿了高跟鞋，而且穿上腰節(jié)線較高的外套，以調(diào)整自身黃金分割點的位置，盡量給在座的同學(xué)們以美的感受.）小提琴是一種造型優(yōu)美、聲音誘人的弦樂器，它的共鳴箱的一個端點正好是整個琴身的黃金分割點；（此時，教師拿出京劇樂器三大件中的月琴，絲弦輕撥，一段江浙民調(diào)“采茶舞曲”流淌而出.同時，讓學(xué)生們體味在琴弦兩端彈撥，不是過于尖銳就是過于沉悶，唯有在琴弦的0.618處泛音，奏出的聲音最為悅耳.）攝影作品之美——這兩幅攝影作品，你覺得哪一幅更加漂亮？攝影與黃金分割：畫面的主體基本位于橫向線條與縱向線條的黃金分割位置；黃金分割在管理、工程設(shè)計等方面也有著不可忽視的作用.在很多科學(xué)實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優(yōu)選法；

……（此時，大屏幕呈現(xiàn)）早在公元前六世紀，古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯，就發(fā)現(xiàn)了在這種分割狀態(tài)下存在一種和諧之美.后來古希臘美學(xué)家柏拉圖正式將此稱為黃金分割，并一直被認為是“最美麗”的幾何比率.正因為它在建筑、文藝、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實驗中有著廣泛而重要的應(yīng)用，所以人們才珍貴地稱它為"黃金分割".（學(xué)生們沉浸在觀賞的愉悅之中，并對科學(xué)研究充滿了遐想……）教師：同學(xué)們，今天我們認識了一種新的分割，發(fā)現(xiàn)了一種新的比值，感受了一種新的數(shù)學(xué)之美.但是，有更多的關(guān)于黃金分割的研究值得大家深入其中.同時，伴隨著中點分割以及黃金分割，還有其他許多的分割與比值值得我們關(guān)注，比方說也是一個很有趣的比.……最后想要和同學(xué)們說的一句話是：比黃金更貴重的是——對自然科學(xué)的好奇之心、對數(shù)學(xué)問題的探究之意、對宇宙萬物的觀賞之樂.【教學(xué)思考】《數(shù)學(xué)通報》2006年第45卷第6期，楊樂夫人黃且園女士的文章《一位數(shù)學(xué)家的藝術(shù)之路——記王元教授》中，王元先生如是說：什么是好的數(shù)學(xué)？評價數(shù)學(xué)的標準是什么？“數(shù)學(xué)的評價標準和藝術(shù)一樣，主要是美學(xué)標準，美學(xué)對物理科學(xué)也很重要，但對數(shù)學(xué)，它是第一標準.黃金分割何以冠之如此“恢弘”之稱謂，是學(xué)生們在最初的教學(xué)時段提出的一個極好的問題.其源之于黃金分割具有嚴格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學(xué)價值.繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域，以及大自然呈現(xiàn)的各種神奇景觀，在給于學(xué)生們驚奇震撼、嘆為觀止的同時，也給了學(xué)生們無限的遐想與科學(xué)的信仰，善莫大焉！

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教學(xué)反思3.1

關(guān)注數(shù)學(xué)人教版六年級教材中有關(guān)于“黃金比”的閱讀材料（寧波市小學(xué)使用人教版教材，初中使用浙教版教材，高中使用人教版教材），學(xué)生們曾經(jīng)從欣賞的角度對此有所了解.浙教版九年級教材再次進入此知識范疇，在相似三角形一章專門設(shè)置一節(jié)課“黃金分割”.如果說小學(xué)教學(xué)著重于視覺、直觀、描述、欣賞的層面，那么，而今中學(xué)教學(xué)理應(yīng)從系統(tǒng)、邏輯、理性、研究的層面，給予學(xué)生們從認知視角、研究方法、思維高度等諸方面以數(shù)學(xué)的、科學(xué)的感受與體察.仔細研讀教材，“黃金分割”這一節(jié)課內(nèi)容豐厚且脈絡(luò)清晰，學(xué)生們將歷經(jīng)一個完整的認知、研究過程：何為黃金分割？黃金比為幾何？如何作出黃金分割點？黃金分割有何之用？研究的過程不僅是學(xué)生們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的過程，更是數(shù)學(xué)思想方法潛移默化培植、滲透、內(nèi)化的過程.類比中點分割遷移黃金分割；運用代數(shù)思想建立方程模型；思辨優(yōu)化方案實現(xiàn)哲學(xué)思考；交融手腦并用達成問題解決；……學(xué)生們只有在“做”和“思考”之中，才能最有效地領(lǐng)略和把握數(shù)學(xué)的精神和真諦.而且將線段的分割，及至平面圖形（三角形中線、高線、角平分線、中位線等）的分割、空間圖形的分割，納入到知識系統(tǒng)長河中去，為后續(xù)的學(xué)習(xí)和研究，撒下希望的種子.3.2

關(guān)注學(xué)生美國教育心理學(xué)家奧蘇貝爾的學(xué)習(xí)理論：假如讓我把全部的教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么我將一言以蔽之：影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素就是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，要探明這一點，并因此進行教學(xué).學(xué)生們在七年級已經(jīng)有線段中點分割的研究經(jīng)驗，包括中點的定義、中點的特性、畫（作）中點的各種方法、中點在數(shù)學(xué)領(lǐng)域或生產(chǎn)生活中的應(yīng)用.黃金分割的研究與之一脈相承但又更具挑戰(zhàn)、更富魅力.概念的內(nèi)涵昭示：前者是分割所得的線段相等，后者是分割所得的線段成比例；進一步量化的研究揭示：前者分割所得線段之比為1，后者分割所得線段的之比為著名的0.618；分割點的找尋過程發(fā)現(xiàn)：兩者都可以嘗試用“量”、“作”、“折”等方法得到.類比、對照、實踐、歸納的結(jié)果，引發(fā)學(xué)生們自動建構(gòu)分割問題研究的科學(xué)方法.除此以外，學(xué)生潛在的運用代數(shù)思想建立方程模型的能力，學(xué)生儲備的一元二次方程的求解能力，學(xué)生內(nèi)存的尺規(guī)作圖以及以往的諸多經(jīng)驗等，都是黃金分割研究的保障和支撐.更有意義的是，學(xué)習(xí)活動的過程也是對以往知識的一次綜合性檢審與驗收.值得關(guān)注的是，于學(xué)生們而言，無論黃金比的求得，還是黃金分割點的找到，都是學(xué)生們在獨立思考、交往互動、合作交流的基礎(chǔ)上獲得并共享，比之由教師展示、傳授、教導(dǎo)，那是有著天壤之別的，這與美國學(xué)者埃德加.戴爾(EdgarDale)提出的“學(xué)習(xí)金字塔(ConeofLearning)”理論交相印證.（學(xué)習(xí)金字塔理論：不同的學(xué)習(xí)方法達到的學(xué)習(xí)效果不同，研究表明在兩周之后，學(xué)生對知識的保持率，從5%—90%不等.用耳朵聽講授，知識保留5%；用眼去閱讀，知識保留10%；視聽結(jié)合，知識保留20%；用演示的辦法，知識保留30%；分組討論法，知識保留50%；練習(xí)操作實踐，知識保留75%；向別人講授相互教，快速使用，知識保留90%.）基于這樣的思考與認識，必然會導(dǎo)致教師教學(xué)行為和學(xué)生學(xué)習(xí)行為的超越.3.3

關(guān)注教學(xué)順應(yīng)學(xué)生們的思維走向、追求自然本真的教學(xué)氛圍，是一種美好愉悅的境界.有沒有這樣的一種境地：師生共同進入一種忘我的癡迷狀態(tài)，沉浸于數(shù)學(xué)本體的領(lǐng)略與探索之中，數(shù)學(xué)問題猶如強大的磁石吸引著每一個人，并將他們拖進她的磁場.沒有任何的桎梏，也沒有任何的羈絆.人人均為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的同志者和合作者.EnjoyEverybody！義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）解讀中引用了這樣一句話：Whatisthekeyinmathematicsandmathematicaleducation?——Theproblemisthekey!由中點分割引出黃金分割，教學(xué)從問題“關(guān)于黃金分割你想知道些什么”開始啟航，循著學(xué)生們的需求與愿望開展、組織教學(xué)，并在逐個問題解決的行進過程中，不斷傾聽——方法的多樣性；不斷思辨——方案的優(yōu)質(zhì)性；不斷嘗試——問題解決的可行性；……合作交流是因為同伴互助、集思廣益的需要；獨立思考是緣于自由思想、獨立精神等諸多良好品德養(yǎng)成的必須.唯有適切的，才是合理的；唯有自然的，才是真正永恒的.孟子曰：教亦多術(shù)也！但是無論如何，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)也應(yīng)該崇尚行云流水般的自然流暢而非任何流于形式的“作秀”；還應(yīng)該給予學(xué)生以廣闊的自由純真的空間而非人為的非自然的設(shè)置；更應(yīng)該還給數(shù)學(xué)以其理性自然的真面目而非過于矯情的人文滲透.為人師者須得明白，“黃金分割”只是一個載體而已，我們依托“黃金分割”這個平臺，向同學(xué)們傳輸?shù)氖且环N圖形研究的方式方法，一種問題解決的理性思維，一種滋養(yǎng)、一種培植、一種升華.事實上，讓孩子們嘗試著用研究線段分割的思路去研究平面圖形的分割和立體圖形的分割，或者涉足更多的知識領(lǐng)域，那正是我們的期望、我們的理想和我們的教學(xué)根本宗旨.鄭毓信教授在他的《回顧、總結(jié)與展望》一文中寫道：我們在數(shù)學(xué)課上所希望學(xué)生養(yǎng)成的乃是一種新的精神：這并非與生俱來，而是一種后天養(yǎng)成的理性精神；一種新的認識方式：客觀的、定量的研究；一種新的追求：超越現(xiàn)象以認識隱藏于背后的本質(zhì)（是什么？為什么？）；一種不同的美感：數(shù)學(xué)美（羅素形容為“冷而嚴肅的美”）；一種深層次的快樂：由智力滿足帶來的快樂，成功以后的快樂；一種新的情感：超越世俗的平和；一種新的性格：善于獨立思考，不怕失敗，勇于堅持……唯此，才能一步一個腳印，將我們的學(xué)生們領(lǐng)上科學(xué)之道！

參考文獻:[1]裴光亞.

從“高效”課堂說開去.

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.

2013.5[2]鄭毓信.

回顧、總結(jié)與展望

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.

2007.1-2[3