第十二章

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方法

數(shù)學(xué)概念如同其他事物的概念一樣分為：日常概念和學(xué)科概念兩類。如直線、線段、三角形、圓等圖形的概念,自然數(shù)、分?jǐn)?shù)等數(shù)的概念，都是學(xué)生在個人生活經(jīng)驗的積累過程中所掌握的日常概念。學(xué)科概念是在教學(xué)中有系統(tǒng)地使學(xué)生熟悉有關(guān)概念內(nèi)涵的條件下所掌握的概念。數(shù)學(xué)知識中的概念是學(xué)科概念。一、什么是數(shù)學(xué)概念

學(xué)生意識中的日常概念對掌握學(xué)科概念有很大的影響。這種影響可能是積極的，也可能是消極的。它取決于日常概念的含義與學(xué)科概念的內(nèi)涵是否一致。當(dāng)一致時，就起著積極的作用；當(dāng)不一致時，前者就對后者的掌握產(chǎn)生消極的作用。因此教師在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，首先要了解學(xué)生對將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念有著怎樣的認識，會對形成學(xué)科概念產(chǎn)生怎樣的影響。

中學(xué)數(shù)學(xué)概念是關(guān)于數(shù)和形的某一類對象的本質(zhì)屬性的反映。數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性往往不是單一的，因而數(shù)學(xué)概念對本質(zhì)屬性所作的反映是整體的反映。在數(shù)學(xué)教材中，除了用定義來提示概念的內(nèi)涵外，還可用定理來反映概念的本質(zhì)屬性。稱為“性質(zhì)”的數(shù)學(xué)命題，都是從定義推衍而來的，稱為“判定”的數(shù)學(xué)命題，實事上又都是與定義等價的。因此，數(shù)學(xué)概念的定義方式并不是唯一的，但都是定義對象本質(zhì)屬性的反映。

二、掌握數(shù)學(xué)概念的基本要求

正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)從實例和學(xué)生已有知識出發(fā)引入新概念。對容易混淆的數(shù)學(xué)概念，可引導(dǎo)學(xué)生用對比方法認識它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，通過直觀教學(xué)，加深理解。數(shù)學(xué)概念的掌握首先需要理解，運用邏輯思維的形式，根據(jù)邏輯思維的規(guī)律和方法來達到對于所研究對象的本質(zhì)的認識。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，掌握數(shù)學(xué)概念的要求具體地表現(xiàn)在以下幾個方面：

1、掌握定義對象的存在性

數(shù)學(xué)概念定義對象的存在性，一方面可用定義所標(biāo)志的實際事物來說明；另一方面還需要用邏輯證明的方法來說明。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，可采取舉實例方式掌握數(shù)學(xué)概念，也可給出概念的存在性定理，來說明定義在邏輯上的合理性，還可用“發(fā)生式定義”來定義數(shù)學(xué)概念。

2、掌握數(shù)學(xué)概念的名稱的作用

概念是從實際事物中抽象而來的，是用“詞”來表現(xiàn)的，叫做“概念的名稱”。概念的名稱與這一概念的屬性是相互關(guān)系的。因此，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，教師要利用好概念的名稱的由來和它的作用，引導(dǎo)學(xué)生正確使用概念的名稱或術(shù)語對正確的思維具有很重要的意義。

3、掌握原始概念的作用

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，既可利用關(guān)于數(shù)和形的實際事例的感性材料進行抽象與概括，又可利用以前已知的概念來給出新的概念下定義。這是因為新概念反映的屬性是以舊有概念的名稱來表達的。這必然有一些概念，在其前面沒有任何已知的數(shù)學(xué)概念可作為新定義的依據(jù)。這樣的數(shù)學(xué)概念被稱為原始概念。如“點”、“線”、“面”、“元素”、“集合”、“對應(yīng)”等就是不加定義的原始概念。原始概念是起于直接經(jīng)驗的，它是一切其他概念的定義的出發(fā)點。

4、數(shù)學(xué)概念下定義的規(guī)則

首先，給概念下定義不能循環(huán)。循環(huán)定義主要表現(xiàn)為，既用甲概念來定義乙概念，又用乙概念來定義甲概念，結(jié)果是什么也說不清楚。學(xué)生出現(xiàn)循環(huán)定義的錯誤原因，主要是由于對原始概念的作用缺乏足夠的認識。

其次，概念和它的定義又必須是相稱的。如“無理數(shù)是無限小數(shù)”，或“無理數(shù)是開不盡的有理數(shù)的方根”，就是擴大或縮小了無理數(shù)的外延。學(xué)生出現(xiàn)定義不準(zhǔn)確，原因是學(xué)生對概念的內(nèi)涵和處延沒有真正掌握。

另外，數(shù)學(xué)概念的定義應(yīng)簡潔明了。一般地不用否定句來下定義，也不用比喻來下定義。

5、掌握一定的概念體系

掌握概念的體系就是既要熟悉比目前所研究的概念更一般的概念，又要熟習(xí)比目前所研究的概念更為特殊、且從屬于它的概念。

如，直線方程的概念與一次函數(shù)的概念，分別從屬于方程和函數(shù)各自的體系，而彼此又有概念上的聯(lián)系。只有掌握一定的概念體系，才可能掌握好教材中的概念。

6、掌握概念的運用

概念的運用是把已經(jīng)概括了的一般屬性運用到個別的、特殊的場合。

在中學(xué)數(shù)學(xué)問題中，運用概念判斷正誤，求解問題。如，“求證:lg2是無理數(shù)”。就用到三個概念（有理數(shù)、無理數(shù)、對數(shù)）求解這一個問題。通過概念的運用，使學(xué)生對概念有更全面、更深刻的理解并掌握好它。

1.分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一如三角形的分類，可按邊分，也可按角分。

2.分類應(yīng)該是對稱的“對稱”就是分類后的屬概念之間具有矛盾關(guān)系，如“實數(shù)分為有理數(shù)和整數(shù)”就是錯誤的，漏了“無理數(shù)”；“四邊形分為平行四邊形和梯形”也是不對的，漏了“一般四邊形”。

3.分類不應(yīng)越級

即分類后的屬概念和被分類的種概念間是“最鄰近”的。

三、數(shù)學(xué)概念的分類

如，把“方程分為整式方程、分式方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程”，既不對稱，也是越級。

概念是人的大腦對感性材料進行加工的產(chǎn)物，是從感性認識向理性認識的飛躍。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基元，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念教學(xué)的主要目的是揭示概念的內(nèi)涵和外延，使學(xué)生思考問題和推理論證有理有據(jù)。一般分以下幾個階段教學(xué)。四、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方法

1、數(shù)學(xué)概念的引入

數(shù)學(xué)概念的引入，首先可由實際事例或?qū)嵨锬Ｐ偷鹊闹X和表象中獲得感性認識。在此基礎(chǔ)上提出數(shù)學(xué)概念的定義。

例如“平行線”的概念，可從鐵軌、一排排樹木、條田、書架等實物引入；再如“正負數(shù)”的概念，可用溫度計、前進與后退、收入與支出等方式引入；“直角坐標(biāo)系”的概念可由方位來引入等。

有的數(shù)學(xué)概念可從學(xué)生已有的一些數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上引出。如學(xué)習(xí)了“方程”這一概念后，便可直接引出“方程的解”這一定義。再如學(xué)習(xí)了“平行四邊形”，就可以引出“矩形”、“菱形”、“正方形”的定義。教學(xué)中，可引導(dǎo)學(xué)生從概念的種屬關(guān)系出發(fā)，抓住概念間的種差進行講授，使學(xué)生形成新概念。

有的數(shù)學(xué)概念可用類比的方法引入。如分式可用分?jǐn)?shù)的類比引入；平面間的位置關(guān)系可由平面上直線間的位置關(guān)系類比引入；不等式可由等式類比引入等.

這種用遷移引入新概念的方法是一種教學(xué)中常用的重要方法。

還有的數(shù)學(xué)概念是由于實際的需要而引入的。如為了使自然數(shù)加法的逆運算可以實施，引入整數(shù)概念；為了使整數(shù)乘法的逆運算可以施行，引入有理數(shù)的概念；為使有理數(shù)乘方運算的逆運算可以實施，又引入實數(shù)和復(fù)數(shù)的概念。

也有的數(shù)學(xué)概念可由圖象引入。

如“對頂角”、“直角”、“同位角”、“內(nèi)錯角”、“同旁內(nèi)角”、“圓周角”、“圓心角”、“弦切角”等等概念的引入，采用圖形引入概念，可使學(xué)生更易理解定義的本質(zhì)。

2、數(shù)學(xué)概念的形成

在認識過程中，只有對某一事物的本質(zhì)有了深入的了解，才算形成了對這一類事物的概念。如何才算對數(shù)學(xué)概念的形成呢？

首先，要理解定義。

定義的理解不但是對定義中每個詞語的含義的理解，更主要的是理解獲得定義的抽象與概括事物屬性的每一個步驟。數(shù)學(xué)概念的定義是經(jīng)過多次抽象才得出的，每次抽象都有一個再認識和再提高的過程。例如，“任意角的三角函數(shù)”的定義，從初中到高中，任意角中的“角”是經(jīng)過一個多次抽象的過程，“三角函數(shù)”的定義，是由“邊的比”到引入“坐標(biāo)”的概念抽象而來的。

其次，要掌握概念的內(nèi)涵。概念定義沒有反映出被定義的概念所包含的全部本質(zhì)特征，因此還要掌握概念的內(nèi)涵。掌握概念內(nèi)涵的主要途徑是定義的推衍。如從平行線的定義出發(fā)可推出平行線的判定定理；引入平行公理后，又可推出平行線的性質(zhì)定理等。

另外，要學(xué)會把概念分類。概念的分類表明了概念的外延。只有掌握了概念的內(nèi)涵和外延，才算真正做到了對數(shù)學(xué)概念的形成。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念的分類是形成數(shù)學(xué)概念重要的環(huán)節(jié)。如講了有理數(shù)后，必然要對有理數(shù)分類；講了三角形之后，必然要（按不同標(biāo)準(zhǔn)）對三角形分類等。

3、數(shù)學(xué)概念的鞏固由于數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，不易達到牢固的掌握。加之?dāng)?shù)學(xué)概念較多，特別是一些不經(jīng)常用的數(shù)學(xué)概念更難記憶，因此數(shù)學(xué)概念的鞏固在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中就更顯得重要。一般可采取如下一些做法來鞏固數(shù)學(xué)概念。

首先，對數(shù)學(xué)概念的定義要求理解而非死記。數(shù)學(xué)概念大多簡潔明了，詞言表達準(zhǔn)確，如“等差數(shù)列”、“等比數(shù)列”的概念，關(guān)鍵是理解“差相等”、“比相等”既可較好地掌握這兩個概念。再如“一元二次方程”、“二元一次方程”等概念，詞意清楚，便于學(xué)生理解。對這樣一些數(shù)學(xué)概念，教師在教學(xué)中，可講解透徹，通過對詞意的理解，達到熟記概念的目的。

其次，對用符號表示的數(shù)學(xué)概念，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過類比、運用（或符號運算）等，加深對數(shù)學(xué)符號的認識，從而達到掌握和熟練運用的目的。防止出現(xiàn)對符號理解片面而影響對概念的認識。

如有的學(xué)生把arcsinx中的arcsin數(shù)學(xué)符號沒有看成一個整體，就可能出現(xiàn)arcsin

這樣的錯誤寫法等，影響學(xué)生的學(xué)習(xí)。

另外，對由舊概念引出的新概念，教師可引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)新概念的同時，復(fù)習(xí)舊概念，再認識新概念。通過新舊概念的聯(lián)系，找出其共同點和不同點，力求“以新帶舊”，達到鞏固概念的目的。

最后，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要特別重視概念的運用。通過概念的運用鞏固概念。如，“對數(shù)”概念學(xué)習(xí)后，可安排學(xué)生做系列練習(xí)，加深對“對數(shù)”概念的理解。

4、概念的總結(jié)與提高

講完一節(jié)或一章或一個完整體系后，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生對概念間的聯(lián)系與區(qū)別、概念的種屬關(guān)系等給予總結(jié)，一方面可以使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念形成系統(tǒng)性和條理性的認識；另一方面，可以使學(xué)生對概念有一個新的認識和提高。

5、概念教學(xué)中教師應(yīng)注意的問題

（1）容易混淆的概念的教學(xué)

對于一些關(guān)系密切又容易混淆的概念，在教學(xué)中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生采用對比的方法，尋找它們的共性和特性，確定它們的不同點，達到準(zhǔn)確掌握概念的目的。如“冪”和“指數(shù)”，“方程的根”和“方程的解”等概念較容易混淆。特別是高中的“排列”與“組合”的概念更容易混淆，嚴(yán)重影響學(xué)生的學(xué)習(xí)。究其原因，主要是學(xué)生對這兩個概念的不同點（是有序還是無序）認識不清。特別注意“正遷移”與“負遷移”的教學(xué)作用。

（2）聯(lián)系概念的教學(xué)許多數(shù)學(xué)概念的引入都需要聯(lián)系到已有的概念。如一元二次不等式概念的引入，就涉及到一元一次不等式、一元二次方程、一元二次函數(shù)等一組已有的數(shù)學(xué)概念。拋物線概念的引入，涉及到橢圓和雙曲線的第二定義。

再如反三角函數(shù)概念的引入，就涉及到單值對應(yīng)、一一對應(yīng)、逆對應(yīng)、反函數(shù)等一組已有的數(shù)學(xué)概念。只有學(xué)生對這些概念掌握了，才可能接受新概念的引入，學(xué)習(xí)上就不會遇上大的困難。

因此，教師在引入這些概念之前，應(yīng)充分考慮到學(xué)生的接受能力，從學(xué)生已掌握的概念出發(fā)，復(fù)習(xí)導(dǎo)入，既加深對已有概念的理解，又為新概念的引入鋪平道路。

（3）發(fā)展著的概念的教學(xué)有一些數(shù)學(xué)概念，隨著學(xué)生知識的積累，就有一個不斷深化、提高的過程。如函數(shù)概念，不等式概念，向量概念（分平面和立體向量），如“絕對值”這一概念，發(fā)展到解析幾何中，表示“兩點距離”，在復(fù)數(shù)中，又表示“?！薄?/p>