1第二章軸向拉壓應(yīng)力與材料的力學(xué)性能試畫(huà)圖示各桿的軸力圖。N2RN1RF(x)=Fq(xa)=2qaqxN2R22F=qaN,max解：該拉桿橫截面上的正應(yīng)力為F50103NA0－6m23aaα2桿內(nèi)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力分別為maxστ==50MPamax2某材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖所示，圖中還同時(shí)畫(huà)出了低應(yīng)變區(qū)的詳圖。試確定材料的彈性模量E、比例極限、屈服極限、強(qiáng)度極限與伸長(zhǎng)率6，并判斷該材料屬psb于何種類(lèi)型(塑性或脆性材料)。解：由題圖可以近似確定所求各量。Δσ220106Pap,sb一圓截面桿，材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如題2-6圖所示。若桿徑d=10mm，桿長(zhǎng)4解：σ=F=420103N=2.55108Pa=255MPaAπ0.0102m2軸向變形為拉力卸去后，有ep故殘留軸向變形為pp板厚6=15mm，孔徑d=20mm。試求板件橫截面上的最大拉應(yīng)力(考慮應(yīng)力集中)。解：根據(jù)查應(yīng)力集中因數(shù)曲線,得Fσ=，σK=maxσn得5KF2.4232103Nσ=Kσ==＝6.45107Pa=64.5MPammdmmRmm(考慮根據(jù)查圓孔應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得σ=Kσ=KF1=max1n1(b－d)61據(jù)查圓角應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得11 Db=1=db22223.結(jié)論σ=117MPa(在圓孔邊緣處)max圖示桁架，承受鉛垂載荷F作用。設(shè)各桿的橫截面面積均為A，許用應(yīng)力均為[]，試確定載荷F的許用值[F]。6F=2FN1F=F=FN2N3根據(jù)強(qiáng)度條件，要求2F[]A[F]=[]A2置保持不變的條件下，試確定使結(jié)構(gòu)重量最輕的a值(即確定節(jié)點(diǎn)A的最佳位置)。N1N2NsinαN22.求重量最輕的a值FFFF7結(jié)構(gòu)的總體積為V=Al+Al=F.l+Flctanα=Fl(2+ctanα)1122[σ]sinαcosα[σ][σ]sin2α由得由此得使結(jié)構(gòu)體積最小或重量最輕的α值為定距離為l，為使結(jié)構(gòu)重量最輕，試確定9的最佳值。由于結(jié)構(gòu)及受載左右對(duì)稱(chēng)，故有F=F=FNN2sinθ2.求9的最佳值A(chǔ)=A=F122[σ]sinθ結(jié)構(gòu)總體積為FlFlFlFl11[σ]sinθ2cosθ[σ]sin2θ由dV=0得由此得9的最佳值為8解：根據(jù)桿件拉伸、擠壓與剪切強(qiáng)度，得載荷F的許用值分別為[F]=πd2[]t4[F]=π(D2d2)[]b4bs[F]=πdh[Ts[F]=[F]=[F]tbs在上述條件下，由式(a)與(c)以及式(a)與(b)，分別得D1+于是得dd9由平衡方程xF=0與xF=0，分別得xyBx12由此得軸銷(xiāo)處的總支反力為B2.確定軸銷(xiāo)的直徑由軸銷(xiāo)的剪切強(qiáng)度條件(這里是雙面剪)F2FF2F得由軸銷(xiāo)的擠壓強(qiáng)度條件FFσ=b=B共[σFFbsd6d6bs得6[σ]0.010人240人106解：剪應(yīng)力與擠壓應(yīng)力分別為(a)(a)MPa解：最大拉應(yīng)力為=4230105π(0.020m)2圖示兩根矩形截面木桿，用兩塊鋼板連接在一起，承受軸向載荷F=45kN作用。已知木桿的截面寬度b=250mm，沿木紋方向的許用拉應(yīng)力[]=6MPa，許用擠壓應(yīng)力[]=10MPa，許用切應(yīng)力[T]=1MPa。試確定鋼板的尺寸6與l以及木桿的高度h。解：由拉伸強(qiáng)度條件σ=F[σ]得h一26F=45103m=0.030mb[σ]0.2506106σ=F[σ]bs2b6bs得(b)6F=45103m=0.009m=9mm(b)2b[σ]20.25010106τ=F[τ]2bl得lF=45103m=0.090m=90mm取6=0.009m代入式(a)，得結(jié)論：取圖示接頭，承受軸向載荷F作用。已知鉚釘直徑d=20mm，許用應(yīng)力N1N2σ=FN1=F[σ]1σ=FN2=3F[σ]Abd2332.考慮鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度FF=s8τ=Fs=4F[τ]A8πd23．考慮鉚釘?shù)臄D壓強(qiáng)度FF=b4=Fb=F[]bs6d46dbsF46d[σ]=40.0150.020340106N=4.08105N=408kNAB解：1．鋼帶受力分析分析表明，當(dāng)各鉚釘?shù)牟牧吓c直徑均相同，且外力作用線在鉚釘群剪切面上的投影，通過(guò)該面的形心時(shí)，通常即認(rèn)為各鉚釘剪切面的剪力相同。F6103NF===2.0103Nb33孔表面的最大擠壓應(yīng)力為=Fb=2.0103N==1.25108Pa=125MPa[]bs6d(0.002m)(0.008m)bs在擠壓力作用下，鋼帶左段虛線所示縱截面受剪(圖b)，切應(yīng)力為T(mén)=Fb=2.0103N==2.5107Pa=25MPa[T]26a2(0.002m)(0.020m)力最大，因此，應(yīng)對(duì)此二截面進(jìn)行拉伸強(qiáng)度校核。=FN1=2F=2(6103N)=83.3MPa[]Abd0.040m一20.008m)(0.002m)1=FN2=F=6103N=93.8MPa[]2D及體積改變量V。Fε，εΔDFεΔDFDEA變形后該桿的體積為4各段軸力數(shù)值上均等于F，因此，EAAAπEd2d2d2123123ΔlF(l1l2l3EAAAπEd2d2d2123123F=πEΔl=π2101090.1010一3N=1.865104N=18.65kN4(l1+l2+l3)4(0.006+0.029+0.008)d2d2d20.00820.006820.00721232.校核螺栓的強(qiáng)度F4F418.65103NF4F418.65103Nmin2mmN1111N22222.確定F及θ之值由節(jié)點(diǎn)A的平衡方程F=0和F=0得xyN2N1N1N2化簡(jiǎn)后，成為N1N2及N1N23(F+F)3(16+8)根103N1N2解：對(duì)于常軸力變截面的拉壓平板，其軸向變形的一般公式為由圖可知，若自左向右取坐標(biāo)x，則該截面的寬度為1lΔl=Fjl1dx=Fllnb2kl3lkl3lF=pgAyNdΔ=pgAydy=pgydyyEAElCyE02E土地樁，頂端承受載荷F，并由作用于地樁的摩擦力所支彈性模量為E，埋入土中的長(zhǎng)度為l。試求地樁的縮短量6。摩擦力的合力為FF=N2.地樁縮短量計(jì)算l0333k3k003 Fdyd6=FdyEA積分得0EA3EA012EA將式(a)代入上式，于是得6=Fl圖示剛性橫梁AB，由鋼絲繩并經(jīng)無(wú)摩擦滑輪所支持。設(shè)鋼絲繩的軸向剛度(即所需之力)為k，試求當(dāng)載荷F作用時(shí)端點(diǎn)B的鉛垂位移。NANNFN=F=9(2a+b)yab12y12Δ=Δy根據(jù)k的定義，有F=kΔl=kΔNy于是得FFΔ=N=ykk圖示各桁架，各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試計(jì)算節(jié)點(diǎn)A的水平與鉛垂(a)解：利用截面法，求得各桿的軸力分別為F=F=F(拉力)N1N2F=2F(壓力)N4F=0N3于是得各桿的變形分別為l=l=Fl(伸長(zhǎng))12EAl=2F.2l＝2Fl(伸長(zhǎng))4EAEAl=03A的水平與鉛垂位移分別為Δ=0Δ=l+2l+l=Fl+22Fl+Fl=2(1+2)FlAy142EAEAEAEAN1N1sinθN2(b)解：顯然，桿1與桿2的軸力分別為F=F(拉力)NF=0N2于是由圖3－10(2)可以看出，節(jié)點(diǎn)A的水平與鉛垂位移分別為Δ=l=FlAx1EAΔ=l=FlAy1EA為使節(jié)點(diǎn)B的鉛垂位移最小，9應(yīng)取何值(即確定節(jié)點(diǎn)A的最佳位置)。FF2.求變形和位移Fl2Fl1Δl=N1Fl2Fl1Δl=N11=1EAEA22及Δ=Δl1+Δl2=Fl2(2+ctan2θ)BysinθtanθEAsin2θsinθA23.求θ的最佳值21212解此三次方程，舍去增根，得由此得θ的最佳值為FF解：兩桿的軸力均為F軸向變形則均為Δ編lFnlCy=cosa=2nAnBcosn+1amxyN1N32變形Δl=02FlΔl=N1=3．求中點(diǎn)C的位移FlΔl=N1=3．求中點(diǎn)C的位移2001091001063x1y1利用截面法，求得各桿的軸力分別為FF=F=F=F=(拉力)FN1N2N3N42N5于是得各桿得變形分別為12342EAlF2l=2Fl(縮短)5EAEA2.位移分析B/C(23)(2EA2EA)EAB/C(23)(2EA2EA)EA如圖所示桁架，設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試用能量法求載荷作用點(diǎn)載荷作用方向的位移。221N12N22N32該桁架的應(yīng)變能為ε2EA2EA2242EA4i=1ΔΔFΔ2ε最后得llF2liNiilF2ll0lF2llF2l2l22F2lFNiF0FF2Fi2345EA2EAi=1FΔ2εΔ=(3+22)Fl()計(jì)算如下：llF2liNiilF2l/2lF2l/2lF2l/2lF2l/2FNiFi2345i=1c得()Δ=(2+2)Fl()解：對(duì)于變截面拉壓板件，應(yīng)變能的表達(dá)式為由圖可知，若自左向右取坐標(biāo)x，則該截面的寬度為1l將上式代入式(a),并考慮到F=F,于是得NV=jl1F2dx=F2llnb2 (1l)ε02E6(|b+b2–b1x)|2E6(b2 (1l)FΔl2ε或FΔl=F2llnb222E6(b–b)b211Δl=Fllnb2E6(b–b)b211FxAxBx一個(gè)平衡方程，兩個(gè)未知支反力，故為一度靜不定。F=F,F=FF,N1AxN2AxF=F2FN3Ax由于桿的總長(zhǎng)不變，故補(bǔ)充方程為l=Ax+Ax+Ax=0Fa(Fl=Ax+Ax+Ax=0EAEAEA得FF=0AxF=FxF=2FF=FBxAxF=FN,maxF=0,qaFF=0xAxBx一個(gè)平衡方程，兩個(gè)未知支反力，故為一度靜不定。F=F,F=FqxN1AxN2Ax由于桿的總長(zhǎng)不變，故補(bǔ)充方程為EAEA0Ax得EAAx2FqaAx4FqaF3qaBxAx4F3qaNmax4C載荷F=20kN，許用拉應(yīng)力[t]=160MPa,許用壓應(yīng)力[c]=110MPa，試確定各桿的橫截面面積。FN1為壓力，且大小相同，即FFN2N1M0,FaFaF2a0N2N1上述二方程，解得FFFN2N1ct取FAB為研究對(duì)象，由F=0，得NAByF+F=FxyF=FNADN,AG及BΔl一Δl=ΔlAD=2ΔlBCABcos45AD物理關(guān)系為BCEAABEAADEAAG將式(e)代入式(d)，化簡(jiǎn)后得NBCNABN,ADF=F(拉)，F(xiàn)=一N,AB2F=F=一F(拉)DNAGyFsin45oF=0N1F=2FN12F=0F的水平分量由剛性墻面提供的約束反力來(lái)平衡。N1圖示桁架，桿1、桿2與桿3分別用鑄鐵、銅和鋼制成，許用應(yīng)力分別為a解：此為一度靜不定結(jié)構(gòu)。節(jié)點(diǎn)C處的受力圖和變形圖分別示如圖3-22a和b。F=0，F(xiàn)=3FxN12N2F=0，1F+F=Fy2N2N3Δlctan30o+Δl2=Δl1sin30o3根據(jù)胡克定律，有FlFl3EA3FlFl3EA3FlFlΔl=N22=2EA1EA2EA1113將式(d)代入式(c)，化簡(jiǎn)后得補(bǔ)充方程為N1N2N3N1N2根據(jù)強(qiáng)度要求，計(jì)算各桿橫截面面積如下：FlFlN313EAFlFlN313EA333EA(c')N1[σ]40人10612[σ]60人10623[σ]120人1063根據(jù)題意要求，最后取123解：1.求解靜不定在載荷F作用下，剛體ABC將繞節(jié)點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蜃魑⑿∞D(zhuǎn)動(dòng)，剛體的位移、桿件的由平衡方程xM=0，得AFF+N2F=0N12由變形圖中可以看出，變形協(xié)調(diào)條件為l=2l2FlΔl=N1,Fl將上述關(guān)系式代入式(b)，得補(bǔ)充方程為FlΔl=N2FlF=2FN1N2聯(lián)立求解平衡方程(a)與上述補(bǔ)充方程，得4FF=N152FF=N5y定載荷F與各桿軸力yAC6=CC'=l=2lAB116=26yl=61y將式(c)與(d)的第一式代入上式，于是得4l4(100103m)并從而得F=1.5104N,N1F=7.5103NN2試在下列兩種情況下確定桿端的支反力。解：當(dāng)桿右端不存在約束時(shí)，在載荷F作用下，桿右端截面的軸向位移為6=Fa=(200103N)(1.5m)=0.57mm當(dāng)間隙6=0.6mm時(shí)，由于66，僅在桿C端存在支反力，其值則為F當(dāng)間隙6=0.3mm時(shí)，由于6>6，桿兩端將存在支反力，桿的受力如圖3-24所示。F桿的平衡方程為FFF=0BxCx補(bǔ)充方程為EAEAF6EAF=CxBx圖示兩端固定的等截面桿AB，桿長(zhǎng)為l。在非均勻加熱的條件下，距A端xBBEa桿件橫截面上的應(yīng)力。l此為一度靜不定問(wèn)題。假如將B端約束解除掉，則在x處的桿微段dx就會(huì)因溫升而有一個(gè)微伸長(zhǎng)tll2全桿伸長(zhǎng)為t0l23FlFlΔl=N=FEAEAΔl=ΔlFtEAαΔTlEAαΔTF=.lB=lBl333．求桿件橫截面上的應(yīng)力FFEαΔTσ=N==lBAA33-26圖示桁架，桿BC的實(shí)際長(zhǎng)度比設(shè)計(jì)尺寸稍短，誤差為。如使桿端B與節(jié)點(diǎn)G強(qiáng)制地連接在一起，試計(jì)算各桿的軸力。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA。解：此為一度靜不定問(wèn)題。自左向右、自上向下將各桿編號(hào)1~5。由強(qiáng)制裝配容易判斷，33F=F=FN1N2N3F=2Fcos30o=F=2Fcos30o=N3N4FN4變形協(xié)調(diào)關(guān)系為(參看原題圖)Δ=Δl1+Δl4+Δl依據(jù)胡克定律，有FlFliEA將式(d)代入式(c)，得補(bǔ)充方程Δ=N1+N4+N3Δ=N1+N4+N3聯(lián)立求解補(bǔ)充方程(e)、平衡方程(a)與(b)，最后得F=F=Δ,N323lΔ即F=F=FNBCNGDNGE23lF=F=ΔF=F=Δ(壓)N,CDN,CE23lal分套管所受之力。螺帽與螺母的變形忽略不計(jì)。解：首先設(shè)想套管未套上，而將螺母由距螺帽l處旋轉(zhuǎn)1/5圈，即旋進(jìn)6=p/5的距離。然后，再將套管套上。由于螺帽與螺母間的距離小于套管的長(zhǎng)度，故套合后的螺栓將受拉，而平衡方程為FF=0NbNt而變形協(xié)調(diào)方程則為btl+l=bt利用胡克定律，得補(bǔ)充方程為FlFlNb+Nt=6AEAEbbtt最后，聯(lián)立求解平衡方程(a)與補(bǔ)充方程(b)，得螺栓與套管所受之力即預(yù)緊力為6AEF=F=F=bbN0NbNtl(1+k)AEk=bbttcGPals解：設(shè)溫度升高T時(shí)鋼桿和銅管自由伸長(zhǎng)量分別為6和6，由于二者被鉚釘連在一起，TsTc變形要一致，即變形協(xié)調(diào)條件為6+Δl=6ΔlTssTcc或?qū)懗搔+Δl=66scTcTs這里，伸長(zhǎng)量Δl和縮短量Δl均設(shè)為正值。sc引入物理關(guān)系，得FlNs+FlNc=(αα)lΔTEAEAlcls將靜力平衡條件F=F=F代入上式，得NsNcEAEAF=sscc(ααEAEAEA+EAlcls注意到每個(gè)鉚釘有兩個(gè)剪切面，故其切應(yīng)力為τ=S==sscclclsFFτ=S==sscclclsA2AA2A2A(EA+EA)sscc2001090.0302100109(0.05020.0302)(1612.5)10640N種情況下，畫(huà)變形圖，建立補(bǔ)充方程。(1)若桿2的實(shí)際尺寸比設(shè)計(jì)尺寸稍短，誤差為6；(2)若桿1的溫度升高T，材料的熱膨脹系數(shù)為al。122222222lΔT1EAlEA2ΔlΔl2Δl2而補(bǔ)充方程則為Fl4Fl210Fl4FlEAEA或F4F021llDDC線C’e垂直于直線CC，顯然，eCΔl即代表?xiàng)U112故變形協(xié)調(diào)條件為而補(bǔ)充方程則為或Δl222lΔTΔl2l1FlF2lF4F4EAΔT021l圖示桁架，三桿的橫截面面積、彈性模量與許用應(yīng)力均相同，并分別為A，E與[]，試確定該桁架的許用載荷[F]。為了提高許用載荷之值，現(xiàn)將桿3的設(shè)計(jì)長(zhǎng)度l變?yōu)閘Δ。試問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)許用載荷最大，其值[F]max為何。Δl=NiΔl=Nii將式(c)代入式(b)，化簡(jiǎn)后得補(bǔ)充方程為σ=FN3=4F[σ]maxA(4+33)A解:此為一度靜不定問(wèn)題。F=F，2Fcos30o+F=FN1N2N1N3Δl=Δlcos30o13依據(jù)胡克定律,有FlFl4F=FN33N1將方程(b’)與方程(a)聯(lián)解，得4F=F=F=F=N34+33N1由此得FF]=(b’)DdDdΔl+Δ=Δl1cos30oσ]l+Δ=4[σ]lE3E3E3E此時(shí)，各桿的強(qiáng)度均充分發(fā)揮出來(lái)，故有maxmax扭轉(zhuǎn)解：該薄壁圓管的平均半徑和壁厚依次為022222于是，該圓管橫截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為500N依據(jù)切應(yīng)力互等定理，縱截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為該圓管表面縱線的傾斜角為試證明，在線彈性范圍內(nèi)，且當(dāng)R0/6≥10時(shí)，薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式的最解：薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式為設(shè)R/6=β，按上述公式計(jì)算的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為0T0按照一般空心圓軸考慮，軸的內(nèi)、外直徑分別為00極慣性矩為p32320020RRbbRRbbp00pa與式(b)，得maxmax6maxmax可見(jiàn)，當(dāng)R/6之10時(shí)，按薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式計(jì)算τ的最大誤差不超過(guò)4.53％。04-8式中的C與m為由試驗(yàn)測(cè)定的已知常數(shù)。試建立扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式，并畫(huà)橫截面上的切應(yīng)力分解：所研究的軸是圓截面軸，平面假設(shè)仍然成立。據(jù)此，從幾何方面可以得到pdx根據(jù)題設(shè)，軸橫截面上距圓心為ρ處的切應(yīng)力為ρdxAρdxAAρdxA取徑向?qū)挾葹閐ρ的環(huán)形微面積作為dA，即將式(d)代入式(c)，得()1/m=()1/m=2將式(e)代入式(b)，并注意到T=M，最后得扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式為Mp1/mT=C元體ABCDEF(圖b)。試?yán)L各截面上的應(yīng)力分布圖，并說(shuō)明該單元體是如何平衡的。根據(jù)圖a，不難算出截面AOOD上分布內(nèi)力的合力為1F=1τ,(dl)=4Tlx12max2πd2同理，得截面OCFO上分布內(nèi)力的合力為1設(shè)F與F作用線到x軸線的距離為e，容易求出21x21de=.dz1323根據(jù)圖b，可算出單元體右端面上水平分布內(nèi)力的合力為z200I23πdp同理，左端面上的合力為F=設(shè)F作用線到水平直徑DF的距離為e(見(jiàn)圖b)，由2zy2z2yI0204p得y48T32z1y300I23πdp設(shè)F作用線到豎向半徑OE的距離為e(見(jiàn)圖b)，由y31z2y3z2I008p得z284T32半個(gè)右端面OFE以及左端面AOB、OCB上的豎向分布內(nèi)力的合力為14TF=F=F=yyy23πd方向均示如圖c。它們的作用線到所在面豎向半徑的距離均為e。2z2由圖c可以看得很清楚，該單元體在四對(duì)力的作用下處于平衡狀態(tài)，這四對(duì)力構(gòu)成四個(gè)M16MM16M力偶，顯然，這是一個(gè)空間力偶系的平衡問(wèn)題。M16MM16Mxy4z2z2yy1z2z1y22xM=0，F(xiàn).l一F.(2e)=8Tl一8Tl=0yz2x1z13πd3πdxM=0，F(xiàn).l一F.l=4Tl一4Tl=0zy4y33πd3πd既然是力偶系，力的平衡方程(共三個(gè))自然滿足，這是不言而喻的。上述討論中，所有的T在數(shù)值上均等于M。1aM2解：由題圖知，圓軸與套管的扭矩均等于M。1.由圓軸AB求M的許用值max1Wπd31p1由此得M的許用值為2．由套管CD求M的許用值0220T=2=2共[T]max2WπD3(1一a4)2p2由此得M的許用值為16M[M2]=1.922kN.m已知軸總長(zhǎng)為l，許用切應(yīng)力為[T]。T=mlax由該截面的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件p11得d=31π[τ]BC段上的最大扭矩在截面B處，其值為T(mén)=mlmax22由該截面的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件得d=316ml22π[τ]2．最輕重量設(shè)計(jì)軸的總體積為V=πd2(ll)+πd2l=π[(16ml)2/3(ll)+(16ml2)2/3l]4124224π[τ]2π[τ]2根據(jù)極值條件dV=0dl2得(16ml)2/3+(16m)2/35l2/3=0π[T]π[T]3225從而得125ad)所給尺寸，可使軸的體積最小，重量自然也最輕。a解：由于D40D40d7T==max2Ml(d+d)ABddlc=一Bddl截面x的極慣性矩為1π6I=2πR36=2π6[(d+cx)]3=(d+cx1π6p02A4A依據(jù)dT(x)4MdxGIGπ6dxGIGπ6(d+cx)3pA=4Mjld(dA+cx)=2M(d+cx)2|lA/BπG60c(d+cx)3πG6cA0A=()=AB2Ml11=()=ABBABAAB(a)解：此為靜不定軸，但有對(duì)稱(chēng)條件可以利用。設(shè)A與B端的支反力偶矩分別為M和M，它們的轉(zhuǎn)向與扭力偶矩M相反。由于左右AB對(duì)稱(chēng)，故知M=MABxM+M=2M=2MABA即M=M=MAB(b)解：此為靜不定軸，可解除右端約束，代之以支反力偶矩M，示如圖4-21b。B變形協(xié)調(diào)條件為0B利用疊加法，得=+BMaM(2a=+BBGIGIGIppp將式(b)代入式(a)，可得1M=MB3進(jìn)而求得M=M(轉(zhuǎn)向與M相反)A3B(c)解：此為靜不定軸，與(a)類(lèi)似，利用左右對(duì)稱(chēng)條件，容易得到M=M=maAB2M和M的轉(zhuǎn)向與m相反。AB(d)解：此為靜不定軸，可解除右端約束，代之以支反力偶矩M，從變形趨勢(shì)不難判斷，BM的轉(zhuǎn)向與m相反。B變形協(xié)調(diào)條件為0B利用疊加法，得到(x從左端向右取)BB,mB,MB0GIGI2GIGIppppd)代入式(c)，可得M=maB4進(jìn)而求得M=maM=3maAB4M的轉(zhuǎn)向亦與m相反。A圖示軸，承受扭力偶矩M1=400N?m與M2=600N?m作用。已知許用切應(yīng)力此為靜不定軸，設(shè)B端支反力偶矩為M，該軸的相當(dāng)系統(tǒng)示如圖4-22a。B利用疊加法，得=1[4000.5006001.250+M2.500]BGIBp將其代入變形協(xié)調(diào)條件=0，得BM=(6001.2504000.500)N.m2=220N.mB2.500mT16TmaxWπd3T=max=maxWπd3p由此得ACGICBGIpp2T01(d2)2最后，聯(lián)立求解平衡方程(b)與補(bǔ)充方程(d)，得d>3max=π[T]3將最大扭矩值代入T32Tmax=max共[9]GIGπd4p得Gπ人80人109人0.25π解：1.求解靜不定xABxM=0,M+M-xAB1A2B代入式(a)，得T-T-M=012ACCB利用扭轉(zhuǎn)角與扭矩間的物理關(guān)系，分別有代入式(c)，得補(bǔ)充方程為212121從強(qiáng)度方面考慮，要使軸的重量最輕，應(yīng)使AC與CB段的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的數(shù)值相等，且當(dāng)扭力偶矩M作用時(shí)，最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力均等于許用切應(yīng)力，即要求WWpp22p22TW2p22將式(e)代入上式，得21并從而得M8M1929根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件，于是得軸的直徑為d=d2>316T1=316M12π[T]9π[T]解：這是一度靜不定問(wèn)題。變形協(xié)調(diào)條件為Δ=Δ或Q=1212222122物理關(guān)系為T(mén)=Fa22Tl1GI將式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得2Tl2＝22GIF=2d4+d4)12=2===2==p12p121此為靜不定問(wèn)題。靜力學(xué)關(guān)系和變形協(xié)調(diào)條件分別為T(mén)+T=M1212物理關(guān)系為=11，1GI1p將式(c)代入式(b)，并注意到Tl2GI得=0.8421，I=πD4(1a4)，p232I=p32T=1p12T=.T=1p12T=.T=T=0.1676T(d)1GIl2D4(1a4)323764(10.84214)2222p12將方程(a)與(d)聯(lián)解，得21T=T1=160.144M[T]1maxWπd31p由此得扭力偶據(jù)的許用值為3.由套管的強(qiáng)度條件定M的許用值T=T2=160.856M[T]2maxWπD3(1a4)2p2由此得扭力偶據(jù)的許用值為結(jié)論：扭力偶矩的許用值為力偶矩M=100Nm·作用。試校核其強(qiáng)度。設(shè)鋼與銅的許用切應(yīng)力分別為[Ts]=80MPa與ss=cII如圖b所示，在鋼軸與剛性平板交接處(即橫截面B)，假想地將組合軸切開(kāi)，并設(shè)鋼軸T=T兩個(gè)未知扭力矩，一個(gè)平衡方程，故為一度靜不定問(wèn)題。B軸與銅管的角位移相同，即=sc=TlssGI=cc=c(MT)lTl=cc=ccGI2GI22GIcpccpccpc將上述關(guān)系式代入式(b)，并注意到Gs/Gc=2，得補(bǔ)充方程為T(mén)(M2T)pspc聯(lián)立求解平衡方程(a)與補(bǔ)充方程(c)，于是得pcpsT=T=IpcpsscI+2II=π(0.020m)4=1.571108m4ps32將相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(d)，得s,maxWπ(0.020m)3s的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。此為靜不定問(wèn)題。在內(nèi)管兩端施加M0后，產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角為Ml0GIpi去掉M后，有靜力學(xué)關(guān)系0ie幾何關(guān)系為ie0ie0物理關(guān)系為iGIpieGI將式(d)和式(a)代入式(c)，得i+e=0Ti+e=0GIGIGIpipepi或?qū)懗蒚MTe=0iIIpepiIT=pe(MT)=1.395(MT)eI0i0ipi聯(lián)立求解方程(e)與(b)，得2.計(jì)算最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力內(nèi)、外管橫截面上的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分別為m圖示二軸，用突緣與螺栓相連接，各螺栓的材料、直徑相同，并均勻地排列在由M=0，6F(D)=Mxs2得MF=s3D2.由螺栓的剪切強(qiáng)度條件求dFs=4M[T]mDT63.由螺栓的擠壓強(qiáng)度條件求dbs6d3D6dbs3D6[裝]3人0.100人0.010人300人106栓則均勻排列在直徑為D2的圓周上。設(shè)扭力偶矩為M，各螺栓的材料相同、直徑解：突緣剛度遠(yuǎn)大于螺栓剛度，因而可將突緣視為剛體。于是可以認(rèn)為：螺栓i剪切面上iiii利用剪切胡克定律，得螺栓i剪切面上的切應(yīng)力為ii而剪力則為,Sii,最后，根據(jù)平衡方程得2M8M2M8M1212于是得外圈與內(nèi)圈螺栓剪切面上得切應(yīng)力分別為4MDT=1DD124MDT=22πd2(3D2+2D2)12圖a所示托架，承受鉛垂載荷F=9kN作用。鉚釘材料均相同，許用切應(yīng)力CF的切應(yīng)力相等，其值均為4FlrIp1423I=πd2(2r2+2r2)=π(10103m)2(602+202)(103m)2=6.28107m4p4122代入式(a)，得PaPa應(yīng)力為2T=maxT=maxmin解：截面中心線所圍面積為Ω=π(a6162)(b62)2244于是得最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為一長(zhǎng)度為l的薄壁管，兩端承受矩為M的扭力偶作用。薄壁管的橫截面如圖所示，平均半徑為R0，上、下半部由兩種不同材料制成，切變模量分別為G1與G2，厚度分別為61與62，且61<62，試計(jì)算管內(nèi)的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，以及管端兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角。解：1.扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計(jì)算閉口薄壁管扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式為Ω=πR206min1所以，最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為ε1002GT=maxR62.扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算dV=dV=ε12G1ε11由此得整個(gè)上半圓管的應(yīng)變能為101同理得整個(gè)下半圓管的應(yīng)變能為M2lV=Vε28πGR36202GR8πGR36101202Ql)|圖示三種截面形狀的閉口薄壁桿，若截面中心線的長(zhǎng)度、壁厚、桿長(zhǎng)、材料以及所受扭矩均相同，試計(jì)算最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力之比和扭轉(zhuǎn)角之比。解：由于三者中心線的長(zhǎng)度相同，故有6d4據(jù)此可求得長(zhǎng)方形、正方形及圓形薄壁截面的Ω，其值依次為Ω=2b2=Ω=a2=164TT=max2Ω6min可得三種截面薄壁桿的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力之比為maxmax圓max依據(jù)4GΩ264GΩ26可得三種截面薄壁桿的扭轉(zhuǎn)角之比為矩方圓結(jié)果表明：在題設(shè)條件下，圓形截面薄壁桿的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度及扭轉(zhuǎn)剛度均最佳，正方形截面薄壁桿的次之，長(zhǎng)方形截面薄壁桿的最差。一般說(shuō)來(lái)，在制造閉口薄壁桿時(shí)，應(yīng)盡可能加大其中心線所圍的面積Ω，這樣對(duì)強(qiáng)度和剛度均有利。圖示閉口薄壁桿，承受扭力偶矩M作用，試計(jì)算扭力偶矩的許用值。已知許桿件母線開(kāi)一槽，則許用扭力偶矩將減少至何值。T=T[T]max2Ω6min得4GΩ26得3其中用到2.計(jì)算開(kāi)口薄壁桿扭力偶矩的許用值iii=1得maxii得ii33開(kāi)金屬絲內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)變、最大彎曲正應(yīng)力與彎矩。解：金屬絲的曲率半徑為ρmin所以，金屬絲的最大彎曲正應(yīng)變?yōu)棣裮inyd2de=max==maxp2D+dD+d最大彎曲正應(yīng)力為=Ee=maxmaxD+d而彎矩則為πd3EdEπd4M=Wzmax=32D+d=32(D+d)解：由題圖可見(jiàn)，膠帶中性層的最小曲率半徑為依據(jù)σ=ρ可得膠帶內(nèi)的最大彎曲拉應(yīng)力和最大彎曲壓應(yīng)力分別為σ=1t,maxR1σ=2c,maxR1zza3a22Ibhbhh|2=bh3=1a(|3a)|3=3a4z,t362(3)12122(2)64z,r1212(2)4I=4I+I=43a4+3a4=53a4zz,tz,r64416maxzy16a38maxy2.W計(jì)算yyt(32)192yt(32)192a53a4=a53a4=yytyr92ImaxImax==W2W=2W=266223V=p2q2=6p32I2==2==02==03p3p22OMC4梁內(nèi)的最大彎矩則為max322.應(yīng)力計(jì)算(解法一)==Ez4EWq=Cza2a代入式(a)，得9EWM=Czmax8于是得梁的最大彎曲正應(yīng)力為=max=C==67.5MPamaxW8=max=C==67.5MPamaxW8