2012屆全國各省市高三上期數學聯(lián)考試題重組專題題型七-選考系列(教師版)LtD高考資源網（），您身邊的高考專家PAGEPAGE4高考資源網（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。2012屆全國各省市高三上學期數學聯(lián)考試題重組專題題型七選考系列（教師版）【備考要點】選考內容由各省市自行選擇內容和數量，選修系列包括幾何證明選講（選修4-1）、矩陣與變換（選修4-2）、坐標系與參數方程（選修4-4）、不等式選講（選修4-5）等幾部分內容。縱觀近幾年來的全國卷與各省市的試卷，試題在選擇題、填空題、解答題中都有可能出現，題目不難；通常與其它數學內容聯(lián)系而構成組合題，主要考查數形結合與分類討論等數學思想與方法的靈活應用能力。從各地的高考試卷看，考生在備考時，應從下列考點夯實基礎，做到以不變應萬變：（1）理解三角形和圓的知識．（2）理解直線、圓和圓錐曲線的參數方程及應用．（3）了解矩陣與變換的內容．（4）掌握絕對值不等式、數學歸納法等證明方法?！?011高考題型】幾何證明選講是高考的選考內容，主要考查相似三角形的判定與性質，射影定理，平行線分線段成比例定理；圓的切線定理，切割線定理，相交弦定理，圓周角定理以及圓內接四邊形的判線與圓交于點.已知，.則圓的面積為.【解析】14．15．【試題出處】2012年佛山市普通高中高三教學質量檢測（一）數學試題【原題】選做題（14～15題，考生只能從中選做一題；兩道題都做的，只記第14題的分。）14.（坐標系與參數方程選做題）．在極坐標系中，點到直線的距離為________．15.(幾何證明選講選做題)已知是圓的切線，切點為，，是圓的直徑，與圓交于點，，則圓的半徑的長為________．【解析】14．在相應直角坐標系中，，直線方程：，所以到的距離15.如右圖，連接AB，∵PA是⊙O的切線，∴∠PAB＝∠C，又∵∠APB＝∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴eq\f(PA,AC)＝eq\f(PB,AB)，即eq\f(PA,2R)＝eq\f(PB,AB)，∴R＝eq\f(PA·AB,2PB)＝eq\f(2×\r(22－12),2×1)＝eq\r(3).【試題出處】惠州市2012屆高三第三次調研考試數學【原題】15．（考生注意：請在下列兩題中任選一題作答，如果都做，則按所做第1題評分） （1）在極坐標系中，點P的極坐標為（，4）,,點Q是曲線C上的動點，曲線C的極坐標方程為+1=0，則P、Q兩點之間的距離的最小值為。 （2）已知PA是圓O的切線，切點為4，PA=2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點B，PB=l，則圓D的半徑R=?！窘馕觥浚?）；（2）【試題出處】湖北省武昌區(qū)2012屆高三年級元月調研測試數學（理）試題【原題】選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）14．(坐標系與參數方程選做題)直線被圓所截得的弦長為.15．(幾何證明選講選做題)如圖，從圓外一點P引圓的切線PC和割線PBA，已知PC=2PB，,則的長為．【解析】14．把直線和圓的參數方程化為普通方程得，于是弦心距弦長.15．∵∴∽∴【試題出處】廣東省揭陽市2011—2012學年度高三學業(yè)水平考試數學理試題數學試題【原題】選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）14.（幾何證明選講選做題）如圖3,中,D、E分別在邊AB、AC上,CD平分∠ACB,DE∥BC,如果AC=10，AE=4，那么BC=___________.15.（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，曲線與的交點的極坐標為.【解析】14填：15.解：∵DE∥BC,∴∠1=∠2.又∵∠1=∠3,∴∠2=∠3.∴DE=EC=AC－AE=10－4=6.∵DE∥BC,∴=.∴BC=15.15填：.解：轉化為直角坐標系下與的交點為，該點在極坐標系下表示為【試題出處】肇慶市中小學教學質量評估2011—2012學年第一學期統(tǒng)一檢測題高三數學（文科）【原題】選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）14．（幾何證明選講選做題）如右圖，是圓的直徑，直線與圓相切于點，于點，若圓的面積為，，則的長為．15．（極坐標與參數方程選做題）在極坐標系中，點的坐標為，曲線的方程為，則（為極點）所在直線被曲線所截弦的長度為．【解析】14．115．【試題出處】廣州市2012屆高三年級調研測試數學（理科）【原題】選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）14.（幾何證明選講選做題）如圖3,PAB、PCD為⊙O的兩條割線,若PA=5,AB=7,CD=11,，則BD等于15.（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，點到直線的距離等于【解析】14.填：6.解析:由割線定理得PA·PB=PC·PD,∴5×(5+7)=PC(PC+11).∴PC=4或PC=－15(舍去).又∵PA·PB=PC·PD,,∠P=∠P,∴△PAC∽△PDB.∴.故15.填：解：點的直角坐標為，直線的直角坐標方程為，所以【試題出處】廣東省肇慶市2012屆高三上學期期末考試數學（理科）試題【原題】請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑。22．（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講 如圖，E是圓O內兩弦AB和CD的交點F是AD延長線上一點，FG與圓O相切于點G，且EF=FG，求證：（1）；（2）EF//BC。23．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程 直角坐標系和極坐標系的原點與極點重合，軸正半軸與極軸重合，單位長度相同，在直角坐標系下，曲線C的參數方程為為參數）。（1）在極坐標系下，曲線C與射線和射線分別交于A，B兩點，求的面積；（2）在直角坐標系下，直線的參數方程為（為參數），求曲線C與直線的交點坐標。24．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知的解集為M。（1）求M；（2）當時，證明：【解析】（22）證明：（Ⅰ）∵FG與圓O相切于點G，∴FG2＝FD·FA，∵EF＝FG，EF2＝FD·FA，∴eq\f(EF,FD)＝eq\f(FA,EF)，∵∠EFD＝∠AFE，∴△EFD∽△AFE．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ），有∠FED＝∠FAE，∵∠FAE和∠BCD都是eq\o(BD,\s\up5(⌒))上的圓周角，∴∠FED＝∠BCD，∴EF∥BC．…10分（24）解：（Ⅰ）f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝eq\b\lc\{(\a\al(－2x，x＜－1，,2，－1≤x≤1，,2x，x＞1．))當x＜－1時，由－2x＜4，得－2＜x＜－1；當－1≤x≤1時，f(x)＝2＜4；當x＞1時，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M＝(－2，2)． …5分（Ⅱ）當a，b∈M即－2＜a，b＜2，∵4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4(a2＋2ab＋b2)－(16＋8ab＋a2b2)＝(a2－4)(4－b2)＜0，∴4(a＋b)2＜(4＋ab)2，∴2|a＋b|＜|4＋ab|．…10分【試題出處】唐山市2012屆高三上學期期末考試數學試題【原題】請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時請寫清題號。（22）（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，銳角△ABC的內心為I，過點A作直線BI的垂線，垂足為H，點E為內切圓I與邊CA的切點.（Ⅰ）求證：四點Ａ，Ｉ，Ｈ，Ｅ共圓；（Ⅱ）若∠C=，求∠IEH的度數.（23）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系xOy

中，直線的參數方程為.在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為.（Ⅰ）求圓C在直角坐標系中的方程；（Ⅱ）若圓C與直線相切，求實數a的值.(24)(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講已知函數.（Ⅰ）當a=3時，求函數的最大值；（Ⅱ）解關于x的不等式.【解析】22.：（Ⅰ）由圓I與邊AC相切于點E，得IE⊥AE;…２分結合IH⊥AH,得所以，四點A,I,H,E共圓.…５分（Ⅱ）由（Ⅰ）知四點A,I,H,E共圓，得，;…７分在中,結合IH⊥AH,得；所以.由得…………10分23.（Ⅰ）由得，…………２分結合極坐標與直角坐標的互化公式得，即…………５分（Ⅱ）由直線的參數方程化為普通方程，得，.…７分結合圓C與直線相切，得，解得.…10分24、：（Ⅰ）當a=3時，………３分所以，當x=1時，函數f(x)取得最大值2.…………５分（Ⅱ）由得，兩邊平方得：，即，…７分得，所以，①當時，不等式的解集為；②當時，不等式的解集為；③當時，不等式的解集為.………10分【試題出處】鄭州2012高三第一次質量預測（數學理）【原題】說明：請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題記分。22.（本小題滿分10）選修4-1：幾何證明與選講如圖，已知PA與圓O相切于點A，經過點O的割線PBC交圓O于點B、C，的平分線分別交AB、AC于點D、E.證明：若AC=AP,求的值23.（本小題滿分10）選修4-4：坐標系與參數方程已知點，參數，點Q在曲線C：上。求點P的軌跡方程和曲線C的直角坐標方程；求點P與點Q之間距離的最小值。24.（本小題滿分10）選修4-5：不等式選講已知，對，恒成立，求的取值范圍?！窘馕觥?2.(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講：(1)∵PA是切線，AB是弦，∴∠BAP=∠C，…2分又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,∵∠ADE=∠BAP+∠APD,∠AED=∠C+∠CPE,4分∴∠ADE=∠AED.5分(2)由(1)知∠BAP=∠C,又∵∠APC=∠BPA,∴△APC∽△BPA,∴,7分∵AC=AP,∴∠APC=∠C=∠BAP,由三角形內角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,∵BC是圓O的直徑，∴∠BAC=90°∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,∴∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°.在Rt△ABC中，=,∴=.10分23.(本小題滿分10分)選修4—4:坐標系與參數方程解(1)由得點P的軌跡方程(x-1)2+y2=1(y≥0),2分又由=，得=,∴=9.∴曲線C的直角坐標方程為x+y=9.5分(2)半圓(x-1)2+y2=1(y≥0)的圓心(1，0)到直線x+y=9的距離為4，所以｜PQ｜min=4-1.10分24.(本小題滿分10分)選修4－5:不等式選講解：∵a＞0,b＞0且a+b=1∴+=(a+b)(+)=5++≥9,故+的最小值為9，5分因為對a,b∈(0，+∞),使+≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9,7分當x≤-1時，2-x≤9,∴-7≤x≤-1,當-1＜x＜時，-3x≤9,∴-1＜x＜,當x≥時,x-2≤9，∴≤x≤11,∴-7≤x≤1110分【試題出處】黑龍江省綏化市2011-2012學年度高三年級質量檢測數學理科試題【原題】21.【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內作答，若多做，則按作答的前兩題評分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）如圖，是直角，圓Ｏ與AP相切于點T，與AQ相交于兩點B，C。求證：BT平分選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）若點A（２，２）在矩陣對應變換的作用下得到的點為B（－２，２），求矩陣M的逆矩陣選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）在極坐標系中，A為曲線上的動點，B為直線上的動點，求AB的最小值。D．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）已知都是正數，且=1，求證：【解析】A．連結，因為是切線，所以．又因為是直角，即，所以，所以．……5分又，所以，所以，即平分．……10分B．由題意知，，即，所以解得所以5分由，解得……10分另解：矩陣的行列式，所以.C．圓方程為，圓心，直線方程為，……5分圓心到直線的距離，所以．…………10分D．因為是正數，所以……5分同理，將上述不等式兩邊相乘，得，因為，所以．……10分【試題出處】江蘇省蘇北四市（徐、連、宿、淮）2012屆高三元月調研測試（數學）【原題】21．[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內.A.（選修4—1：幾何證明選講）如圖，的半徑垂直于直徑，為上一點，的延長線交于點，過點的圓的切線交的延長線于.求證：.B．（選修4—2：矩陣與變換）已知矩陣，若矩陣對應的變換把直線：變?yōu)橹本€，求直線的方程.C．（選修4—4：坐標系與參數方程）在極坐標系中，圓的方程為，以極點為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線的參數方程為（為參數），求直線被截得的弦的長度.D.（選修4—5：不等式選講）已知均為正數，求證：.【解析】A.證明：連結OE，因為PE切⊙O于點E，所以∠OEP=900，所以∠OEB+∠BEP=900，因為OB=OE，所以∠OBE=∠OEB，因為OB⊥AC于點O，所以∠OBE+∠BDO=900…5分故∠BEP=∠BDO=∠PDE，PD=PE，又因為PE切⊙O于點E，所以PE2=PA·PC故PD2=PA·PC10分B.易得……3分,在直線上任取一點，經矩陣變換為點，則，∴，即8分代入中得,∴直線的方程為………10分C.解：的方程化為，兩邊同乘以，得由,得……5分其圓心坐標為，半徑,又直線的普通方程為,∴圓心到直線的距離,∴弦長………10分D.證明:由柯西不等式得………5分則,即……10分【試題出處】南京市、鹽城市2012屆高三年級第一次模擬考試數學試題【原題】請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.本題滿分10分。22．選修4-1：幾何證明選講如圖，是⊙的直徑，是⊙的切線，與的延長線交于點，為切已知不等式（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范圍。ACEBPDO?ACEBPDO?【證明】證明：連結，，，，，．又與⊙相切于點，，∽，．為⊙的直徑，，．可解得，．又平分，，又，∽，23.(本小題滿分10分）（Ⅰ）（Ⅱ）24．（Ⅰ），①若，則，，舍去．②若，則，．③若，則，．綜上，不等式的解集為．（Ⅱ）設，則，，．評分細則：每一位5分【試題出處】河北省衡水中學2012屆高三上學期五調考試試題（數學理）在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建坐標系,已知曲線（a＞0），已知過點P（－2，－4）的直線L的參數方程為：，直線L與曲線C分別交于M，N．⑴寫出曲線C和直線L的普通方程；⑵若|PM|，|MN|，|PN|成等比數列，求a的值．【解析】選修4—1：幾何證明選講證明：⑴連接OD，可得OD∥AE………（3分）又DE是⊙O的切線．………（5分）⑵過D作于H，則有．……………（6分）設，則……………（8分）由∽可得又∽，……（10分）23．選修4—4：坐標系與參數方程⑴…………（5分）⑵直線的參數方程為（t為參數）,代入得到,則有…（8分）因為，所以解得……（10分）【試題出處】湖北省鄂州市2010—2011學年度上學期期末考試高三數學試題（理科）【原題】請考生在22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講.如圖，⊙O內切△ABC的邊于D、E、F，AB=AC，連接AD交⊙O于點H，直線HF交BC的延長線于點G.⑴證明：圓心O在直線AD上；⑵證明：點C是線段GD的中點.（本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數方程選講. 在極坐標系中,O為極點,半徑為2的圓C的圓心的極坐標為. ⑴求圓C的極坐標方程；⑵是圓上一動點，點滿足，以極點O為原點，以極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，求點Q的軌跡的直角坐標方程.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講. 已知函數⑴解不等式；⑵若不等式的解集為空集，求的取值范圍.【解析】(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明，具體涉及到三角形內心的定義，以及弦切角定理等知識.證明⑴：∵∴.又∵∴又∵△是等腰三角形，,∴是角∠的平分線.∴內切圓圓心O在直線AD上.(5分)⑵連接DF，由⑴知，DH是⊙O的直徑，∴點C是線段GD的中點.(10分)(本小題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數方程選講【命題意圖】本小題主要考查坐標系與參數方程的相關知識，具體涉及到極坐標方程的求解，以及軌跡方程等內容.解：（1）設是圓上任一點，過作于點，則在△中，，而，，，所以，即為所求的圓的極坐標方程.(5分)（2）設，由于，所以代入⑴中方程得，即∴，,∴點的軌跡的直角坐標方程為.(10分)(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講【命題意圖】本小題主要考查不等式的相關知識，具體涉及到絕對值不等式的解法及性質等內容.解：(1)根據條件當時，當時，當時，綜上，的解集為或.（5分）(2)由于可得的值域為.又不等式的解集為空集，所以.（10分）【試題出處】2012年長春市高中畢業(yè)班第一次調研測試數學試題卷【方法總結】選考題在高考試題中出現，是新課改的一大成果，包括平面幾何證明選講、矩陣與變換、參數方程與極坐標、不等式證明選講四個專題的解答題各一道，所涉及試題一般比較簡單，是大家應著力突破的部分幾何證明選講是考查同學們推理能力、邏輯思維能力的好資料，題目以證明題為主，特別是一些定理的證明和用多個定理證明一個問題的題目，我們更應注意．重點把握以下內容：1．射影定理的內容及其證明；2．圓周角與弦切角定理的內容及證明；3．圓冪定理的內容及其證明；4．圓內接四邊形的性質與判定；5．平行投影的性質與圓錐曲線的統(tǒng)一定義．矩陣與變換1．伸壓變換是指沿著特定坐標軸方向伸長或者壓縮的變換，我們不能簡單地把伸壓變換理解為把平面上的點向下壓，或者向上拉伸．2．在旋轉變換中的θ為一個實數，叫做旋轉角．當θ>0時，旋轉的方向是逆時針，當θ<0時，旋轉的方向則是順時針．我們一般是討論逆時針方向．3．投影變換不是一一映射．投影變換不僅僅依賴于投影的目標直線(點)，還依賴于投影的方向．4．矩陣的乘法對應著變換的復合，這樣簡單的變換可以復合成較為復雜的變換，反過來一些較復雜的幾何變換實際上可以分解為若干簡單的變換．(可以用二階矩陣表示的)5．矩陣的乘法與數的乘法之間有著很多本質的區(qū)別，同樣矩陣乘法的性質與數的乘法之間也有著本質的區(qū)別．6．關于特征值與特征向量的討論與矩陣變換性質、矩陣的乘積、行列式以及線性方程組的解等有密切的聯(lián)系，或說是所學知識的一個綜合使用．本部分的學習在本專題中既是重點，又是難點．大家可先從一些具體的幾何變換的不變量入手，體會特征向量是客觀存在的，并且是重要的，逐漸從直觀到抽象更好地理解特征向量的概念．1．極點的極徑為0，極角為任意角，即極點的坐標不是惟一的．極徑ρ的值也允許取負值，極角θ允許取任意角，當ρ<0時，點M(ρ，θ)位于極角θ的終邊的反向延長線上，且OM＝|ρ|，在這樣的規(guī)定下，平面上的點的坐標不是惟一的，即給定極坐標后，可以確定平面上惟一的點，但給出平面上的點，其極坐標卻不是惟一的．這有兩種情況：①如果所給的點是極點，其極徑確定，但極角可以是任意角；②如果所給點M的一個極坐標為(ρ，θ)(ρ≠0)，則(ρ，2kπ＋θ)，(－ρ，(2k＋1)π＋θ)(k∈Z)也都是點M的極坐標．這兩種情況都使點的極坐標不惟一，因此在解題的過程中要引起注意．2．在進行極坐標與直角坐標的轉化時，要求極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同，在這個前提下才能用轉化公式．同時，在曲線的極坐標方程和直角坐標方程互化時，如遇約分，兩邊平方，兩邊同乘以ρ，去分母等變形