彈性力學(xué)-04(習(xí)題答案)第一頁，共43頁。習(xí)題4-1試導(dǎo)出位移分量的坐標(biāo)變換式Suv第二頁，共43頁。習(xí)題4-2設(shè)有內(nèi)徑為a而外徑為b的圓筒受內(nèi)壓力q，試求內(nèi)半徑及外半徑的改變，并求圓筒厚度的改變。解：軸對稱問題的徑向位移公式（平面應(yīng)變）：對于圓筒軸對稱問題，有ur不隨變化，即又由位移單值條件，有常數(shù)A、B由應(yīng)力邊界條件確定。應(yīng)力分量：邊界條件：第三頁，共43頁。第四頁，共43頁。習(xí)題4-3設(shè)有剛體，具有半徑為b的圓柱形孔道，孔道內(nèi)放置一外半徑為b而內(nèi)半徑為a的圓筒，受內(nèi)壓力q，試求圓筒壁的應(yīng)力。解：剛體邊界條件：代入邊界條件，有將常數(shù)A、C代入，有第五頁，共43頁。將常數(shù)A、C代入，有剛體第六頁，共43頁。習(xí)題4-4矩形薄板受純剪，剪力集度為q，如圖所示。如果離板邊較遠(yuǎn)處有一小圓孔，試求孔邊的最大和最小正應(yīng)力。45°解：xyrxyr(a)由圖（a）給出的孔邊應(yīng)力結(jié)果：得：第七頁，共43頁。習(xí)題4-5楔形體在兩側(cè)受有均布剪應(yīng)力q，如圖所示。試求其應(yīng)力分量。xyOqq解：（1）應(yīng)力函數(shù)的確定由因次分析法，可知代入相容方程：得到：第八頁，共43頁。（2）應(yīng)力分量的確定xyOqq由對稱性，應(yīng)為的偶函數(shù)；應(yīng)為的奇函數(shù)，因而有，（3）由邊界條件確定常數(shù)邊界條件：代入，有：代入應(yīng)力分量式，有第九頁，共43頁。xyOqq代入應(yīng)力分量式，有第十頁，共43頁。習(xí)題4-6三角形懸臂梁在自由端受集中荷載P，如圖所示。試用公式（4-21）求任一鉛直截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，并與材料力學(xué)中的結(jié)果對比。xyOP解：由密切爾（J.H.Michell）解答，得由應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式：（4-21）——密切爾（J.H.Michell）解答第十一頁，共43頁。由坐標(biāo)變換式：第十二頁，共43頁。x材料力學(xué)結(jié)果：截面彎矩xyOP截面慣性矩截面正應(yīng)力——彈性力學(xué)結(jié)果兩者結(jié)果相差較大。第十三頁，共43頁。習(xí)題4-7曲梁在兩端受相反的兩個力P作用，如圖所示。試求其應(yīng)力分量。xyrabOPP解：（1）應(yīng)力函數(shù)的確定分析：任取一截面，截面彎矩為將其代入相容方程：（a）第十四頁，共43頁。上述歐拉方程的解：（b）代入應(yīng)力函數(shù)為（c）（2）應(yīng)力分量的確定（d）第十五頁，共43頁。邊界條件：代入應(yīng)力分量得：端部條件（右端）：代入剪應(yīng)力分量得：（f）聯(lián)立求解式（e）、（f），得：xyrabOPP（e）自然滿足（d）（d）第十六頁，共43頁。其中，代入應(yīng)力分量式（d），有：（f）xyrabOPP第十七頁，共43頁。習(xí)題4-8設(shè)有無限大的薄板，在板內(nèi)的小孔中受有集中力P，如圖所示。試用如下應(yīng)力函數(shù)求其應(yīng)力分量。解：（1）應(yīng)力分量提示：須要考慮位移單值條件。（2）確定常數(shù)r取一半徑為r的圓板為隔離體，其上受力如圖。由圓板的平衡，得代入應(yīng)力分量，有第十八頁，共43頁。r代入應(yīng)力分量，有恒等式（3）由位移單值條件確定常數(shù)A第十九頁，共43頁。由物理方程與幾何方程：r其中：應(yīng)力分量：積分得：代入：將ur代入積分得：第二十頁，共43頁。將uru代入r

,要使上式對任意的r、成立，有其中：L為常數(shù)。（a）（b）求解式（a），有（c）將式（b）變?yōu)椋海╠）第二十一頁，共43頁。（d）求解式（b），有（e）（f）將代入

u,有由位移單值條件，有第二十二頁，共43頁。代入應(yīng)力分量：r得到：第二十三頁，共43頁。習(xí)題4-9半平面在其一段邊界上受法向分布載荷作用q

,如圖所示。試證半平面體中直角坐標(biāo)應(yīng)力分量為：（疊加法）qxyOP證法1:aa第二十四頁，共43頁。qxyOPaaxyOaaqPxyOaaqP（疊加法）證法1:分析思路：第二十五頁，共43頁。xyOqPqxyP求解步驟：由楔形體在一面受均布壓力問題的結(jié)果：（4-25）第二十六頁，共43頁。xyOqP（由應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換）——應(yīng)力分量的直角坐標(biāo)形式第二十七頁，共43頁。xyOaaqPy→y+axyOqP第二十八頁，共43頁。xyOaaqP第二十九頁，共43頁。xyOaaq0PxyOqPy→y－a第三十頁，共43頁。xyOaaq0P第三十一頁，共43頁。q0xyOPaa第三十二頁，共43頁。（積分法）證法2:qxyOPyx利用半限平面邊界上作用法向集中力P的結(jié)果，有：由圖中的幾何關(guān)系，有：（1）將以上關(guān)系式代入式（1），有第三十三頁，共43頁。qxyOPyx（2）（1）（3）第三十四頁，共43頁。qxyOPyx（3）積分上式，有：第三十五頁，共43頁。(a)(b)PP第三十六頁，共43頁。(c)a第三十七頁，共43頁。補充題xyOMP列寫圖示問題的邊界條件第三十八頁，共43頁。xyOMP第三十九頁，共43頁。試證明：

補充題滿足極坐標(biāo)下平衡微分方程（4-1）

補充題證明極坐標(biāo)系下應(yīng)變協(xié)調(diào)方程可表示為:軸對稱情況下：

第四十頁，共43頁。補充題設(shè)彈性體受徑向和環(huán)向常體力：作用，試證明下列應(yīng)力分量可作為極坐標(biāo)下平衡微分方程（4-1）的一個特解：證明:（4－1）代入極坐標(biāo)下的平衡微分方程:顯然，有: