精品文檔-下載后可編輯等價(jià)無(wú)窮小替換-極限的計(jì)算1、等價(jià)無(wú)窮小替換-極限的計(jì)算無(wú)窮小極限的簡(jiǎn)單計(jì)算【教學(xué)目的】理解無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念；掌握無(wú)窮小的性質(zhì)與比較會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限；不同類型的未定式的不同解法。

2、【教學(xué)內(nèi)容】無(wú)窮小與無(wú)窮大；無(wú)窮小的比較；幾個(gè)常用的等價(jià)無(wú)窮小等價(jià)無(wú)窮小替換；求極限的方法。

【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)是掌握無(wú)窮小的性質(zhì)與比較用等價(jià)無(wú)窮小求極限。

難點(diǎn)是未定式的極限的求法。

3、【教學(xué)設(shè)計(jì)】首先介紹無(wú)窮小和無(wú)窮大的概念和性質(zhì)（30分鐘），在理解無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生重點(diǎn)掌握用等價(jià)無(wú)窮小求極限的方法（20分鐘）。

4、最后歸納總結(jié)求極限的常用方法和技巧（25分鐘），課堂練習(xí)（15分鐘）fX的極限、Xx(xX、X)函數(shù)f(X)的極限XXoXXoXXn時(shí)，n、n【授課內(nèi)容】一、無(wú)窮小與無(wú)窮大定義前面我們研究了X、X)函數(shù)這七種趨近方式。

5、下面我們用趨近方式，即n數(shù)列x的極限、XnX0X*表示上述七種的某一種衣nXXXo定義：當(dāng)在給定的X*下，f(x)以零為極限，則稱f(x)是X水下的無(wú)窮小，即limfX0。

6、*例如,limsinx0,X0函數(shù)sinx是當(dāng)X0時(shí)的無(wú)窮小函數(shù)-是當(dāng)X時(shí)的無(wú)窮小.lim-0,Xlim(nn0,數(shù)列是當(dāng)nn時(shí)的無(wú)窮小【注意】不能把無(wú)窮小與很小的數(shù)混淆；零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)，任何非零常量都不是無(wú)窮小。

7、定義：當(dāng)在給定的X*下，|fx|無(wú)限增大，則稱fX是X*下的無(wú)窮大，即凹fX。

8、顯然，n都是無(wú)窮大量，【注意】不能把無(wú)窮大與很大的數(shù)混淆；無(wú)窮大是極限不存在的情形之一。

無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)的，在不同的極限形式下，同一個(gè)函數(shù)可能是無(wú)窮小也可能是無(wú)窮大，如0ex0,所以ex當(dāng)xlimex,x時(shí)為無(wú)窮小，當(dāng)x時(shí)為無(wú)窮大。

的關(guān)系：變化過(guò)程中，如果fx為無(wú)窮大，無(wú)窮小與無(wú)窮大在自變量的同一則丄為無(wú)窮小；反之，如果fx為無(wú)窮小，且fxfx0，則亠為無(wú)窮大。

7fx小結(jié)：無(wú)窮大量、無(wú)窮小量的概念是反映變量的變化趨勢(shì)，因此任何常量都不是無(wú)窮大量，任何非零常量都不是無(wú)窮小，談及無(wú)窮大量、無(wú)窮小量之時(shí)，首先應(yīng)給出自變量的變化趨勢(shì)。

無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系：定理1lmf(x)=A?f(x)A+(x),其中(x)是自變?X?Xox量在同一變化過(guò)程xX(或x)中的無(wú)窮小.證：(必要性)o設(shè)馭(x)=0,mf(x)=A,令(x)=f(x)-A,則有l(wèi)?xX?0f(x)A(x).(充分性)設(shè)f(x)=A+(x),其中(x)是當(dāng)x?x時(shí)的無(wú)窮小，貝Ulimf(x)=lim(A+(x)Alim(x)A.X冷X冷XX。

【意義】(將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);(給出了函數(shù)f(x)在X0附近的近似表達(dá)式f(x)?A,誤差為(X).無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)定理2在同一過(guò)程中，有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.【注意】無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.例如,n11時(shí)，丄是無(wú)窮小，但n個(gè)丄之和為1不是無(wú)窮小.nn定理3有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.如:lim(n-0，limxsin0，lim-sinx0nnx0xxx推論1在同一過(guò)程中，有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.二、無(wú)窮小的比較例如，當(dāng)x?0時(shí),x,x2,sinx,x2sin1都是無(wú)窮小，觀察各極限:x2lim0,x2比3x要快得多；x03xlim0xXSinX1,sinx與x大致相同liX2sin1limsin1不存在.不可比.mx0極限不同,反映了趨向于零的快慢”程度不同.定義:設(shè)，是自變量在同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，且(如果lim=0,就說(shuō)是比高階的無(wú)窮小，記作=o();(如果lim-C(C,就說(shuō)與是同階的無(wú)窮??；特殊地如果lim=：1,則稱與是等價(jià)的無(wú)窮小，記作如果limC(C?0,k,就說(shuō)是的k階的無(wú)窮小例1證明：當(dāng)x0時(shí),4xtan3x為x的四階無(wú)窮小證3lim4xtanxan4lim(J)34,故當(dāng)x0時(shí),4xtan3x為x的四階無(wú)窮小x04x例2x0x當(dāng)x0時(shí)，求tanxsinx關(guān)于x的階數(shù).litanxsinxmtanx1cosx、tanxsinx為x的三階無(wú)窮小常用等價(jià)無(wú)窮小:當(dāng)x時(shí),(sinxx；csin(tanxx(arctanxx(ln(1x)x；(ax-1(1cosxIna*2((1x)1(x用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式limli0,即0(),于是有o().1m例如,sinx122xo(x),cosx1xo(x).等價(jià)無(wú)窮小替換定理:且lim一存在,貝ylimlim一.證:lilim()limlimlim一limm(求limtan22xx01cosx.?(limx0cosx1(當(dāng)x0時(shí),112cosxx,tan2x故原極x2限imL2x?012x(原極限=2xlimXo122例4錯(cuò)解：求limx0當(dāng)xxtanxsinxsin32x0時(shí)，tanxx,sinX.原式xxlimx0(2x)3=0正解:當(dāng)x0時(shí),sin2x2x,tanxsinxtanx(1cosx)133,x13故原極限=恥話右x【注意】和、差形式一般不能進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小替換，只有因子乘積形式才可以進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小替換。

求mHx0tan5xcosx1sin3xtanx5xo(x),sin3x3xo(x),1cosx-x2o(x.1225x+o(x)+x+o(x)23x+o(x)三、極限的簡(jiǎn)單計(jì)算5o(x)1limxx0x2x32o(x代入法：直接將xxo的xo代入所求極限的函數(shù)中去，若fx存在，o即為其極限，例如2x53x42xlimx13x32x43-X。

不存在，我們也能知道屬于哪種未定式，便于我們選擇不同的方法。

例如，l叫心就代不進(jìn)去了，但我們看出了這是一個(gè)2型X3X30未定式，我們可以用以下的方法來(lái)求解。

分解因式，消去零因子法例如，lim2x9limx36。

x3x3x分子（分母）有理化法例如，Iim3x2+x7=lim+了=1（分子分母同除匚疋例如，xlim2x22x.x2limx2x153x252x1v2x5xx25535limXx22x44limx2x2x22x2又如，lim-x2x1x化無(wú)窮大為無(wú)窮小法23+1Zx2x-x+4+2-x214，實(shí)際上就是分子分母同時(shí)除以x2這個(gè)無(wú)窮大量ao由此不難得出axlimxbxomQXdxm1nrambnbo0,丘）再如,limn2n3nlimn2n11，（分子分母同除5n）利用無(wú)窮小量性質(zhì)、等價(jià)無(wú)窮小量替換求極限分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求極限例如，設(shè)f(x)思考題當(dāng)X?0時(shí),ysin例如，又如，limxxarctanx0,(無(wú)窮小量乘以有界量)13x2x14x1求limx22x3x1解：商的法則不能用又呵你！m(x22x0,妁V0由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得im仝丄.30,X1X2x3再如，等價(jià)無(wú)窮小量替換求極限的例子見本節(jié)例3例5。

利用兩個(gè)重要極限求極限(例題參見4例3例1x，%02求limf(x).x1,x0x0解x0是函數(shù)的分段點(diǎn)，兩個(gè)單側(cè)極限為：limf(x)lim(1x)1,limf(x)lim(x1,x0x0x0x0左右極限存在且相等，故xm)f(x)【啟發(fā)與討論】丄是無(wú)界變量嗎？是無(wú)窮大嗎？xx解：不能保證.例f(x)但lim鹽limsinx不存在且不為無(wú)窮大，故當(dāng)xy(x)2k，當(dāng)k充分大時(shí)，y(x。

)M.無(wú)界，o1(取xo2k(k0,1,2,3,)當(dāng)k充分大時(shí),Xk,但y(xj2ksin2k0M.不是無(wú)窮大.結(jié)論：無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量，但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.思考題2：若f(x)0，且limf(x)A，問(wèn)：能否保證有A0的結(jié)論？試舉例說(shuō)明.丄x0,f(x)-0xxlimf(x)lim-Axxx思考題任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可以比較嗎？解：不能例如當(dāng)x時(shí)f(x)丄,g(x)皿都是xx無(wú)窮小量xf(x)x解：原極限=lim5x=號(hào)，或原極限J陽(yáng)22時(shí)f(x)和g(x)不能比較.【課堂練習(xí)】求下列函數(shù)的極限limxcosx解:原極限=lim0匚仝lim。

limx1cosxt3sinxx2cos-d)求00(1cosx)ln(1：)【分析】“0”型，拆項(xiàng)解:(原極限=1叫5x54x43x2lim2x54x13sinx2x21xcos-x=003sinx21xcos-x2x【分析】“抓大頭法”，用于-型4/35/34x5x55=!im2T2(lim(x2xx)；【分析】分子有理化解：原極限=何宀=何占弓(2【分析】型，是不定型，四則運(yùn)算法則無(wú)法應(yīng)用，需先通分，后計(jì)算解:=lim2Xx22x1_3lim-x2x2x4x2x24(lim-x0,x29【分析】“0”型，是不定型，四則運(yùn)算法則失效，使用分母有理化消零因子解:原極限limf-x：936（712x0n2x）求lim(22nnn2n).解：n時(shí),是無(wú)窮小之和.先變形再求極限.n.12n廣丁-111(-2-212limnnnimn2imn2imn(【內(nèi)容小結(jié)】一、無(wú)窮?。ù螅┑母拍顭o(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的主要內(nèi)容:兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.幾點(diǎn)注意：（無(wú)窮?。ù螅┦亲兞?，不能與很小（大）的數(shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮小.（無(wú)界變量未