二元函數(shù)的極值第一頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日第八章第五節(jié)二元函數(shù)的極值及其求法第二頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日一元函數(shù)極值的概念第三頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日一、二元函數(shù)的極值

定義:若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有第四頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日說明:使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值,則有存在故第五頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日時(shí),具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)第六頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)第七頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;第八頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日第九頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)第十頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在(0,0)都有可能為第十一頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化第十二頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)記例如,故故有第十三頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).