微積分作業(yè)(應(yīng)用題6題)應(yīng)用題：1.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品x個(gè)單位時(shí)的成本函數(shù)為C(x)=100+0.25x2+6x(萬元)求:(1)當(dāng)x=10時(shí)的總成本、平均成本和邊際成本;(2)當(dāng)生量x為多少時(shí),平均成本最小?解：（1）因?yàn)榭偝杀?、平均成本和邊際成本分別為：C（X）=100+0.25X2+6X(X)=+0.25X+6,,(X)=0.5X+6所以C(10)=100+0.25×102+6×10=185(10)=+0.25×10+6=18.5(10)=0.5×10+6=11(2)令=－+0.25=0,得X=20(X=－20舍去)因?yàn)閄=20是其在定義域內(nèi)唯一駐點(diǎn),且該問題確實(shí)存在最小值,所以當(dāng)X=20時(shí),平均成本最小.2.某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品,其固定成本為2000元,每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元,對(duì)這種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求規(guī)律為q=1000-10p(q為需求量,p為價(jià)格).試求:(1)成本函數(shù),收入函數(shù);(2)產(chǎn)量為多少噸時(shí)利潤(rùn)最大?解：（1）成本函數(shù)C（q）=60q+2000因?yàn)閝=1000－10p,即p=100－q所以收入函數(shù)R（q）=p×q=(100－q)q=100q－q2（2）因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)L(q)=R(q)－C(q)=(100q－q2－(60q+2000)=40q－q2－2000且(q)=(40q－q2－2000)’=40－0.2q令(q)=0,即40－0.2q=0,得q=2000,它是L(q)是在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn).所以,q=200是利潤(rùn)函數(shù)L（q）的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為200噸時(shí)利潤(rùn)最大。3.設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為50000元,每生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品,成本增加100元.又已知需求函數(shù)q=2000-4p,其中p為價(jià)格,q為產(chǎn)量,這種產(chǎn)品在市場(chǎng)上是暢銷的試求:(1)價(jià)格為多少時(shí)利潤(rùn)最大?(2)最大利潤(rùn)是多少?1、解：（1）C（p）=50000+100q=50000+100(2000－4p)=250000－400pR(p)=pq=p(2000－4p)=2000p－4p2利潤(rùn)函數(shù)L（p）=R(p)－C(p)=2400P－4p2－250000,且令(p)=2400－8p=0得p=300，即該問題確實(shí)存在最大值，所以，當(dāng)價(jià)格為p=300元時(shí)，利潤(rùn)最大。（2）最大利潤(rùn)L(300)=2400×300－400×3002－250000=110000(元)4.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時(shí)的總成本函數(shù)為C(q)=20+4q+0.01q2(元),單位銷售價(jià)格為p=14-0.01q(元/件),試求:2、解：（1）C（p）=50000+100q=50000+100(2000－4p)=250000－400pR(p)=pq=p(2000－4p)=2000p－4p2利潤(rùn)函數(shù)L（p）=R(p)－C(p)=2400P－4p2－250000,且令(p)=2400－8p=0得p=300，即該問題確實(shí)存在最大值，所以，當(dāng)價(jià)格為p=300元時(shí)，利潤(rùn)最大。（2）最大利潤(rùn)L(300)=2400×300－400×3002－250000=110000(元)(1)產(chǎn)量為多少時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)到最大?(2)最大利潤(rùn)是多少?5.某廠每天生產(chǎn)某產(chǎn)品q件的成本函數(shù)為C(q)=0.5q2+36q+9800(元).為使平均成本最低,每天產(chǎn)量應(yīng)為多少?此時(shí),每件產(chǎn)品平均成本為多少?6.已知某廠生產(chǎn)q件產(chǎn)品的成本為C(q)=250+20q+(萬元).要使平均成本最少,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?答案：3、解：（1）因?yàn)榭偝杀?、平均成本和邊際成本分別為：C（X）=100+0.25X2+6X(X)=+0.25X+6,,(X)=0.5X+6所以,C(10)=100+0.25×102+6×10=185(10)=+0.25×10+6=18.5(10)=0.5×10+6=11(2)令=－+0.25=0,得X=20(X=－20舍去)因?yàn)閄=20是其在定義域內(nèi)唯一駐點(diǎn),且該問題確實(shí)存在最小值,所以當(dāng)X=20時(shí),平均成本最小.4、解：（1）成本函數(shù)C（q）=60q+2000因?yàn)閝=1000－10p,即p=100－q所以收入函數(shù)R（q）=p×q=(100－q)q=100q－q2（2）因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)L(q)=R(q)－C(q)=(100q－q2－(60q+2000)=40q－q2－2000且(q)=(40q－q2－2000)’=40－0.2q令(q)=0,即40－0.2q=0,得q=2000,它是L(q)是在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn).所以,q=200是利潤(rùn)函數(shù)L（q）的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為200噸時(shí)利潤(rùn)最大。5、解：（1）C（p）=50000+100q=50000+100(2000－4p)=250000－400pR(p)=pq=p(2000－4p)=2000p－4p2利潤(rùn)函數(shù)L（p）=R(p)－C(p)=2400P－4p2－250000,且令(p)=2400－8p=0得p=300，即該問題確實(shí)存在最大值，所以，當(dāng)價(jià)格為p=300元時(shí)，利潤(rùn)最大。（2）最大利潤(rùn)L(300)=2400×300－400×3002－250000=110000(元)4、解：（1）由已知R=qp=q(14－0.04q)=14q－0.01q2利潤(rùn)函數(shù)L=R－C=14q