錯(cuò)解剖析得真知（四）§2.3基本初等函數(shù)一、知識導(dǎo)學(xué)二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).注意解題中靈活運(yùn)用二次函數(shù)的一般式= 9=0）二次函數(shù)的頂點(diǎn)式7（x）二鞏兀-圉」“Z°）和二次函數(shù)的坐標(biāo)式/二Q（兀一兀1）（兀-兀2）3土°）解二次函數(shù)的問題（如單調(diào)性、最值、值域、二次三項(xiàng)式的恒正恒負(fù)、二次方程根的范用等）要充分利用好兩種方法：配方、圖象，很多二次函數(shù)都用數(shù)形結(jié)合的思想去解.①f（x）=ax%x+c @蘭0），當(dāng)△=以_4如〉0時(shí)圖象與X軸有兩個(gè)交點(diǎn).M（,O）N（x：,O）,MN=x-xz~\aI.X1②二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值，它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)處取得.2.指數(shù)函數(shù)尹二/⑺〉。衛(wèi)*1）和對數(shù)函數(shù)丫二1°%x（aAH1）的概念和性質(zhì).（1）有理指數(shù)幕的意義、幕的運(yùn)算法則：①…/二嚴(yán)：②（巧”二滬：③㈣"MW（這時(shí)m,n是有理數(shù)）對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)、換底公式.M1哄（M?S二1呱M+logN；log—=log’[M-log’1Na a Nfl flIo%blogfl=wlogaM-1%阪=-10gaAf 噸?=篇二（2）指數(shù)函數(shù)的圖象、單調(diào)性與特殊點(diǎn).對數(shù)函數(shù)的圖象、單調(diào)性與特殊點(diǎn).指數(shù)函數(shù)圖象永遠(yuǎn)在x軸上方，當(dāng)a〉l時(shí)，圖象越接近y軸，底數(shù)a越大：當(dāng)0〈a<l時(shí)，圖象越接近y軸，底數(shù)a越小.對數(shù)函數(shù)的符號常受到底數(shù)和真數(shù)的范圍的制約，注意對底數(shù)a的討論.當(dāng)a〉l時(shí)，圖象越接近x軸，底數(shù)a越大；當(dāng)0<a〈1時(shí)，圖象越接近x軸，底數(shù)a越小.3.幕函數(shù)y=xa的概念、圖象和性質(zhì).結(jié)合函數(shù)卅,m =y=x^y二尸，尸尸的圖象，了解它們的變化情況.①Q(mào)>0時(shí)，圖象都過（0,0）、（1,1）點(diǎn)，在區(qū)間（0,+8）上是增函數(shù)：注意Q>1與0<飛1的圖象與性質(zhì)的區(qū)別.②GV0時(shí)，圖象都過（1,1）點(diǎn)，在區(qū)間（0,+8）上是減函數(shù)；在第一象限內(nèi)，圖象向上無限接近y軸，向右無限接近X軸.③當(dāng)Q1時(shí)，指數(shù)大的圖象在上方.二、疑難知識導(dǎo)析.二次函數(shù)在區(qū)間上最值的求解要注意利用二次函數(shù)在該區(qū)間上的圖象?二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置通常有三種情況：（1）左義域區(qū)間在對稱軸的右側(cè)；（2）泄義域區(qū)間在對稱軸的左側(cè)：（3）對稱軸的位置在定義域區(qū)間內(nèi).幕的運(yùn)算性質(zhì)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用，要注意公式正確使用.會用語言準(zhǔn)確敘述這些運(yùn)算性質(zhì)防止出現(xiàn)下列錯(cuò)誤：（1）式子（2）b乩（握+嗎二 + - =logQM.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解題，一定要注意底數(shù)的取值..函數(shù)丫二%｝的研究方法一般是先研憑煙的性質(zhì)，再由么的情況討論y*"的性質(zhì)..對數(shù)函數(shù)》二卜％%@AH1）與指數(shù)函數(shù)A=/S>0衛(wèi)*1）互為反函數(shù)，會將指數(shù)式與對數(shù)式相互轉(zhuǎn)化..幕函數(shù)1二於的性質(zhì)，要注意心的取值變化對函數(shù)性質(zhì)的影響.童 吩餐二5Of=奇時(shí)，幕函數(shù)是奇函數(shù): （2）當(dāng)俞時(shí)，幕函數(shù)是偶函數(shù)：（3）當(dāng)偶（1）當(dāng)時(shí)，左義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，落函數(shù)為非奇非偶函數(shù).三. 經(jīng)典例題導(dǎo)講［例1］已知1°島瓦9二°」出〃求log3645錯(cuò)v18c=5,Alog185=ilog364T=logis45log5十log9b+aW&836log拐4+log189log184+C錯(cuò)因：因?qū)π再|(zhì)不熟而導(dǎo)致題目沒解完.正解：???1才弓1呱"?

b不a 心十伉b不a 心十伉b-ialogJ6logl4+log1$9［例2］分析方程/W=7+，=0(?>0)的兩個(gè)根都大于1的充要條件.錯(cuò)解：由于方程加二處+bx+c=0(a>0)對應(yīng)的二次函數(shù)為/⑴二/十力+巴的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于1即可.TOC\o"1-5"\h\z?、?gt;0 “1)>0"必1 h1—->1— >1故需滿足I2a,所以充要條件是I2匕錯(cuò)因：上述解法中，只考慮到二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)要大于1,卻忽視了最基本的的前題條件，應(yīng)讓二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)才行，即滿足△$(),故上述解法得到的不是充要條件，而是必要不充分條件.-->1正解：充要條件是小二八,［例3］求函數(shù)，=36y-12-6y—5的單調(diào)區(qū)間.錯(cuò)解：令&一,則八=36y-12:5「_i2.f-5???當(dāng)t>6,即x21時(shí)，y為關(guān)于t的增函數(shù)，當(dāng)tW6,即xWl時(shí)，y為關(guān)于t的減函數(shù)???函數(shù)y=36x-12-6x-5的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,6］,單調(diào)遞增區(qū)間為［6,柯)錯(cuò)因：本題為復(fù)合函數(shù)，該解法未考慮中間變量的取值范弗I.正解：令獷只，貝i\t=e為增函數(shù)，八=36y-12.6y-52_,_(2-6)2-41=z12r5=???當(dāng)t26,即xMl時(shí)，y為關(guān)于t的增函數(shù)，當(dāng)tW6,即xWl時(shí)，y為關(guān)于t的減函數(shù)...函數(shù)尹二36y-12-6y-5的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,1］,單調(diào)遞增區(qū)間為［1,丹》［例4］已知》二1°肌(2-處)在〔0,1］上是X的減函數(shù)，則么的取值范用是錯(cuò)解：T”二［殆是由丫二1。呂。殳，3=2—ax復(fù)合而成，又住>0：衛(wèi)二2-際在［。，1］上是兀的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知^=I應(yīng)為增函數(shù)，?..么>1錯(cuò)因：錯(cuò)因：解題中雖然考慮了對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)復(fù)合關(guān)系，卻忽視了數(shù)立義域的限制,單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的某個(gè)子區(qū)間，即函數(shù)應(yīng)在［0,1］上有意義.正解：?.?"二是由y=\ogautu=2-ax復(fù)合而成，又么＞0:衛(wèi)二2-＞在［o,1］上是x的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知【版應(yīng)為增函數(shù)，??.么＞1又由于X在［0,1］上時(shí)口二1紹2(2?心)有意義，w=2」又是減函數(shù)，??.兀=1時(shí)，?=2」取最小值是叫曲二0即可，.?衛(wèi)V2綜上可知所求的取值范圍是1〈么V2［例5］已知函數(shù)/小二_處).當(dāng)兀丘［°，2］時(shí)/(工)恒有意義，求實(shí)數(shù)么的取值范用.是否存在這樣的實(shí)數(shù)金使得函數(shù)/(X)在區(qū)間［1,2］上為減函數(shù)，并且最大值為1,如果存在，試求出金的值；如果不存在，請說明理由.分析：函數(shù)/(X)為復(fù)合函數(shù)，且含參數(shù)，要結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)具體分析找到正確的解題思路，是否存在性問題，分析時(shí)一般先假設(shè)存在后再證明.解：(1)由假設(shè)，？—@兀＞0,對一切衣€［°，2］恒成立，3顯然，函數(shù)g(x)=在［o,2］上為減函數(shù)，從而g(2)=3-2a＞0得到a＜23???《的取值范圍是(0,1)u(1,2) (2)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)么，由題設(shè)知7⑴T,即，(1)"乩(3弋)=1當(dāng)A=2時(shí)，7(力沒有意義，故這樣的實(shí)數(shù)不存在.點(diǎn)評：本題為探索性問題，應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化，存在性問題一般的處理方法是先假設(shè)存在，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理和等價(jià)轉(zhuǎn)化，若推出矛盾，說明假設(shè)不成立.即不存在，反之沒有矛盾，則問題解決.1+2*切a［例6］已知函數(shù)苴中么為常數(shù)，若當(dāng)口一8,1］時(shí)，f（x）有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范幣?分析：參數(shù)深含在一個(gè)復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式中，欲直接建立關(guān)于/的不等式（組）非常困難，故應(yīng)轉(zhuǎn)換思維角度，設(shè)法從原式中把么分離出來，重新認(rèn)識m與其它變元G）的依存關(guān)系，利用新的函數(shù)關(guān)系，常可使原問題“柳暗花明”.1斗2出+4才儀 1 3解：a?-。十1 >0,且/一#1二（&一二）匚2〉0,11???1+2X+4X?a〉0,a>——+—］］當(dāng)曲（一8,1］時(shí)，產(chǎn)曠與產(chǎn)，都是減函數(shù)，±4■±） —±4■±） -歹十歹，在（一8,1］上是增函數(shù)，V+3 3???a〉—4t故0的取值范用是（—4,+8）-點(diǎn)評：發(fā)掘、提煉多變元問題中變元間的相互依存、相互制約的關(guān)系、反客為主，主客換位，創(chuàng)設(shè)新的函數(shù)，并利用新函數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造性地使原問題獲解，是解題人思維品質(zhì)高的表現(xiàn)?本題主客換位后，利用新建函數(shù)產(chǎn)V”2〃的單調(diào)性轉(zhuǎn)換為函數(shù)最值巧妙地求出了實(shí)數(shù)&的取值范用?此法也叫主元法.1［例7］若3+1）'￡懺2么） '試求幺的取值范弗］.解：.??幕函數(shù)y=xB有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，3解三個(gè)不等式組：①得3〈飛2,②無解，③飛-123??/的取值范幣是（一8,-1）U（3,2）???根據(jù)Q+1和〉2Q的正、負(fù)情況，有以下關(guān)系債十1〉0 ”a+1<0a+1<03-2(2：〉0 3—2aa+1<0<3-2°〉0③

點(diǎn)評：幕函數(shù)=J'有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，在本題中相當(dāng)重要，不少學(xué)生可能在解題中誤認(rèn)為<2+1>3-2?,從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.a 1［例8］已知a>0且a］，f(log“x)二/一1(x—X)⑴求f(X):⑵判斷f(x)的奇偶性與單調(diào)性：(3) 對于f(x),當(dāng)x丘(一1,1)時(shí)，有f(1—m)+f(1—m")<0,求m的集合M.分析：先用換元法求出f(x)的表達(dá)式：再利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)判斷英奇偶性和單調(diào)性：然后利用以上結(jié)論解第三問.解：⑴令t=logax(tGR),貝I］x=/，/二」—X-川)…/O)= 一才)，(兀ER).TOC\o"1-5"\h\za-1 a-1(2)■/-r)=」一(a~L-t?x)=-/(x),_@LrGR,:./⑴為奇函數(shù)當(dāng)a> >0,a-1 a-1吩)二/-曠為噌函數(shù)，當(dāng)03《耐，類似可判斷咒乂)為噌函數(shù)綜上無論a〉威WX1,f(x)在R上都是增函數(shù).⑶?！?必-構(gòu)十加-d)vivo)是奇函數(shù)且左2止是增函數(shù)?■?山-⑷-1<1,3<1:.“ -1<1=1〈血<旋.\-m<m一1點(diǎn)評：對含字母指數(shù)的單調(diào)性，要對字母進(jìn)行討論?對本例的③不需要代入f(X)的表達(dá)式可求出m的取值范圍，請同學(xué)們細(xì)心體會.函數(shù)3函數(shù)3)1.工廠的圖象如圖，其中&、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(Ba>1b>9D0 <1,<0（05年高考福建試題）2.己知21g(x~2y)=18乂+垣丫,則$的值為(3.為(A.B.4C.1或A.B.1)方程++兀=2…的解的個(gè)數(shù)C.2D.324.函數(shù)f(x)與g(x)(2)s的圖象關(guān)于直線4.函數(shù)f(x)與g(x)A.[0,+oo