千里之行，始于足下。第2頁/共2頁精品文檔推薦屆物理比賽決賽試題第24屆全國中學(xué)生物理比賽決賽試題

2007年11月寧波

★理論部分

一、

A，

B，

C三個(gè)剛性小球靜止在光滑的水平面上．它們的質(zhì)量皆為m，用別可伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度皆為l

的柔軟輕線相連，AB的延長(zhǎng)線與BC的夾角α=π/3，如圖所示．在此平面內(nèi)取正交坐標(biāo)系Oxy，原點(diǎn)O與B球所在處重合，x軸正方向和y軸正方向如圖．另一質(zhì)量也是m的剛性小球D位于y

軸上，沿

y軸負(fù)方向以速度v0（如圖）與B球發(fā)生彈性正碰，碰撞時(shí)刻極短．設(shè)剛碰完后，連接A，B，C的連線都馬上斷了．求碰后經(jīng)多少時(shí)刻，D球距A，B，C三球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心最近．

二、

為了近距離探測(cè)太陽并讓探測(cè)器能回到地球附近，可發(fā)射一艘以橢圓軌道繞太陽運(yùn)行的攜帶探測(cè)器的宇宙飛船，要求其軌道與地球繞太陽的運(yùn)動(dòng)軌道在同一平面內(nèi)，軌道的近日點(diǎn)到太陽的距離為（AU為距離的天文單位，表示太陽和地球之間的平均距離：1AU=×1011m），并與地球具有相同的繞日運(yùn)行周期（為簡(jiǎn)單計(jì)，設(shè)地球以圓軌道繞太陽運(yùn)動(dòng)）．試咨詢從地球表面應(yīng)以多大的相關(guān)于地球的發(fā)射速度u0（發(fā)射速度是指在關(guān)閉火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，停止對(duì)飛船加速時(shí)飛船的速度）發(fā)射此飛船，才干使飛船在克服地球引力作用后仍在地球繞太陽運(yùn)行軌道附近（也算是講克服了地球引力作用的飛船仍可看做在地球軌道上）進(jìn)入符合要求的橢圓軌道繞日運(yùn)行？已知地球半徑Re=×106m，地面處的重力加速度g=9.80m/s2，別思考空氣的阻力．

三、

如圖所示，在一具豎直放置的封閉的高為H、內(nèi)壁橫截面積為S的絕熱氣缸內(nèi)，有一質(zhì)量為m的絕熱活塞A把缸內(nèi)分成上、下兩部分．活塞可在缸內(nèi)貼缸壁無摩擦地上下滑動(dòng)．缸內(nèi)頂部與A之間串聯(lián)著兩個(gè)勁度系數(shù)分不為k1和k2（k1≠k2）的輕質(zhì)彈簧．A的上方為真空；

A的下方盛有一定質(zhì)量的理想氣體．已知系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，A所在處的高度（其下表面與缸內(nèi)底部的距離）與兩彈簧總共的壓縮量相等皆為h1=H/4．現(xiàn)給電爐絲R通電流對(duì)氣

yCDv0

l

α

O

x

AlB

體加熱，使A從高度h1開始上升，停止加熱后系統(tǒng)達(dá)到平

衡時(shí)活塞的高度為h2=3H/4．求此過程中氣體汲取的熱量△Q．已知當(dāng)體積別變時(shí)，每摩爾該氣體溫度每升高1K汲取的熱量為3R/2，R為普適氣體恒量．在整個(gè)過程

中假設(shè)彈簧始終遵從胡克定律．

四、

為了減少線路的輸電損耗，電力的遠(yuǎn)距離輸送普通采納高電壓的交流電傳輸方式．在傳輸線路上建筑一系列接地的鐵塔，把若干絕緣子連成串（稱為絕緣子串，見圖甲），其上端

A掛在鐵塔的橫臂上，高壓輸電線懸掛在其下端

B．絕緣子的結(jié)構(gòu)如圖乙所示：在半徑為R1的導(dǎo)體球外緊包一層耐高壓的半球形陶瓷絕緣介質(zhì)，介質(zhì)外是一內(nèi)半徑為R2的半球形導(dǎo)體球殼．已知當(dāng)導(dǎo)體球與導(dǎo)體球殼間的電壓為U時(shí)，介質(zhì)中離球心O的距離為r處的場(chǎng)強(qiáng)為E=

R1R2R2－R1U

r2

，場(chǎng)強(qiáng)方向沿徑向．1．已

知絕緣子導(dǎo)體球殼的內(nèi)

半徑R2=4.6cm，陶瓷介質(zhì)的

擊穿強(qiáng)度Ek=135kV

/

cm．當(dāng)

介質(zhì)中任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E＞Ek

時(shí)，介

質(zhì)即被擊穿，失去絕緣性能．為使絕緣子所能承受的電壓（即加在絕緣子的導(dǎo)體球和導(dǎo)體球殼間的電壓）為最大，導(dǎo)體球的半徑R1應(yīng)取啥數(shù)值？此刻，對(duì)應(yīng)的交流電壓的有效值是多少？

2．一具鐵塔下掛有由四個(gè)絕緣子組成的絕緣子串（如圖甲），每個(gè)絕緣子的兩導(dǎo)體間有電容C0．每個(gè)絕緣子的下部導(dǎo)體（即導(dǎo)體球）關(guān)于鐵塔（即對(duì)地）有分布電容C1（導(dǎo)體球與鐵塔相當(dāng)于電容器的兩個(gè)導(dǎo)體極板，它們之間有一定的電容，這種電容稱為分布電容）；每個(gè)絕緣子的上部導(dǎo)體（即導(dǎo)體球殼）對(duì)高壓輸電線有分布電容C2．若高壓輸電線對(duì)地電

H

A

B圖甲

半球形導(dǎo)體球殼

絕緣層

導(dǎo)體球

圖乙

壓的有效值為U0．試畫出該系統(tǒng)等效電路圖．

3．若C0=70pF=7×10－11F，C1=5pF，C2=1pF，試計(jì)算該系統(tǒng)所能承受的最大電壓（指有效值）．

五、

如圖所示，G為一豎直放置的細(xì)長(zhǎng)玻璃管，以其底端O

為原點(diǎn)，建立向來角坐標(biāo)系Oxy，y軸與玻璃管的軸線重合．在x軸上與原點(diǎn)O的距離為d處固定放置一電荷量為Q

的正點(diǎn)電荷A，一具電荷量為q（q＞0）的粒子P位于管內(nèi)，可沿y軸無摩擦地運(yùn)動(dòng)．設(shè)兩電荷之間的庫侖相互作用力別

受玻璃管的妨礙．

1．求放在管內(nèi)的帶電粒子P的質(zhì)量m滿腳啥條件時(shí)，

能夠在y＞0的區(qū)域內(nèi)存在平衡位置．

2．上述平衡狀態(tài)能夠是穩(wěn)定的，也也許是別穩(wěn)定的；它依靠于粒子的質(zhì)量m．以y（m）表示質(zhì)量為m的粒子P處于平衡位置時(shí)的y坐標(biāo)．當(dāng)粒子P處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，y（m）的取值區(qū)間是_________________；當(dāng)粒子P處于別穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，y（m）的取值區(qū)間是_________________（請(qǐng)將填空答案寫在答題紙上）．

3．已知質(zhì)量為m1的粒子P處于穩(wěn)定平衡位置，其y坐標(biāo)為y1．現(xiàn)給P沿y軸一弱小擾動(dòng)．試證明往后的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期．

4．已知質(zhì)量為m2的粒子P的別穩(wěn)定平衡位置的y坐標(biāo)為y2，現(xiàn)設(shè)想把P放在坐標(biāo)y3處，然后從靜止開始釋放P．求釋放后P能到達(dá)玻璃管底部的所有也許的y3（只要列出y3滿腳的關(guān)系式，別必求解）．

六、

如圖所示，一半徑為R、折射率為ng的透明球體置于折射率n0=1的空氣中，其球心位于

圖中光軸的O處，左、右球面與光

軸的交點(diǎn)為

O1與O2．球體右半球面為一球面反射鏡，組成球形反射器．光軸上O1點(diǎn)左側(cè)有一發(fā)

光物點(diǎn)P，P

點(diǎn)到球面頂點(diǎn)O1的距離為s．由P點(diǎn)發(fā)出的光線滿腳傍軸條件，別思考在折射面上發(fā)生的反射．

1．咨詢發(fā)光物點(diǎn)P經(jīng)此反射器，最終的像點(diǎn)位于何處？

2．當(dāng)P點(diǎn)沿光軸以大小為v的速度由左向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，試咨詢最終的像點(diǎn)將以怎么樣的

y

G

P

O

d

A

x

P

O1s

速度運(yùn)動(dòng)？并講明當(dāng)球體的折射率ng取何值時(shí)像點(diǎn)亦做勻速運(yùn)動(dòng)．

七、

已知鈉原子從激發(fā)態(tài)（記做P3/2）躍遷到基態(tài)（記做S1/2）所發(fā)出的光譜線波長(zhǎng)λ0=XXX．現(xiàn)有一團(tuán)鈉原子氣，其中的鈉原子做無規(guī)的熱運(yùn)動(dòng)（鈉原子的運(yùn)動(dòng)別必思考相對(duì)論效應(yīng)），被一束沿z軸負(fù)方向傳播的波長(zhǎng)為λ=XXX的激光照耀．以θ表示鈉原子運(yùn)動(dòng)方向與z軸正方向之間的夾角（如圖所示）．咨詢?cè)?0°＜θ＜45°角度區(qū)間內(nèi)的鈉原子中速率u在啥范圍內(nèi)能產(chǎn)生共振汲取，從S1/2態(tài)激發(fā)到P3/2態(tài)？并求共振汲取前后鈉原子速度（矢量）變化的大?。阎c原子質(zhì)量為M=×10－26kg，普朗克常量h=×10－

34

J?s，真空中的光速c=×108m?s－1．

第24屆全國中學(xué)生物理競(jìng)

賽決賽參

考解答

一、

1．分析剛碰后各球速度的方向．由于D與B球發(fā)生彈性正碰，因此碰后D球的速度方向仍在y軸上；設(shè)其方向沿y軸正方向，

大小為v．由于線別可伸長(zhǎng)，因此在D，B兩球相碰的過程中，A，C兩球都將受到線給它們的沖量；又由于線是柔軟的，線對(duì)A，C兩球均無垂直于線方向的作用力，所以剛碰后，A球的速度沿AB方向，C球的速度沿CB方向．用θ表示B球的速度方向與x軸的夾角，則各球速度方

向?qū)⑷鐖D

所示．因?yàn)榇丝踢B接A，B，C三球的兩根線馬上斷了，因此此后各球?qū)⒆鰟蛩僦本€運(yùn)動(dòng)．

2．研究碰撞后各球速度的大?。詖1，v2，v3分不表示剛碰后A，B，C三球速度的大小，如圖所示．因?yàn)榕鲎策^程中動(dòng)量守恒，因此沿x方向有

mv1－mv3cosα+mv2cosθ=0；（1）

沿y方向有

－mv0=mv－mv2sinθ－mv3sinα．（2）

依照能量守恒有

12mv20=12mv21+12mv22+12mv23+12

mv2

．（3）

鈉原子

激光束

uz

θ

因?yàn)榕鲎策^程中線別可伸長(zhǎng)，B，C兩球沿BC方向的速度重量相等，A，B兩球沿AB方向的速度重量相等，有

v

2

cosθ=v1，（4）

v

2

cos[π－(α+θ)]=v3．（5）將α=π/3代入，由以上各式可解得

v1=

3

12

v

，（6）

v2=

21

6

v

，（7）

v3=

3

3

v

，（8）

v=1

4

v

．（9）

3．確定剛碰完后，A，B，C三球組成的系統(tǒng)質(zhì)心的位置和速度．由于碰撞時(shí)刻極短，剛碰后A，B，C三球組成的系統(tǒng)，其質(zhì)心位置算是碰撞前質(zhì)心的位置，以（xc，yc）表示此刻質(zhì)心的坐標(biāo)，依照質(zhì)心的定義，有

xc=

mlcosα－ml

3m

，（10）

yc=

mlsinα

3m

．（11）

代入數(shù)據(jù)，得

xc=－

1

6

l，（12）

yc=

3

6

l．（13）

依照質(zhì)心速度的定義，可求得碰后質(zhì)心速度vc的重量為

vcx=

mv

1

+mv2cosθ－mv3cosα

3m

，（14）

vcy=

－mv2sinθ－mv3sinα

3m

．（15）

由（4）～（7）和（14），（15）各式及α值可得

vcx=0，（16）vcy=－512

v0．（17）

4．討論碰后A，B，C三球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心和D球的運(yùn)動(dòng)．剛碰后A，B，C三球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心將從坐標(biāo)（xc=－l/6，yc=3l/6）處動(dòng)身，沿y軸負(fù)方向以大小為5v0/12的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)；而D球則從坐標(biāo)原點(diǎn)O動(dòng)身，沿y軸正方向以大小為v0/4的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)．A，B，C三球組成系統(tǒng)的質(zhì)心與D球是平行反向運(yùn)動(dòng)，只要D球與C球別發(fā)生碰撞，則vC，vD別變，質(zhì)心與D球之間的距離逐漸減少．到y(tǒng)坐標(biāo)相同處時(shí)，它們相距最近．用t表示所求的時(shí)刻，則有

vt=yc+vcyt（18）

將vcy，v，yc的值代入，得

t=

3l4v0

．（19）

此刻，D球與A，B，C三球組成系統(tǒng)的質(zhì)心兩者相距l(xiāng)/6．在求出（19）式的過程中，假設(shè)了在t=3l/4v0時(shí)刻內(nèi)C球未與D球發(fā)生碰撞．下面講明此假設(shè)是正確的；因?yàn)関3=3v0/3，它在x方向重量的大小為3v0/6．通過t時(shí)刻，它沿x軸負(fù)方向通過的距離為l/8．而C球的起始位置的x坐標(biāo)為l/2．經(jīng)t時(shí)刻后，C球尚未到達(dá)

y軸，不可能與D球相碰．

二、

從地球表面發(fā)射宇宙飛船時(shí)，必須給飛船以腳夠大的動(dòng)能，使它在克服地球引力作用后，仍具有合適

的速度進(jìn)入繞太陽運(yùn)行的橢圓軌道．此刻，飛船離地球已腳夠遠(yuǎn)，但到太陽的距離可視為別變，仍為日地距離．飛船在地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道上進(jìn)入它的橢圓軌道，用E表示兩軌道的交點(diǎn)，如圖1所示．圖中

半徑為rse的圓A是地球繞太陽運(yùn)行的軌道，太陽S

位于圓心．設(shè)橢圓B是飛船繞日運(yùn)行的軌道，P為橢

圓軌道的近日點(diǎn)．

由于飛船繞日運(yùn)行的周期與地球繞日運(yùn)行的周期相等，依照開普勒第三定律，橢圓的半長(zhǎng)軸a應(yīng)與日地距離rse相等，即有

A

rse

P

ve

B

圖1

a=r

se

（1）

依照橢圓的性質(zhì)，軌道上任一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為2a，由此能夠斷定，兩軌道的交點(diǎn)E必為橢圓短軸的一具頂點(diǎn)，E與橢圓長(zhǎng)軸和短軸的交點(diǎn)Q（即橢圓的中心）的連線垂直于橢圓的長(zhǎng)軸．由△ESQ，能夠求出半短軸

b=r2

se

－(a－SP)2．（2）

由（1），（2）兩式，并將a=rse=1AU，SP=AU代入，得

b=．（3）

在飛船以橢圓軌道繞太陽運(yùn)行過程中，若以太陽為參考系，飛船的角動(dòng)量和機(jī)械能是守恒的．設(shè)飛船在E點(diǎn)的速度為v，在近日點(diǎn)的速度為vp，飛船的質(zhì)量為m，太陽的質(zhì)量為

M

s

，則有

mvasinθ=mv

p

SP，（4）

式中θ為速度v的方向與E，S兩點(diǎn)連線間的夾角：

sinθ=b

a

．（5）

由機(jī)械能守恒，得

12mv

2－G

M

s

m

a

=

1

2

mv2

p

－

GmM

s

SP

．（6）

因地球繞太陽運(yùn)行的周期T是已知的（T=365d），若地球的質(zhì)量為Me，則有

GM

s

M

e

a2

=Me(

2π

T

)2a．（7）

解（3）～（7）式，并代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得

v=29.8km/s．（8）

（8）式給出的v是飛船在E點(diǎn)相關(guān)于太陽的速度的大小，即飛船在克服地球引力作用后從E點(diǎn)進(jìn)入橢圓軌道時(shí)所必須具有的相關(guān)于太陽的速度．若在E點(diǎn)飛船相對(duì)地球的速度為u，因地球相關(guān)于太陽的公轉(zhuǎn)速度為

ve=

2πa

T

=29.8km/s，（9）

方向如圖1所示．由速度合成公式，可知

v=u+v

e

，（10）

速度合成的矢量圖如圖2所示，注意到ve與ES垂直，有

v2+v2e

－2vvecos(π2

－θ)，

u=

（11）代入數(shù)據(jù)，得

u=39.1km/

s．（12）

u是飛船在E點(diǎn)相關(guān)于地球的速度，但別是所要求的發(fā)射速度u0．為了求得u0，能夠從

與地心固定連接在一起的參考系來考察

飛船的運(yùn)動(dòng)．因飛船相關(guān)于地球的發(fā)射速度為u0時(shí)，飛船離地心的距離等于地球半徑Re．當(dāng)飛船相關(guān)于地球的速度為u時(shí)，地球引力作用能夠忽略．由能量守恒，有

12mu20－GMemRe=12

mu2

．（13）地面處的重力加速度為

g=GMe

R2e

，（14）

解（13），（14）兩式，得

u0=u2+2gRe．（15）

由（15）式及有關(guān)數(shù)據(jù)，得

u0=40.7km/s．（16）

假如飛船在E點(diǎn)處以與圖示相反的方向進(jìn)入橢圓軌道，則（11）式要做相應(yīng)的改變．此刻，它應(yīng)為

u=

v2

+v

2

e

－2vvecos(

π2

+θ)，（17）

相應(yīng)計(jì)算，可得另一解

u=45.0km/s，u0=46.4km/s．（18）

假如飛船進(jìn)入橢圓軌道的地方改在E點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)處（即地球繞日軌道與飛船繞日軌道的另一具交點(diǎn)上），則計(jì)算過程相同，結(jié)果別變．

三、

兩個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí)，作為一具彈簧來看，其勁度系數(shù)

圖2

k=

k

1

k

2

k

1

+k2

．（1）

設(shè)活塞A下面有νmol氣體．當(dāng)A的高度為h1時(shí)，氣體的壓強(qiáng)為p1，溫度為T1．由理想氣體狀態(tài)方程和平衡條件，可知

p1Sh

1

=vRT1，（2）

p1S=kh

1

+mg．（3）

對(duì)氣體加熱后，當(dāng)A的高度為h2時(shí)，設(shè)氣體壓強(qiáng)為p2，溫度為T2．由理想氣體狀態(tài)方程和平衡條件，可知

p2Sh

2

=vRT2，（4）

p2S=kh

2

+mg．（5）

在A從高度h1上升到h2的過程中，氣體內(nèi)能的增量

△U=v3

2

R(T

2

－T1)．（6）

氣體對(duì)彈簧、活塞系統(tǒng)做的功W等于彈簧彈性勢(shì)能的增加和活塞重力勢(shì)能的增加，即

W=1

2

k(h2

2

－h(huán)2

1

)+mg(h2－h(huán)1)．（7）

依照熱力學(xué)第一定律，有

△Q=△U+W．（8）由以上各式及已知數(shù)據(jù)可求得

△Q=

k

1

k

2

k

1

+k2

H2+

5

4

mgH．（9）

四、

1．依照題意，當(dāng)導(dǎo)體球與導(dǎo)體球殼間的電壓為U時(shí)，在距球心r（R1＜r＜R2）處，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為

E=

R

1

R

2

R

2

－R1

U

r2

．（1）

在r=R1，即導(dǎo)體球表面處，電場(chǎng)強(qiáng)度最大．以E（R1）表示此場(chǎng)強(qiáng)，有

E(R

1)=

R

2

U

(R2－R1)R1

．（2）

因?yàn)橐勒疹}意，E（R1）的最大值別得超過Ek，R2為已知，故（2）式可寫為

Ek=

R2U

(R2－R1)R1

（3）

或

U=Ek

(R2－R1)R1

R2

．（4）

由此可知，挑選適當(dāng)?shù)腞1值，使(R2－R1)R1最大，就可使絕緣子的耐壓U為最大．別難看出，當(dāng)

R1=R2

2

（5）

時(shí)，U便是絕緣子能承受的電壓的最大值Uk．由（4），（5）兩式得

Uk=

EkR24

，（6）

代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得

Uk=155kV．（7）

當(dāng)交流電壓的峰值等于Uk時(shí)，絕緣介質(zhì)即被擊穿．這時(shí)，對(duì)應(yīng)的交流電壓的有效值

Ue=

Uk2

110kV．（8）

2．系統(tǒng)的等效電路如圖所示．3．設(shè)絕緣子串中間三點(diǎn)的電勢(shì)分不為U1，U2，U3，如圖所示．由等效電路可知，與每個(gè)中間點(diǎn)相連的四塊電容極板上的電荷量代數(shù)和都應(yīng)為零，

即有

120110100122302112002230

31230032()()()0,()()()0,()()0.

UUCUCUUCUUCUUCUCUUCUUCUCUCUUCUUC-+=??

-+=??+=?（9）四個(gè)絕緣子上的電壓之和應(yīng)等

于U0，即

U0C2

C2C2C2

C1

C1C1C1C0C0C0C0

U0C2

C2C2C2

C1

C1C1C1

C0C0C0C0