2022-2023學(xué)年遼寧省鐵嶺市昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．2022年北京冬奧會(huì)的順利召開，引起大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的關(guān)注．若A，B，C三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺(tái)滑雪這四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中任選一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)，則不同的選法共有（

）A．12種 B．16種 C．64種 D．81種【答案】C【分析】按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；【詳解】解：每個(gè)人都可在四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中選一項(xiàng)，即每人都有四種選法，可分三步完成，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有種．故選：C2．現(xiàn)有A、B、C、D、E五人，隨意并排站成一排，A、B相鄰且B在A的右邊的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出5人站成一排的基本事件種數(shù)，要求概率的事件的的基本事件數(shù)，再利用古典概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，A、B、C、D、E五人站成一排的基本事件數(shù)有個(gè)，它們等可能，A、B相鄰且B在A的右邊的事件的基本事件數(shù)有，所以A、B相鄰且B在A右邊的概率為.故選：C3．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則以下選項(xiàng)中，最大的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)分析出的單調(diào)性以及項(xiàng)的取值正負(fù)，從而確定出，由此可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以為遞減數(shù)列，且前項(xiàng)為正值，從第項(xiàng)開始為負(fù)值，所以，故選：C.4．的展開式中，共有多少項(xiàng)？（

）A．45 B．36 C．28 D．21【答案】A【分析】按照展開式項(xiàng)含有字母?jìng)€(gè)數(shù)分類，即可求出項(xiàng)數(shù).【詳解】解：當(dāng)展開式的項(xiàng)只含有1個(gè)字母時(shí)，有3項(xiàng)，當(dāng)展開式的項(xiàng)只含有2個(gè)字母時(shí)，有項(xiàng),當(dāng)展開式的項(xiàng)含有3個(gè)字母時(shí)，有項(xiàng),所以的展開式共有45項(xiàng)；故選：A.5．已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為128，則該展開式中的系數(shù)為（

）A．15 B．21 C．30 D．35【答案】B【分析】先根據(jù)已知條件求出的值，然后求出的展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)多項(xiàng)式的乘法即可求出結(jié)果.【詳解】由題意知，所以，又因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，所以展開式中的系數(shù)，故選：B.6．某校高三年級(jí)要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽（每人被選中的機(jī)會(huì)均等），則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】基本事件總數(shù)，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率．【詳解】某校高三年級(jí)要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽（每人被選中的機(jī)會(huì)均等），在男生甲被選中的情況下，基本事件總數(shù)，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)：，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是．故選：C.7．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào).用他的名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．999 B．749 C．499 D．249【答案】A【分析】構(gòu)造法判斷為等比數(shù)列，為常數(shù)列，進(jìn)而可得，再由，結(jié)合新定義有，最后利用裂項(xiàng)相消法求的前n項(xiàng)和.【詳解】由，得，又，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，5為公比的等比數(shù)列，則①，由得：，又，所以數(shù)列是常數(shù)列，則②，由①②聯(lián)立得.因?yàn)椋?，即，所以，故，所以，則.故選：A8．設(shè)為等比數(shù)列，設(shè)和分別為的前項(xiàng)和與前項(xiàng)積，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則為遞增數(shù)列B．若，則為遞增數(shù)列C．若為遞增數(shù)列，則D．若為遞增數(shù)列，則【答案】D【分析】結(jié)合等比數(shù)列、數(shù)列的單調(diào)性等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，A選項(xiàng)，若，即，，其中的符號(hào)無(wú)法判斷，所以無(wú)法判斷的單調(diào)性，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)，若，即，則可能，則，為常數(shù)列，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若為遞增數(shù)列，則，但無(wú)法判斷的單調(diào)性，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若為遞增數(shù)列，則,,所以，所以，故D選項(xiàng)正確.故選：D二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，且，則B．設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量x增加1個(gè)單位時(shí)，y平均減少5個(gè)單位C．線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱D．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，則【答案】ABD【分析】由的方差公式可判斷A；x增加1個(gè)單位時(shí)計(jì)算y值與原y值比較可判斷B；由線性相關(guān)系數(shù)|r|的性質(zhì)可判斷C；根據(jù)正態(tài)曲線關(guān)于x=1對(duì)稱即可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由，，則，所以，故正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若有一個(gè)回歸方程，變量x增加1個(gè)單位時(shí)，，故y平均減少5個(gè)單位，正確；對(duì)于選項(xiàng)C，線性相關(guān)系數(shù)|r|越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，由于正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，則，正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查方差的計(jì)算、線性回歸方程的相關(guān)計(jì)算、正態(tài)分布的概率問題，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是熟練掌握有關(guān)概念和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10．若為等比數(shù)列，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．為等比數(shù)列B．若則C．若則數(shù)列為遞減數(shù)列D．若數(shù)列的前項(xiàng)的和則【答案】ABC【分析】利用等比數(shù)列的定義可以判定A;根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可以判定B;利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出不等式組，根據(jù)不等式得性質(zhì)進(jìn)行分析，可得時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可以判定C；利用一般數(shù)列的和與項(xiàng)的關(guān)系求得通項(xiàng)公式，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的性質(zhì)求得的值，進(jìn)而判定D錯(cuò)誤.【詳解】為等比數(shù)列，∴為定值，∴為常數(shù)，∴為等比數(shù)列，故A正確；∵,∴，又∵,∴,故B正確；由得,同號(hào)，∴,∴,當(dāng)時(shí)，,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知是單調(diào)遞減的，∴是單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知是單調(diào)遞增的，為單調(diào)遞減數(shù)列，故C正確；若數(shù)列的前項(xiàng)的和則當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,由于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)于時(shí)也是成立的，故,故,故D錯(cuò)誤；故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的判定、性質(zhì)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)，等比數(shù)列的單調(diào)性，難點(diǎn)是數(shù)列單調(diào)性的分析和判定，另外一般數(shù)列的和與項(xiàng)的關(guān)系時(shí)，,當(dāng)時(shí)，一定要熟練掌握.11．一口袋中有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)紅球和2個(gè)白球，則下列結(jié)論正確的是（

）A．從中任取3球，恰有一個(gè)紅球的概率是；B．從中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有兩個(gè)白球的概率為；C．從中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了紅球，則第二次再次取到紅球的概率為；D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到白球的概率為.【答案】AC【分析】A應(yīng)用古典概型求概率即可；B、D由取到白球服從分布，應(yīng)用二項(xiàng)分布概率公式求出對(duì)應(yīng)事件的概率；C由題設(shè)第二次取球時(shí)剩余4個(gè)紅球、2個(gè)白球即可判斷.【詳解】A：任取3球恰有一個(gè)紅球的概率，正確；B：由每次取到紅白球概率分別為，則取到白球服從分布，則恰好有兩個(gè)白球的概率，錯(cuò)誤；C：第一次取到紅球，則剩余4個(gè)紅球、2個(gè)白球，故第二次取到紅球的概率為，正確；D：由B分析知：，錯(cuò)誤.故選：AC12．已知二項(xiàng)式，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若a＝1，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15B．若a＝2，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1C．若展開式中的常數(shù)項(xiàng)為60，則a＝2D．若展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則a＝2【答案】AB【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理的展開式通項(xiàng)，代入或求解驗(yàn)證，即可得到答案.【詳解】二項(xiàng)式，對(duì)于A，若a＝1，則展開式的通項(xiàng)，令，得r＝4，故所求常數(shù)項(xiàng)為，故A正確；對(duì)于B，若a＝2，令x=1，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，故B正確；對(duì)于C，由通項(xiàng)，令，得r＝4，故所求常數(shù)項(xiàng)為，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令x=1，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，由已知得，，解得a＝﹣1或a＝3，故D錯(cuò)誤.故選：AB．三、填空題13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則_______【答案】【分析】直接利用即可求的通項(xiàng)公式.【詳解】由已知條件，知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)不滿足上式，∴，故答案為：.14．編號(hào)為的5個(gè)小球，放入編號(hào)為的3個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，編號(hào)為1的小球必須放入1號(hào)盒子，那么不同的放法有___________種.（填寫數(shù)字）【答案】50【分析】從1號(hào)盒的放球個(gè)數(shù)來(lái)分類，逐類求解可得答案.【詳解】若1號(hào)盒子只放一個(gè)球，則2號(hào)盒和3號(hào)盒共放4個(gè)球，有種；若1號(hào)盒子放兩個(gè)球，則有種；若1號(hào)盒子放三個(gè)球，則有種；所以共有種.故答案為：50.15．設(shè)某批產(chǎn)品中，編號(hào)為、、的三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占、、，各廠產(chǎn)品的次品率分別為、、．現(xiàn)從中任取一件，則取到的是次品的概率為______．【答案】【分析】設(shè)表示“取到的是一件次品”，表示“取到的產(chǎn)品是由第家工廠生產(chǎn)的”，利用全概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設(shè)表示“取到的是一件次品”，表示“取到的產(chǎn)品是由第家工廠生產(chǎn)的”，則，，，，，，由全概率公式可得．故答案為：.16．已知數(shù)列中，，，若對(duì)于任意的，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________．【答案】【分析】由題意可得，運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)相消求和可得，再由不等式恒成立問題可得恒成立，轉(zhuǎn)化為最值問題可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由題意數(shù)列中，，即，則有，則有又對(duì)于任意的，，不等式恒成立，即對(duì)于任意的恒成立，即對(duì)于任意的恒成立，則，解得或.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推公式，涉及數(shù)列的求和，注意運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和和不等式恒成立問題的解法，關(guān)鍵是將變形為．四、解答題17．已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求.【答案】(1)(2)20【分析】（1）由得到，結(jié)合得到，所以數(shù)列是等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；（2）在第一問的基礎(chǔ)上得到，從而分組求和得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，所以，故所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則.（2），則，所以.18．“雙減”政策明確指出要通過閱讀等活動(dòng)，充分用好課后服務(wù)時(shí)間，為學(xué)有余力的學(xué)生拓展學(xué)習(xí)空間．同學(xué)甲和同學(xué)乙約定周一到周日每天的閱讀時(shí)間不能比前一天少．某周甲乙兩人每天的閱讀時(shí)間（單位：min），如下表所示，其中學(xué)生甲周日的閱讀時(shí)間m忘了記錄，但知道．周一周二周三周四周五周六周日序號(hào)x1234567甲的閱讀時(shí)間y/min152020253036m乙的閱讀時(shí)間z/min16222526323535(1)求同學(xué)甲的本周閱讀時(shí)間之和超過同學(xué)乙的本周閱讀時(shí)間之和的概率；(2)根據(jù)同學(xué)甲本周前5天的閱讀時(shí)間，求其閱讀時(shí)間y關(guān)于序號(hào)x的線性回歸方程，并估計(jì)同學(xué)甲周日閱讀時(shí)間m的值．參考公式：回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．【答案】(1)(2)，36【分析】（1）求出甲同學(xué)的閱讀時(shí)間之和的可能性，乙同學(xué)的閱讀時(shí)間之和，求出概率（2）將表格數(shù)據(jù)代入公式求出回歸方程，令即可求出m的值【詳解】（1）依題意．，則m的取值一共有25個(gè)不同結(jié)果，它們等可能．令，解得，因此，當(dāng)甲這一周的閱讀時(shí)間超過乙這一周的閱讀時(shí)間時(shí)，m的取值一共有15個(gè)不同結(jié)果，所以甲這一周的閱讀時(shí)間超乙這一周的閱讀時(shí)間的概率為．（2），計(jì)算得：，，∴

將代入估計(jì)：19．設(shè)數(shù)列滿足，且.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前99項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)遞推式，變形為，由等差數(shù)列定義可證明結(jié)論；利用累加法求得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)，利用并項(xiàng)求和法，可得答案.【詳解】（1）由已知得，即，是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以;（2）,當(dāng)時(shí)，20．2022年10月1日，女籃世界杯落幕，時(shí)隔28年，中國(guó)隊(duì)再次獲得亞軍，追平歷史最佳成績(jī).為考察某隊(duì)員甲對(duì)球隊(duì)的貢獻(xiàn)，教練對(duì)近兩年甲參加過的100場(chǎng)比賽進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：甲在前鋒位置出場(chǎng)20次，其中球隊(duì)獲勝14次；中鋒位置出場(chǎng)30次，其中球隊(duì)獲勝21次；后衛(wèi)位置出場(chǎng)50次，其中球隊(duì)獲勝40次.用該樣本的頻率估計(jì)概率，則：(1)甲參加比賽時(shí)，求該球隊(duì)某場(chǎng)比賽獲勝的概率；(2)現(xiàn)有小組賽制如下：小組共6支球隊(duì)，進(jìn)行單循環(huán)比賽，即任意兩支隊(duì)伍均有比賽，規(guī)定至少3場(chǎng)獲勝才可晉級(jí).教練決定每場(chǎng)比賽均派甲上場(chǎng)，已知甲所在球隊(duì)順利晉級(jí)，記其獲勝的場(chǎng)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)全概率公式，結(jié)合每個(gè)位置獲勝的概率求解即可；（2）根據(jù)題意可得可能的取值為，再根據(jù)每場(chǎng)勝利概率，結(jié)合條件概率與組合數(shù)求解分布列與數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）設(shè)“甲擔(dān)任前鋒”；“甲擔(dān)任中鋒”；“甲擔(dān)任后衛(wèi)”；“某場(chǎng)比賽中該球隊(duì)獲勝”；則，，，，，，由全概率公式可得：.所以甲參加比賽時(shí)，該球隊(duì)某場(chǎng)比賽獲勝的概率是.（2）設(shè)“5場(chǎng)中有場(chǎng)獲勝”，“甲所在球隊(duì)順利晉級(jí)”，；；，則，，同理可得，，則的分布列為：34521．2022年新型冠狀“奧密克戎”病毒肆虐，冠狀肺炎感染人群年齡大多數(shù)是50歲以上的人群．該病毒進(jìn)入人體后有潛伏期，潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時(shí)間．潛伏期越長(zhǎng)，感染到他人的可能性越高，現(xiàn)對(duì)200個(gè)病例的潛伏期（單位：天）進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)潛伏期中位數(shù)為5，平均數(shù)為7.1，方差為5.06．如果認(rèn)為超過8天的潛伏期屬于“長(zhǎng)潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計(jì)樣本，得到下面的列聯(lián)表：年齡潛伏期合計(jì)長(zhǎng)潛伏期非長(zhǎng)潛伏期50歲以上3011014050歲及50歲以下204060合計(jì)50150200(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可否認(rèn)為“長(zhǎng)潛伏期”與年齡有關(guān)？(2)假設(shè)潛伏期Z服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．現(xiàn)在很多省份對(duì)入境旅客一律要求隔離14天，請(qǐng)用概率的知識(shí)解釋其合理性；(3)以題日中的樣本頻率估計(jì)概率，設(shè)1000個(gè)病例中恰有個(gè)屬于“長(zhǎng)潛伏期”的概率是，當(dāng)k為何值時(shí)，取得最大值？附：．0.10.050.012.7063.8416.635若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，，，．【答案】(1)認(rèn)為“長(zhǎng)潛伏期”與年齡無(wú)關(guān)．(2)答案見解析(3)k＝250【分析】（1）計(jì)算出卡