2018屆內(nèi)蒙古赤峰高三最后一模數(shù)學(xué)（理）試題本試卷共23題，共150分，共4頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答案無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，集合，集合，則A．B．C．D．2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則A.B.C.D.是純虛數(shù)3．已知向量，且∥，若均為正數(shù)，則的最小值是A．24B．8C．D．4.設(shè)的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，如果，且，那么外接圓的半徑為A．1B．C.2D．45.展開式中項(xiàng)的系數(shù)為A．30B．40C.60D．1206.已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的解析式不可能是A．B．C.D．7．已知向量滿足，則的取值范圍是A．B．C．D．8．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，以O(shè)為圓心，為直徑的圓與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)，且直線的斜率為，則橢圓的離心率為A．B．C．D．9已知，，則的值為A．B．C．D．10．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，且其側(cè)（左）視圖是一個(gè)等邊三角形，則這個(gè)幾何體的體積為A．B．C．D．11.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，是此雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足，，則該雙曲線的焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為A．3 B． C． D．112.如圖，已知直線與曲線相切于兩點(diǎn)，函數(shù)，則函數(shù)有極小值，沒有極大值B.有極大值，沒有極小值C.至少有兩個(gè)極小值和一個(gè)極大值D.至少有一個(gè)極小值和兩個(gè)極大值第Ⅰ卷（非選擇題共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知滿足不等式組,則的最小值是．14．甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)在看三位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行“乒乓球冠軍爭(zhēng)奪賽”賽前，對(duì)于誰會(huì)得冠軍進(jìn)行預(yù)測(cè)，甲說：不是，是；乙說：不是，是；丙說：不是，是.比賽結(jié)果表明，他們的話有一人全對(duì)，有一人對(duì)一半錯(cuò)一半，有一人全錯(cuò)，則冠軍是.15．已知三棱錐的外接球的球心為，平面，則球心到平面的距離為.16如右圖是3世紀(jì)我國漢代的趙爽在注解周髀算經(jīng)時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，，陰影部分是由四個(gè)全等的直角三角形組成的圖形,在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),這一點(diǎn)落在小正方形內(nèi)的概率為,若直角三角形的兩條直角邊的長分別為,則.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列中，，其前n項(xiàng)的和為，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.18（本小題滿分12分）當(dāng)前，以“立德樹人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進(jìn).高中聯(lián)招對(duì)初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測(cè)試，是激發(fā)學(xué)生、家長和積極開展體育活動(dòng)，保證學(xué)生健康成長的有效措施.重慶2018年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試，三項(xiàng)考試滿分為50分，其中立定跳遠(yuǎn)15分，擲實(shí)心球15分，1分鐘跳繩20分.某在初三上期開始時(shí)要掌握全年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，得到右邊頻率分布直方圖，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表:每分鐘跳繩個(gè)數(shù)[155,165)[165,175)[175,185)[185,+)得分17181920（Ⅰ）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中,任意選取2人,求兩人得分之和不大于35分的概率；（Ⅱ）若該校初三年級(jí)所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差,已知樣本方差(各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替).根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步，假設(shè)今年正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型:（?。╊A(yù)估全年級(jí)恰好有名學(xué)生時(shí)，正式測(cè)試每分鐘跳個(gè)以上的人數(shù)；（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）（ⅱ）若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測(cè)試時(shí)每分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，19．（本小題滿分12分）如圖，已知與分別是邊長為1與2的正三角形，，四邊形為直角梯形，且，，點(diǎn)為的重心，為中點(diǎn)，平面，為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若二面角的余弦值為，試求異面直線與所成角的余弦值．20.（本小題滿分12分）如圖，是圓：內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)．線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是什么曲線？并求出其軌跡方程；（2）過點(diǎn)作直線與曲線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，求的面積的最大值．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（Ⅰ）若曲線與直線相切，求的值.（Ⅱ）若設(shè)求證：有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）請(qǐng)考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓與圓外切于原點(diǎn)，且兩圓圓心的距離，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求圓和圓的極坐標(biāo)方程；（2）過點(diǎn)的直線、與圓異于點(diǎn)的交點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，與圓異于點(diǎn)的交點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，且.求四邊形面積的最大值．23．[選修4—5：不等式選講]（本小題滿分10分）已知函數(shù).（Ⅰ）求不等式的解集（Ⅱ）若證明赤峰2015級(jí)高三最后一次模擬考試數(shù)學(xué)(理科)參考答案一、選擇題：題號(hào)123456789101112答案BDBADBBADADC二、填空題：13．-514．C15.16.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，從而構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列. （2）由（1）可知，，當(dāng)時(shí)，從而.（12分）解：（Ⅰ）兩人得分之和不大于35分，即兩人得分均為17分，或兩人中1人17分，1人18分，………………3分（Ⅱ）（個(gè)）…………5分又所以正式測(cè)試時(shí)，（ⅰ）（人）………………7分（ⅱ）由正態(tài)分布模型，全年級(jí)所有學(xué)生中任取1人，每分鐘跳繩個(gè)數(shù)195以上的概率為0.5，即的分布列為0123…12分19.（1）解：在中，連延長交于，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心所以，且為中點(diǎn)，又，所以，所以；··········2分又為中點(diǎn)，所以，又，所以，所以，，，四點(diǎn)共面，··········4分又平面，平面，所以平面．··········5分（2）由題意，平面，所以，平面平面，且交線為，因?yàn)?，所以平面，又四邊形為直角梯形，，，所以，所以平面因?yàn)?，，所以平面平面，又與分別是邊長為1與2的正三角形，故以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，··········7分因?yàn)椋?，，，設(shè)平面的法向量，則，取，··········8分平面的法向量，··········9分所以二面角的余弦值，，··········10分又，；直線與所成角的余弦值為．··········12分20.解（1）由題意得，根據(jù)橢圓的定義得點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，·········2分，，，軌跡方程為．·········4分（2）由題意知（為點(diǎn)到直線的距離），設(shè)的方程為，聯(lián)立方程得，消去得，設(shè)，，則，，·········6分則，·········8分又，·········9分，·········10分令，由，得，，，易證在遞增，，，面積的最大值．·········12分21（12分）解：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)又切點(diǎn)在函數(shù)上，即………………4分（Ⅱ）證明:不妨設(shè)，，所以在上單調(diào)遞減，又，所以必存在，使得，即.………………6分①當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，注意到，所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，且.………………9分②當(dāng)時(shí),所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，且，所以在區(qū)間上必存在零點(diǎn)，且.綜上，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，且.22．解：（Ⅰ）由圓的參數(shù)方程（為參數(shù)），得，-----------1分所以，又因?yàn)閳A與圓外切于原點(diǎn)，且兩圓圓心的距離，可得，，則圓的方程為---------3分所以由得圓的極坐標(biāo)方程為，圓的極坐標(biāo)方