概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三節(jié)隨機事件的概率一、頻率的定義與性質三、古典概型五、概率的公理化定義二、概率的統(tǒng)計定義四、幾何概型1.

定義

一、頻率的定義與性質

設A是隨機試驗E的任一事件,則2.性質實例

將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.試驗序號12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波動最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性從上述數(shù)據(jù)可得拋硬幣次數(shù)n較小時,頻率f

的隨機波動幅(1)頻率有隨機波動性,即對于同樣的n,所得的f不一定相同;度較大,但隨n

的增大,頻率f

呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當n

逐漸增大時頻率f

總是在0.5

附近擺動,且逐漸穩(wěn)定于0.5.實驗者德.摩根蒲豐K.皮爾遜K.皮爾遜204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005重要結論

頻率當n較小時波動幅度比較大,當n

逐漸增大時,頻率趨于穩(wěn)定值,這個穩(wěn)定值從本質上反映了事件在試驗中發(fā)生可能性的大小.它就是事件的概率.

醫(yī)生在檢查完病人的時候搖搖頭“你的病很重,醫(yī)生的說法對嗎?請同學們思考?在十個得這種病的人中只有一個能救活.”當病人被這個消息嚇得夠嗆時,醫(yī)生繼續(xù)說“但你是幸運的.因為你找到了我,我已經(jīng)看過九個病人了,他們都死于此病.”

二、概率的統(tǒng)計定義1.定義1.2(1)對任一事件A,有2.性質1.1

(概率統(tǒng)計定義的性質)

則定義事件A的概率為p,記作P(A)=p.著試驗次數(shù)n的增加,趨于某一常數(shù)p,在隨機試驗中,若事件A發(fā)生的頻率(1)顯然成立;證(2)由于?是必然事件,每次試驗均發(fā)生,則其頻率恒等于1,自然p=1;1

概率的統(tǒng)計定義直觀地描述了事件發(fā)生的可能性大小，反映了概率的本質內容.注2

與P(A)的區(qū)別而P(A)是一個確定的數(shù)!隨機試驗有關;是一個隨機數(shù),是變數(shù),它與3

當試驗次數(shù)n很大時，有4

概率統(tǒng)計定義的缺陷(1)需要作大量的試驗,才能觀察出(2)在數(shù)學上不夠嚴謹.粗糙,模糊,不便于理論研究.的穩(wěn)定值，因此無法根據(jù)此定義計算某事件的概率.三、古典概型若隨機試驗E具有下列兩個特征：1)有限性

樣本空間中，只有有限個樣本點：2)等可能性

則稱E所描述的概率模型為古典概型.古典概型隨機試驗1.古典概型定義稱此為古典概型的概率定義.

2.古典概型中事件概率的計算公式定義1.3構成,A為E的任意一個事件,且包含m個樣本點,則事件A發(fā)生的概率記為:

設試驗E的樣本空間由n個樣本點例1濱江賓館共有職工200人，其中女性有160

人.現(xiàn)從所有職工任選一人，選得男性的概率是解樣本點總數(shù)：n=200(人)事件A=“選得男性”A所包含的樣本點數(shù)(即男性職工數(shù))為：m=200-160=40(人)多少？1o判斷古典概型的兩個依據(jù)：①的有限性；②樣本點的等可能性.2o乘法原理、排列與組合在計算m和n時起很大

的作用.注3.常見的三種古典概型基本模型(1)摸球模型；(2)分房問題；(3)

隨機取數(shù)問題.問題1

設箱中有只白球和

β只黑球,現(xiàn)從箱中(1)無放回地摸球基本事件總數(shù)為:A所包含基本事件的個數(shù)為解設A={所取球恰好含a只白球,b只黑球}無放回地依次摸出a+b只球,求所取球恰好含a只白球,b只黑球的概率(a

,b

β)?例2摸球模型同類型的問題還有：4)產(chǎn)品檢驗問題；6)撲克牌花色問題；5)鞋子配對問題；7)英文單詞、書、報及電話號碼等排列問題.1)中彩問題；2)抽簽問題；3)分組問題；(2)有放回地摸球問題2

設袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放解第1次摸球10種第2次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球基本事件總數(shù)為的概率.回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球第3次摸球10種基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個數(shù)為同類型的問題還有：2)骰子問題;1)電話號碼問題；3)英文單詞、書、報等排列問題.1o先求樣本空間所含的樣本點總數(shù).有n個人，每個人都以同樣的概率1/N被分配在N(n≤N)間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：(1)某指定n間房中各有一人；(2)恰有n間房，其中各有一人；(3)某指定房中恰有m(m

≤n)人.解例3分房模型把n個人隨機地分到N個房間中去,每一種分法就對應著一個樣本點(基本事件)，由于每個人都可以住進N間房中的任一分析間，所以每一個人有N種分法,n個人共有N×N×···×N=Nn

種分法,即樣本點總數(shù)：2o(1)設A=“某指定n間房中各有一人”則A所含樣本點數(shù)：(2)設B=“恰有n間房，其中各有一人”.分析這n間房可以從N個房間中任意選取,共有各有一人的分法有n!種,所以事件B所含的對于事件B，由于未指定哪n個房間,所以樣本點數(shù)：種分法.而對于每一選定的n間房,其中(3)設C=“某指定房中恰有m(m

≤n)人”.分析“某指定房中恰有m(m

≤n)人”,這m個人其他的n-m個人可以任意地被分到余下的N-1間所含的樣本點數(shù)：可以從n個人中任意選出，共有種選法,而房中去,共有種分法,所以事件C同類型的問題還有：1)球在杯中的分配問題；2)生日問題；3)旅客下站問題；5)性別問題4)印刷錯誤問題；(球人，杯房)(日房，N=365天)(或月房，N=12月)(站房)(印刷錯誤人，頁房)(性別房，N=2)等等.例4

隨機取數(shù)模型

從0,1,2,···,9共10個數(shù)字中任取一個.假定每(1)7個數(shù)字全不同；(2)不含4和7；(3)9恰好出現(xiàn)2次；(4)至少出現(xiàn)2次9.解樣本空間所包含的樣本點總數(shù)：107.出7個數(shù)字，試求下列各事件的概率:個數(shù)字都以1/10的概率被取中,取后還原,先后取(1)A=“7個數(shù)字全不同”.A所包含的樣本點數(shù)：(2)B=“不含4和7”.(3)C=“9恰好出現(xiàn)2次”,(4)D=“至少出現(xiàn)2次9”,(解法1)(解法2)設A是隨機試驗E的任一事件,則4.性質1.2(古典概型的概率性質)根據(jù)定義，(1),(2)顯然成立;證四、幾何概型1.定義1.4若試驗E具有下列特征：1)無限性：E的樣本空間是某幾何空間中的2)等可能性：每個樣本點的出現(xiàn)是等可能的，則稱E所描述的概率模型為幾何概型，并稱E為幾何概型隨機試驗.一個區(qū)域，其包含無窮多個樣本點，每個樣本點由區(qū)域內的點的隨機位置所確定即樣本點落在內幾何度量相同的子區(qū)域是等可能的，注幾何空間一維二維三維…幾何度量長度面積體積…2.定義1.5(幾何概率的定義)

對于隨機試驗E，以m(A)表示事件A的幾何度量，為樣本空間.若0<m()<+,則對于任一事件A，定義其概率為3.性質1.3(幾何概型的概率性質)(1)對任一事件A,有(1)顯然成立;證例5(浦豐問題)相交的概率.alMx解

設M表示針落下后，針的中心，x表示M與最近一平行線的距離，表示針與這平行線的夾角，則樣本空間：l/21777年,法國科學家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗問題.平面上畫有等距離a(a>0)的一些平行線，向平面任意投一長為l(l<a)的針，試求針與平行線針與一平行線相交設A=“針與一平行線相交”，則0xa/2A蒲豐投針試驗的應用及意義根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，當投針試驗次數(shù)n很大時，算出針與平行直線相交的次數(shù)m,則頻率值即可作為P(A)的近似值代入上式，那么歷史上一些學者的計算結果(直線距離a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次數(shù)投擲次數(shù)針長時間試驗者蒙特卡洛(MonteCarlo)方法MonteCarlo方法是計算機模擬的基礎，名字來源于世界著名的賭城——摩納哥的蒙特卡洛.基本思想是首先建立一個概率模型，使所求問題的解正好是該模型的參數(shù)或其他有關的特征量．然后通過模擬一統(tǒng)計試驗，即多次隨機抽樣試驗（確定m和n），統(tǒng)計出某事件發(fā)生的百分比．只要試驗次數(shù)很大，該百分比便近似于事件發(fā)生的概率．利用建立的概率模型，求出要估計的參數(shù)．五、概率的公理化定義1933年,前蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫(1903-1987)提出了概率論的公理化結構，給出了概率的嚴格定義，使概率論有了迅速的發(fā)展.1.定義1.7設E是隨機試驗，是它的樣本空間，對于E的每一事件A賦予一個實數(shù)，記作P(A)，若P(A)滿足下列三條公理：(1)非負性：對于每一事件A，有P(A)≥0;(2)規(guī)范性：P()=1;(3)可列可加性：則有

(i,j=1,2,

…),

則稱P(A)為事件A的概率.2.性質1.4

(概率公理化定義的性質）(1)P()=0證P()=P()+P()+P()+···,=+++···,P()=1,P()=0.(2)有限可加性:證++++···,++···)P()+P()+···(3)逆事件的概率:對于任意事件A，有證(4)證,,推論1(單調性)證由性質4，及P(A–B)≥0,知命題成立.一般地，對任意兩個事件A,B,有A=AB+(A–B)P(A)=P(AB)+P(A–B)同理證由圖可得,又由性質4得因此得(5)概率的加法公式:對于任意兩個事件A,B，有推論2一般地，推論3…一般地，注1o古典概率滿足概率的公理化定義；驗證事件構成的集合是有限集(元素總數(shù)為：2o幾何概率也滿足概率的公理化定義(證明略).解法1例6例7證97321456810解法1例8解法2內容小結1.頻率(波動)概率(穩(wěn)定).2.最簡單的隨機現(xiàn)象古典概型

古典概率幾何概型試驗結果連續(xù)無窮3.概率的主要性質再見備用題(中彩問題)從1,2,···,33共33個數(shù)字中任取一個，假定每個數(shù)字都以1/33的概率被取中，（不考慮順序）解例2-1號碼A的概率.取后不放回，先后取出7個數(shù)字求取中一組特定例2-2(講）把10本書任意地放在書架上，求其中指定的3本書放在一起的概率.解設A=“指定的3本書放在一起”，12345678例2-3抽簽問題

在編號為1,2,3,…,n的n張贈券中，采用無放分析1號贈券白球其他贈券黑球問題相當于：從裝有1個白球和(n-1)個黑球的袋中，依次無放回地取球，求第k次摸到白球的概率.概率.回的抽簽，試求在第k次(1≤k≤n)抽到1號贈券的解設A=“第k次抽到1號贈券”，則樣本空間樣本點總數(shù)：注此題不能直接用組合方法.原因：題目強調了次序：“第k次抽到1號贈券”.例2-4

分組問題

將20個球隊分成兩組(每組10隊)進行比賽，求最強的兩隊分在不同組的概率.分析強隊白球其他隊黑球問題相當于：袋中有2只白球，18只黑球，采用無放回抽取方式從中取出10個球，求恰有1個白球的概率.在N件產(chǎn)品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有例2-5

產(chǎn)品檢驗問題設有N件產(chǎn)品,其中有D件次品,今從中任取n件(1)杯子容量無限問題1

把

4個球放到

3個杯子中去,求第1、2個杯子中各有兩個球的概率,其中假設每個杯子可放任意多個球.

4個球放到3個杯子的所有放法例3-1球放入杯子問題因此第1、2個杯子中各有兩個球的概率為(2)每個杯子只能放一個球問題2

把4個球放到10個杯子中去,每個杯子只能放一個球,求第1至第4個杯子各放一個球的概率.解第1至第4個杯子各放一個球的概率為例3-2

（講）

生日問題全班共有學生30人，求下列事件的概率：(1)某指定30天，每位學生生日各占一天；(2)全班學生生日各不相同；(3)全年某天恰有二人在這一天同生日；(4)至少有兩人的生日在10月1日.解日房，N=365(天),(1)A=“某指定30天，每位學生生日各占一天”,(2)設B=“全班學生生日各不相同”,(3)設C=“全年某天恰有二人在這一天同生日”,(4)設D=“至少有兩人的生日在10月1日”,D1=“恰有一人的生日在10月1日”,D2=“無一人的生日在10月1日”,有人利用軟件包進行數(shù)值計算.例3-35個人在第一層進入11層樓的電梯,假如每個人以相同的概率走出任一層(從第2層開始),求此5個人在不同樓走出的概率.解把樓層看成是房子,則此問題是5個人進入10個房間,且每個房間可以有多個人.根據(jù)分房模型10個房間中的5個房間各有一人的概率為將

15名新生隨機地平均分配到三個班級中解15名新生平均分配到三個班級中的分法總數(shù):(1)每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有例3-4(2)3

名優(yōu)秀生分配在同一個班級的概率是多少?(1)

每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?中去，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問:因此所求概率為(2)將3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有3種,對于每一種分法,其余12名新生的分法有因此3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有因此所求概率為例4-1在電話號碼簿中任取一個號碼,求后數(shù)都是等可能的取0,1,…,9).四個數(shù)全不相同的概率(設后面四個數(shù)中的每一個解隨機試驗是觀察電話號碼的后四位數(shù)字,因此可以認為樣本空間Ω的樣本點總數(shù)104,而后四位數(shù)例4-2（講）設電話號碼由7位數(shù)字組成(第一位數(shù)字不為0),試求下列事件的概率:(3)7位數(shù)字不含0和9;(4)7位數(shù)字不含0或9;解由0,1,…,9這十個數(shù)可以形成9×106個不同的電話號碼.(1)7位數(shù)字為3501896;(2)7位數(shù)字完全相同;(5)7位數(shù)字含0不含9.于是,有設

A=“不含0”,B=“不含9”,則,例4-3（講）擲五次骰子,試求:(2)至少有兩次6點的概率.解隨機試驗的樣本空間所含的基本事件總數(shù)為65.(1)恰好有3次點數(shù)相同的概率;故(1)5次中恰好有3次是1點的基本事件數(shù)是(2)不出現(xiàn)6點的基本事件數(shù)是55,只出現(xiàn)一次6點

那末

兩人會面的充要條件為連.求甲、乙兩人能會面的概率.解甲、乙兩人相約在0到T

這段時間內,在預定地點會面.先到的人等候另一個人,經(jīng)過時間t(t<T)后離去.設每人在0到T這段時間內各時刻到達該地是等可能的,且兩人到達的時刻互不牽例5-1（講）（會面問題）故所求的概率為若以x,y

表示平面上點的坐標,則有例5-2折斷得三條線段，求“這三條線段能構成三角形”的概率.ADBCxyl解依題意，有樣本空間：ll0x+y=l