學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2020秋高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1達(dá)標(biāo)練習(xí)：3.1-3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示含解析A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下列說(shuō)法中正確的是()A．任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)單位正交基底B．不共面的三個(gè)向量就可構(gòu)成空間的單位正交基底C．單位正交基底中的基向量的模為1，且互相垂直D．不共面且模為1的三個(gè)向量可構(gòu)成空間的單位正交基底解析：因?yàn)閱挝徽换字械娜齻€(gè)向量必須是模等于1，且兩兩互相垂直．故只有C正確。答案：C2．已知點(diǎn)A在基底｛a，b，c}下的坐標(biāo)是(8，6，4），其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，則點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是(）A．(12，14，10） B．(10,12，14)C．（14,12，10) D．(4，3，2）解析：eq\o(OA,\s\up14（→））＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i）＝12i＋14j＋10k.答案:A3．在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P（1，2，3)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．(－1,2，3) B．（1,－2，－3)C．(－1，－2，3） D．（－1，2，－3)解析：在空間坐標(biāo)系中，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，其余坐標(biāo)為原來(lái)的相反數(shù)．答案：B4。如圖所示，在四面體O—ABC中,eq\o(OA,\s\up14(→）)＝a，eq\o（OB，\s\up14（→）)＝b，eq\o(OC，\s\up14（→））＝c，點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA,N為BC的中點(diǎn),則eq\o(MN，\s\up14(→）)＝（）A.eq\f（1,2）a－eq\f(2，3)b＋eq\f（1,2）cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f（1，2)cC.eq\f(1，2)a＋eq\f(1,2）b－eq\f(2,3）cD。eq\f(2，3）a＋eq\f(2，3）b－eq\f(1,2）c解析:連接ON，eq\o（MN,\s\up14(→)）＝eq\o（ON，\s\up14(→）)－eq\o（OM,\s\up14（→））＝eq\f(1，2）（eq\o（OB,\s\up14（→））＋eq\o（OC，\s\up14（→))）－eq\f（2,3）eq\o(OA，\s\up14（→))＝eq\f（1,2）（b＋c）－eq\f（2,3）a＝－eq\f（2，3)a＋eq\f(1，2)b＋eq\f（1,2）c.答案：B5．已知點(diǎn)O，A，B,C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a＝eq\o(OA，\s\up14(→))＋eq\o（OB，\s\up14（→)）＋eq\o(OC，\s\up14(→)），向量b＝eq\o（OA,\s\up14（→)）＋eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OC,\s\up14（→）),則與a,b不能構(gòu)成空間基底的向量是（）A。eq\o(OA，\s\up14（→）) B.eq\o（OB,\s\up14(→)) C.eq\o（OC,\s\up14（→)） D。eq\o（OA,\s\up14（→)）或eq\o(OB，\s\up14(→））答案：C二、填空題6．已知向量a，b，c是空間的一個(gè)單位正交基底，向量a＋b，a－b，c是空間的另一組基底，若向量p在基底｛a，b，c｝下的坐標(biāo)是(1，3,4)，則向量p在基底{a＋b，a－b,c｝下的坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案：(2,－1,4）7.如圖所示，在空間四邊形OABC中,已知E是線(xiàn)段BC的中點(diǎn),G是AE的中點(diǎn)，若eq\o（OA，\s\up14（→）)，eq\o(OB，\s\up14(→）)，eq\o（OC，\s\up14(→)）分別記為a，b，c,則eq\o（OG,\s\up14(→））＝________（用a,b，c表示）．解析：如圖所示，連接OE。eq\o（OG，\s\up14(→））＝eq\o(OE，\s\up14（→))＋eq\o（EG，\s\up14（→）)＝eq\f(1，2)（eq\o(OB,\s\up14(→））＋eq\o（OC,\s\up14(→）））＋eq\f（1,2)eq\o(EA,\s\up14（→))＝eq\f(1，2）(eq\o（OB,\s\up14(→）)＋eq\o(OC，\s\up14（→)）)－eq\f(1,4)（eq\o(AC,\s\up14(→）)＋eq\o(AB，\s\up14(→））)＝eq\f(1,2）(eq\o(OB，\s\up14(→））＋eq\o（OC,\s\up14（→)）)－eq\f(1,4)（eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o（OA，\s\up14(→))＋eq\o（OB，\s\up14（→）)－eq\o(OA，\s\up14(→)))＝eq\f（1,2)(eq\o(OB，\s\up14(→))＋eq\o（OC,\s\up14(→)））－eq\f(1，4）（eq\o(OC，\s\up14（→）)＋eq\o（OB,\s\up14(→))－2eq\o（OA，\s\up14（→))）＝eq\f(1,4)eq\o（OB，\s\up14（→）)＋eq\f(1,4)eq\o（OC,\s\up14（→)）＋eq\f(1，2）eq\o（OA,\s\up14(→))＝eq\f（1,2)a＋eq\f（1,4)b＋eq\f（1,4）c.答案：eq\f(1，2）a＋eq\f（1，4)b＋eq\f（1，4)c8．三棱錐P—ABC中，∠ABC為直角，PB⊥平面ABC,AB＝BC＝PB＝1，M為PC的中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，以｛eq\o（BA,\s\up14（→）)，eq\o（BC，\s\up14(→）），eq\o(BP，\s\up14(→））}為基底，則eq\o（MN，\s\up14(→）)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．eq\o(BA,\s\up14（→))＝(1，0,0)，eq\o(BP，\s\up14（→））＝(0，0，1），eq\o（BC,\s\up14（→))＝(0,1，0)．eq\o(MN，\s\up14（→))＝eq\o(BN,\s\up14(→))－eq\o(BM，\s\up14(→)）＝eq\f(1,2）（eq\o（BA，\s\up14（→））＋eq\o（BC,\s\up14（→))）－eq\f(1,2）（eq\o（BP，\s\up14(→））＋eq\o(BC，\s\up14(→）)）＝eq\f（1,2)eq\o(BA,\s\up14(→）)－eq\f(1,2)eq\o（BP,\s\up14（→）)，即eq\o(MN,\s\up14（→))＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)，0,－\f（1,2）))。答案：eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)，0，－\f（1,2)））三、解答題9．在空間直角坐標(biāo)系中，給定點(diǎn)M（1，－2，3）,求它分別關(guān)于坐標(biāo)平面、坐標(biāo)軸和原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)．解:M(1，－2，3）關(guān)于坐標(biāo)平面xOy，xOz，yOz對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1,－2，－3)，(1,2,3），（－1，－2，3)；M(1,－2，3)關(guān)于x軸、y軸、z軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，2，－3），（－1，－2,－3)，(－1，2,3);M(1，－2,3）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，2,－3）．10．如圖所示，四棱錐P-OABC的底面為一平行四邊形,設(shè)eq\o（OA,\s\up14（→))＝a，eq\o(OC,\s\up14（→）)＝b，eq\o（OP,\s\up14（→))＝c,E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點(diǎn)，試用向量a，b，c表示eq\o(BF,\s\up14(→）)，eq\o（BE,\s\up14(→）），eq\o（AE,\s\up14(→))，eq\o（EF,\s\up14（→)).解析:eq\o（BF,\s\up14（→)）＝eq\f(1，2）eq\o(BP，\s\up14（→）)＝eq\f（1，2）(eq\o(BO,\s\up14(→））＋eq\o(OP,\s\up14（→))）＝eq\f(1，2）(c－b－a）＝－eq\f(1,2)a－eq\f（1，2)b＋eq\f(1,2）c。eq\o(BE，\s\up14（→))＝eq\o(BC，\s\up14（→））＋eq\o（CE，\s\up14(→)）＝－a＋eq\f(1,2）eq\o（CP，\s\up14（→)）＝－a＋eq\f（1，2)（eq\o(CO,\s\up14(→)）＋eq\o（OP，\s\up14(→))）＝－a－eq\f（1，2）b＋eq\f(1，2)c.eq\o(AE,\s\up14(→）)＝eq\o(AP,\s\up14（→））＋eq\o(PE,\s\up14(→））＝eq\o(AO,\s\up14（→））＋eq\o(OP,\s\up14（→))＋eq\f(1，2)（eq\o(PO,\s\up14（→））＋eq\o(OC,\s\up14(→））)＝－a＋c＋eq\f（1,2）（－c＋b)＝－a＋eq\f(1，2)b＋eq\f（1,2)c。eq\o(EF,\s\up14(→））＝eq\f(1，2）eq\o（CB，\s\up14（→))＝eq\f（1,2)eq\o（OA,\s\up14(→）)＝eq\f（1,2）a。B級(jí)能力提升1．若向量eq\o(MA，\s\up14(→)）,eq\o（MB，\s\up14（→）），eq\o(MC,\s\up14(→）)的起點(diǎn)M和終點(diǎn)A,B，C互不重合且無(wú)三點(diǎn)共線(xiàn)，則能使向量eq\o(MA,\s\up14（→)），eq\o（MB,\s\up14（→）），eq\o（MC，\s\up14（→))成為空間一組基底的關(guān)系是（)A.eq\o(OM，\s\up14（→））＝eq\f(1,3）eq\o（OA,\s\up14（→）)＋eq\f(1,3)eq\o（OB，\s\up14（→））＋eq\f（1,3）eq\o（OC,\s\up14(→））B.eq\o（MA，\s\up14(→））＝eq\o(MB,\s\up14(→)）＋eq\o（MC,\s\up14(→））C。eq\o（OM，\s\up14(→）)＝eq\o（OA,\s\up14(→））＋eq\o(OB，\s\up14（→）)＋eq\o(OC,\s\up14（→))D.eq\o（MA,\s\up14(→））＝2eq\o（MB，\s\up14(→))－eq\o(MC,\s\up14(→))答案:C2．設(shè)a，b，c是三個(gè)不共面的向量,現(xiàn)在從①a＋b；②a－b；③a＋c；④b＋c；⑤a＋b＋c中選出使其與a，b構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則可以選擇的向量為_(kāi)_______(填序號(hào)）．解析:構(gòu)成基底只要三個(gè)向量不共面即可，這里只要含有向量c即可，故③④⑤都是可以選擇的．答案：③④⑤3．如圖所示,已知線(xiàn)段AB在平面α內(nèi)，線(xiàn)段AC⊥平面α，線(xiàn)段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24,線(xiàn)段BD與平面α所成的角為30°,求CD的長(zhǎng)．解析：由AC⊥平面α,可知AC⊥AB，如圖所示,過(guò)點(diǎn)D作DD1⊥平面α，D1為垂足,連接BD1，則∠DBD1為BD與平面α所成的角,即∠DBD1＝30°,所以∠BDD1＝60°.因?yàn)锳C⊥α，DD1⊥α，所以AC∥DD1，所以〈eq\o(CA,\s\up14(→）），eq\o(DB，\s\up14（→）)>＝60°，所以〈eq\o（CA，\s\up14（→）)，eq\o（BD，\s\up14(→）)〉＝120°。又eq\o（CD,\s\up14(→))＝eq\o(CA，\s\up14（→）)＋eq\o(AB，\s\up14（→）)＋eq\o(BD，\s\up14(→)），所以｜eq\o(CD,\s\up14（→)）｜2＝（eq\o(CA，\s\up14(→）)＋eq\o（AB,\s\up14(→）)＋eq\o(BD，\s\up14（→）)）2＝｜eq\o(CA,\s\up14（→））｜2＋|eq\o(AB，\s\up14（→)）｜2＋｜eq\o（BD,\s\up14(→)）｜2＋2eq\o（CA，\s\up14（→）)·eq\o（AB,\s\up14(→))＋2eq\o（CA,\s\up14(→)）·eq\o（BD，\s\up14(→）)＋2eq\o（AB，\s\up14(→)）·eq\o(BD，\s\up14（→))。因?yàn)锽D⊥AB,AC⊥AB，所以eq\o(BD,\s\up14（→））·eq\o(AB,\s\up14(→))＝0,eq\o(AC,\s\up14（→)）·eq\