絕對值三角不等式第一頁，共23頁。書山有路勤為徑，學海無崖苦作舟少小不學習，老來徒傷悲成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奮，努力才能成功！3/17/2023絕對值三角不等式第二頁，共23頁。（一）絕對值的定義：

對任意實數(shù)a，

復習第三頁，共23頁。問題我們已學過積商絕對值的性質(zhì)，哪位同學能回答？或.當時，有：第四頁，共23頁。（二）絕對值的幾何意義：

實數(shù)a的絕對值|a|，表示數(shù)軸上坐標為a的點A到原點的距離（圖1）。

如：|-3|或|3|在數(shù)軸上分別等于點A或點B到坐標原點的距離。|a|OAx第五頁，共23頁。

由絕對值的幾何意義可知，A、B之間的點與坐標原點的距離小于3，可表示為：

即實數(shù)x對應的點到坐標原點的距離小于3第六頁，共23頁。

同理，與原點距離大于3的點對應的實數(shù)可表示為：

如圖第七頁，共23頁。

設(shè)a,b是任意兩個實數(shù)，那么|a-b|的幾何意義是什么？x|a-b|abAB第八頁，共23頁。探究

用恰當?shù)姆椒ㄔ跀?shù)軸上把|a|，|b|，|a+b|表示出來，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有何關(guān)系？

定理1

如果a,b是實數(shù)，則|a+b|≤|a|+|b|，當且僅當ab≥0時，等號成立。絕對值三角不等式第九頁，共23頁。

如果把定理1中的實數(shù)a,b分別換為向量，能得出什么結(jié)論？你能解釋其幾何意義嗎？探究？(1)當不共線時有(2)當共線且同向時有絕對值三角不等式第十頁，共23頁。如何證明定理1?探究

你能根據(jù)定理1的研究思路,探究一下|a|，|b|，|a+b|,|a-b|之間的其它關(guān)系嗎?|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|結(jié)論:第十一頁，共23頁。注意：1

左邊可以“加強”同樣成立，即

2

這個不等式俗稱“三角不等式”——三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊3

同號時右邊取“=”，

異號時左邊取“=”推論1：

推論2：證明：在定理中以

即：

第十二頁，共23頁。定理探索當時，顯然成立，當時，要證只要證，即證而顯然成立．

從而證得.

第十三頁，共23頁。定理探索還有別的證法嗎？

由與，得.用可得什么結(jié)論？當我們把看作一個整體時，上式逆第十四頁，共23頁。定理探索證明嗎？能用已學過得的可以表示為

即即.就是含有絕對值不等式的重要定理，

第十五頁，共23頁。例題求證.例2

已知，證明：第十六頁，共23頁。例題例3

求證.證明：在時，顯然成立.當時，左邊

第十七頁，共23頁。練習②已知求證.1．①已知，求證.②.①；2．已知，求證：第十八頁，共23頁。第十