2019-2020學(xué)年廣東省汕頭市金山高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】試題分析：由題意得，，所以，故選A．【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算．2．已知一個(gè)扇形的圓心角為，半徑為3．則它的弧長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】直接利用扇形弧長(zhǎng)公式求解即可得到結(jié)果.【詳解】由扇形弧長(zhǎng)公式得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查扇形弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．若，則函數(shù)的圖象（）A．不經(jīng)過(guò)第一象限，但過(guò)點(diǎn) B．不經(jīng)過(guò)第二象限，但過(guò)點(diǎn)C．不經(jīng)過(guò)第三象限，但過(guò)點(diǎn) D．不經(jīng)過(guò)第四象限，但過(guò)點(diǎn)【答案】A【解析】根據(jù)函數(shù)，的圖象過(guò)一、四象限，過(guò)定點(diǎn)，由平移變換得出答案.【詳解】函數(shù)，的圖象過(guò)一、四象限，過(guò)定點(diǎn)函數(shù)的圖象可看成向左平移5個(gè)單位得到，則不經(jīng)過(guò)第一象限當(dāng)時(shí)，，即過(guò)點(diǎn)故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)以及函數(shù)圖象的平移的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4．對(duì)于是任意非零實(shí)數(shù)，且，又，則有（）A． B． C． D．【答案】D【解析】取特殊值排除ABC選項(xiàng)；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷D選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，，所以，故D正確故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)所給條件判斷不等式是否正確，屬于基礎(chǔ)題.5．函數(shù)，則函數(shù)的最大值是（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】證明該函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，畫出圖象，即可判斷其最大值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，則函數(shù)為奇函數(shù)設(shè)，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減由于函數(shù)為奇函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則其函數(shù)圖象如下圖所示由圖可知，函數(shù)的最大值是故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題.6．漁民出海打魚，為了保證獲得的魚新鮮，魚被打上岸后，要在最短的時(shí)間內(nèi)將其分揀、冷藏，若不及時(shí)處理，打上來(lái)的魚很快地失去新鮮度（以魚肉內(nèi)的三甲胺量的多少來(lái)確定魚的新鮮度.三甲胺是一種揮發(fā)性堿性氨，是氨的衍生物，它是由細(xì)菌分解產(chǎn)生的.三甲胺量積聚就表明魚的新鮮度下降，魚體開始變質(zhì)進(jìn)而腐?。?已知某種魚失去的新鮮度與其出海后時(shí)間（分）滿足的函數(shù)關(guān)系式為.若出海后10分鐘，這種魚失去的新鮮度為10%，出海后20分鐘，這種魚失去的新鮮度為20%，那么若不及時(shí)處理，打上來(lái)的這種魚在多長(zhǎng)時(shí)間后開始失去全部新鮮度（已知，結(jié)果取整數(shù)）（）A．33分鐘 B．40分鐘 C．43分鐘 D．50分鐘【答案】C【解析】由得出的解析式，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解方程，即可得出答案.【詳解】由題意得，解得故令，得故分鐘故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)型模型的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.7．已知，且，則函數(shù)與函數(shù)的圖像可能是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，由于為正數(shù)，且，故單調(diào)性相同，所以選.8．如果，那么的值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得出，再變形為，弦化切即可得出答案.【詳解】故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.9．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（1,2）內(nèi)是增函數(shù)的為()A．，xRB．，xR且x≠0C．,xRD．，xR【答案】B【解析】【詳解】首先判斷奇偶性：A,B為偶函數(shù)，C為奇函數(shù)，D既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),所以排除C、D，對(duì)于先減后增，排除A，故選B.【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.10．今有過(guò)點(diǎn)的函數(shù)，則函數(shù)的奇偶性是（）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】A【解析】由求出的值，利用定義證明其奇偶性即可.【詳解】，整理得，即當(dāng)；當(dāng)即對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，即函數(shù)的定義域?yàn)榧春瘮?shù)為奇函數(shù)故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用定義證明函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.11．已知函數(shù)為偶函數(shù)且在單調(diào)遞減，則的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，求出a，b的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷a的符號(hào)，然后根據(jù)不等式的解法進(jìn)行求解即可．【詳解】∵f（x）=（x-1）（ax+b）=ax2+（b-a）x-b為偶函數(shù)，

∴f（-x）=f（x），

則ax2-（b-a）x-b=ax2+（b-a）x-b，

即-（b-a）=b-a，

得b-a=0，得b=a，

則f（x）=ax2-a=a（x2-1），

若f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，

則a＜0，

由f（3-x）＜0得a[（3-x）2-1）]＜0，即（3-x）2-1＞0，

得x＞4或x＜2，

即不等式的解集為（-∞，2）∪（4，+∞），

故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出a，b的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．12．若函數(shù)滿足，且，則在區(qū)間上的最大值是（）A．或 B．2 C． D．【答案】D【解析】由得出，根據(jù)得出的周期，進(jìn)而得出，得出，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)得出最值.【詳解】即周期當(dāng)時(shí)，取最大值故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正弦函數(shù)的解析式以及余弦型函數(shù)的最值，屬于中檔題.二、填空題13．式子的值是_____________.【答案】【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題.14．函數(shù)的定義域是_____________.【答案】【解析】解不等式組，即可得出定義域.【詳解】，解得且故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求具體函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.15．把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)，再向左平移個(gè)單位得到函數(shù)解析式是____.【答案】【解析】根據(jù)正弦函數(shù)的平移變換和伸縮變換求解即可.【詳解】把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，再向左平移個(gè)單位得到函數(shù)解析式故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求圖像變化后的解析式，屬于基礎(chǔ)題.16．設(shè)函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的值為_____.【答案】【解析】因?yàn)楹愠闪?，所以，解得或，?yàn)證和，即可得出的值.【詳解】因?yàn)楹愠闪?，所以即，解得：或?dāng)時(shí)，，，則不滿足條件當(dāng)時(shí)，，，則滿足條件故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求解析式中參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.17．已知函數(shù)的值域?yàn)椋絷P(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)c的值為．【答案】9．【解析】∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域?yàn)閇0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b－＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝2.又∵f(x)＜c的解集為(m，m＋6)，∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的兩根．由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得解得c＝9.18．用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如．下面關(guān)于函數(shù)說(shuō)法正確的序號(hào)是_______________．①當(dāng)時(shí)，；②函數(shù)的值域是；③函數(shù)與函數(shù)的圖像有4個(gè)交點(diǎn)；④方程根的個(gè)數(shù)為7個(gè)．【答案】①②④【解析】由符號(hào)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，可以畫出函數(shù)的圖像比較容易判斷問(wèn)題中的四個(gè)結(jié)論，其中③和方程根的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)。【詳解】作出函數(shù)的圖像如圖所示，顯然結(jié)論①②均正確；在同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)的圖像(坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的射線部分)，作出的圖像（圖像中的折線部分），可以得到③錯(cuò)誤，④正確。故答案為①②④?！军c(diǎn)睛】本題考查的是分段函數(shù)知識(shí)和函數(shù)值域，函數(shù)零點(diǎn)等函數(shù)性質(zhì)的綜合類問(wèn)題，在解答的過(guò)程中充分體現(xiàn)了分類討論的思想，特值思想以及問(wèn)題的轉(zhuǎn)化思想，是對(duì)研究一個(gè)函數(shù)的全過(guò)程的考查，應(yīng)當(dāng)給予重視。三、解答題19．函數(shù)f(x)=Asin(wx+j)(A＞0，w＞0，-＜j＜，x∈R)的部分圖象如圖所示：，(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式；(2)當(dāng)x∈時(shí)，求f(x)的取值范圍.【答案】（1）f(x)=sin(x+)；（2）[-1,].【解析】試題分析：（1）圖像離平衡位置最高值為1可知A=1,又從圖可看出周期的四分之一為，根據(jù)可求得w的值，對(duì)于j可通過(guò)代入(，1)點(diǎn)求得，但要注意j的范圍；（2）本小題考查三角函數(shù)求值域問(wèn)題，由x的范圍可先求出x+的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)圖像可求出sin(x+)的取值范圍.試題解析：(1)由圖象得A=1，，所以T=2p，則w="1."將點(diǎn)(，1)代入得sin(+j)=1，而-＜j＜，所以j=，因此函數(shù)f(x)=sin(x+).(2)由于x∈，-≤x+≤，所以-1≤sin(x+)≤，所以f(x)的取值范圍[-1,].【考點(diǎn)】由三角函數(shù)的圖像求函數(shù)的解析式，，三角函數(shù)的值域問(wèn)題.20．已知二次函數(shù)對(duì)都有成立，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在上的最小值.【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）設(shè)二次函數(shù)，，由結(jié)合待定系數(shù)法得出，再由，得出，即可得出函數(shù)的解析式；（2）由（1）得出的解析式，討論對(duì)稱軸的位置，確定函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，即可得出該函數(shù)的最小值.【詳解】解：（1）設(shè)二次函數(shù)，則，解得即，，得所以.（2），對(duì)稱軸，開口向上分三種情況：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，.②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間為③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，綜上，【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知函數(shù)的類型求解析式以及由函數(shù)的單調(diào)性求最值，屬于中檔題.21．已知函數(shù)（且）.（1）求函數(shù)的定義域，并求出當(dāng)時(shí)，常數(shù)的值；（2）在（1）的條件下，判斷函數(shù)在的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；（3）設(shè)，若方程有實(shí)根，求的取值范圍.【答案】（1）定義域?yàn)榛?，?）在的單調(diào)遞增，見解析（3）【解析】（1）解不等式得出該函數(shù)的定義域，由結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得出；（2）利用定義以及不等式的性質(zhì)證明單調(diào)性即可；（3）將方程轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過(guò)討論對(duì)稱軸的位置，求出的取值范圍.【詳解】解：（1）由且知∴或∴定義域?yàn)榛蛴傻谩唷摺啵?）由（1），判斷在的單調(diào)遞增證明：設(shè)，則∴，即∴∴在的單調(diào)遞增.（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋哂袑?shí)根，在有實(shí)根在有實(shí)根化簡(jiǎn)整理得，方程在上有解設(shè)對(duì)稱軸.①即且∵且在為增函數(shù)，所以方程在無(wú)解.②，即則，即，解得綜上.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求具體函數(shù)的定義域，利用定義證明單調(diào)性以及由方程有解求參數(shù)范圍，屬于較難題.22．設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)且.新定義：若滿足，但，則稱為的回旋點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，分別求和的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式，并求出回旋點(diǎn)；（3）證明函數(shù)在有且僅有兩個(gè)回旋點(diǎn)，并求出回旋點(diǎn).【答案】（1），（2）；是的回旋點(diǎn)（3）見解析，，.【解析】（1）利用函數(shù)解析式即可求出和的值；（2）由得出，討論和時(shí)，的解析式，即可得出當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式；再根據(jù)題設(shè)中回旋點(diǎn)