柏拉圖柏拉圖(Plato)公元前427年生于雅典；公元前347年卒于雅典．認(rèn)識(shí)論、數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)教育．柏拉圖出生于雅典的顯貴世家．父親阿里斯頓(Ariston)據(jù)信是雅典歷史上最后一個(gè)君主科德羅斯(Codrus)的后裔；母親珮里克蒂妮(Perictione)的先輩可以上溯到公元前7世紀(jì)的雅典執(zhí)政官德羅彼得(Dropides)，據(jù)說(shuō)他是被稱為七賢之一的著名政治家和詩(shī)人梭倫(Sclon)的兄弟．柏拉圖有兩個(gè)年紀(jì)比他大得多的哥哥：阿得曼圖(Adeimantus)和格洛康(Glaucon)，還有一個(gè)姐姐波托尼(Potone)，其子斯標(biāo)西波(Speusippus)后來(lái)成為柏拉圖的繼承人．柏拉圖幼年喪父，之后母親改嫁．繼父皮里蘭佩(Pyrilampes)是建設(shè)民主政體的杰出政治家柏里克利(Pericles)的親密助手，曾作為雅典使節(jié)被派往波斯等國(guó)，在國(guó)家事務(wù)中起過(guò)引人注目的作用．他的堂舅克里底亞(Critias)思想機(jī)敏，給柏拉圖留下深刻的印象．在柏拉圖的著作中，曾多次用頌揚(yáng)的口吻滿懷眷戀地提到他的繼父、兄弟和其他親屬．他的著作的一些篇名如《克里底亞》等，就是以親屬的名字命名的．柏拉圖自幼受到良好而完備的教育，少年時(shí)代勤奮好學(xué)、多才多藝，且體格健壯．他寫(xiě)過(guò)抒情詩(shī)和悲劇，也參加過(guò)摔交等激烈運(yùn)動(dòng)，除去家庭的熏陶之外，給他影響最為深遠(yuǎn)的莫過(guò)于正直善辯的哲學(xué)家蘇格拉底(Socrates)了．蘇格拉底是柏拉圖一家的老朋友，交往密切，所以，柏拉圖很可能從小就認(rèn)識(shí)蘇格拉底．但是，熱心追隨蘇格拉底則是從20歲時(shí)開(kāi)始的．從此，蘇格拉底成為柏拉圖心目中最敬仰的導(dǎo)師．他在后來(lái)的著作中多次稱蘇格拉底是“人世間最有智慧的人”．公元前404年，雅典在長(zhǎng)達(dá)28年之久的伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭(zhēng)之后被迫向斯巴達(dá)投降．柏拉圖目睹了奴隸主民主政體的垮臺(tái)，取而代之的是以他的堂舅克里底亞為首的史稱“三十僭主”的專制政體，他的舅舅查密迪斯(Charmides)也成為“三十僭主”的成員之一．雖然這些親戚們一上臺(tái)就立即邀請(qǐng)柏拉圖參加其行列，而且他也久懷從政的愿望，但是他沒(méi)有響應(yīng)．事態(tài)的發(fā)展迅速表明，“三十僭主”政體的所作所為，倒使得原先的民主政體在相比之下顯得象一個(gè)黃金時(shí)代．他們?yōu)E殺無(wú)辜，任意剝奪，甚至老朋友也不放過(guò)，連正直的蘇格拉底也險(xiǎn)遭陷害．不到八個(gè)月，“三十僭主”的暴政就被推翻，克里底亞和查密迪斯也死于戰(zhàn)亂，這一切都使柏拉圖感到悲憤和失望．在“三十僭主”垮臺(tái)、民主派領(lǐng)袖恢復(fù)執(zhí)政之后，盡管采取了比較溫和、不施報(bào)復(fù)的政策，一些政客卻指控蘇格拉底犯有不敬神和蠱惑青年的罪名，并被處死．在蘇格拉底受審時(shí)，柏拉圖和他的哥哥阿德曼圖曾去法庭聆聽(tīng)蘇格拉底的雄辯、無(wú)畏的申辯詞，并在他的早期著作《申辯》篇中記錄了這件事．這一悲劇給柏拉圖以極大的刺激，使得在他心中復(fù)萌的從政愿望熄滅了．隨著年歲的增長(zhǎng)，他對(duì)當(dāng)時(shí)的政客、法典和習(xí)俗越來(lái)越感到厭惡，從而決心繼承蘇格拉底的哲學(xué)思想，開(kāi)始撰寫(xiě)以蘇格拉底為主人公的《對(duì)話》，并從事于締造理想國(guó)家的理論研究．蘇格拉底死后，柏拉圖離開(kāi)雅典，退避到歐幾里得(Euclid)的家鄉(xiāng)麥加拉．歐幾里得是麥加拉學(xué)派的首領(lǐng)，他信奉蘇格拉底的倫理學(xué)，“把善說(shuō)成是普遍意義下的絕對(duì)本質(zhì)”．黑格爾在談到麥加拉學(xué)派時(shí)說(shuō)：“他們?cè)?jīng)在一切觀念中指出矛盾，這是他們的好辯”．柏拉圖對(duì)于這種“好辯”似乎不太熱心，轉(zhuǎn)而對(duì)科學(xué)產(chǎn)生興趣．離開(kāi)麥加拉以后，他開(kāi)始了長(zhǎng)途游歷．先后去過(guò)埃及、昔勒尼(Cyrene)、意大利南部和西西里等地．在昔勒尼，他在著名數(shù)學(xué)家德俄多儒(Theodorus)的指導(dǎo)下，特別鉆研了數(shù)學(xué)．在意大利南部的塔林敦(Tarentum)，他結(jié)交了當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的主要代表人物阿爾希塔斯(Archytas)．阿爾希塔斯在數(shù)學(xué)和力學(xué)上的造詣，他所維持的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的教育制度，都給柏拉圖留下深刻的印象．在西西里島的敘拉古，柏拉圖結(jié)識(shí)了年青的狄昂(Dion，約公元前408—前354年)．狄昂是敘拉古僭主狄俄尼索(Dionysuis)的姻親，他厭惡上層社會(huì)的奢侈淫逸的生活，虔誠(chéng)地接受了柏拉圖的哲學(xué)觀點(diǎn)，成為追隨柏拉圖的忠實(shí)信徒．在柏拉圖的第七封信札中提到過(guò)這次旅行，他說(shuō)，40歲時(shí)他在意大利和西西里，那里看到的聲色享樂(lè)使他驚駭不安．他還記載了對(duì)狄昂的良好的印象．公元前387年，柏拉圖在雅典城的東北角創(chuàng)辦了一所好多方面頗象現(xiàn)代私立大學(xué)的學(xué)園(Academy)．柏拉圖學(xué)園有教室、花園、飯廳、禮堂和學(xué)員宿舍，并有由柏拉圖及其助手講授的正式課程．仿效畢達(dá)哥拉斯學(xué)校的慣例，學(xué)員們吃公共伙食．學(xué)園同時(shí)也作為一個(gè)敬奉繆斯的宗教社團(tuán)，以確保得到合法的承認(rèn)．柏拉圖自任校長(zhǎng)，大概就住在學(xué)園的附近．公元前367年春狄俄尼索去世，柏拉圖的崇拜者狄昂成為首席大臣，他吁請(qǐng)柏拉圖去敘拉古，以幫助教育他的外甥狄俄尼索二世，將他培養(yǎng)成一個(gè)能勝任他的職責(zé)的立憲君主．柏拉圖應(yīng)邀于公元前366年到達(dá)敘拉古．根據(jù)柏拉圖的第七封信札，他到了那里發(fā)覺(jué)形勢(shì)很復(fù)雜，一些敘拉古人認(rèn)為，狄昂企圖讓他的外甥泡在沒(méi)完沒(méi)了的學(xué)習(xí)之中，以便他自己掌握實(shí)權(quán)．在柏拉圖到達(dá)三個(gè)月之后，國(guó)王狄俄尼索二世懷疑起他的舅父來(lái)了，并以勾結(jié)敵國(guó)迦太基的罪名，將狄昂放逐到國(guó)外．柏拉圖于次年(公元前365年)，在得到狄昂將被召回的諾言之后返回雅典．公元前362年，柏拉圖又應(yīng)國(guó)王的邀請(qǐng)?jiān)俅稳⒗牛畵?jù)說(shuō)這一次國(guó)王真正對(duì)哲學(xué)感興趣了，按照柏拉圖的第七封信札的說(shuō)法，這次他同意去那里，是被狄昂的事有可能在他返回?cái)⒗诺臈l件下得以解決的前景所促成的．狄昂在被放逐的那幾年里一直在雅典度過(guò)，并成為柏拉圖的姪兒斯標(biāo)西波的朋友．然而，柏拉圖的調(diào)解努力以失敗告終．國(guó)王非但沒(méi)有聽(tīng)從柏拉圖的勸說(shuō)，反而禁止狄昂的代理人向狄昂解送他的地產(chǎn)收入，柏拉圖也被軟禁起來(lái)，好不容易才于公元前361年逃回雅典．于是，狄昂采取步驟以實(shí)現(xiàn)武力返回?cái)⒗?，并要以非禮罪懲處國(guó)王．雖然這次他懇求柏拉圖的幫助，但被柏拉圖以年老為由婉謝了．學(xué)園中的其他一些成員參加了這次遠(yuǎn)征．狄昂的冒險(xiǎn)行動(dòng)得到成功，國(guó)王被趕下臺(tái)，并逃走了．然而在短期執(zhí)政之后，狄昂被參加這次遠(yuǎn)征的一個(gè)雅典人謀殺了(公元前354年)．柏拉圖的第七和第八封信札，就是在這時(shí)期寫(xiě)給狄昂的同黨的．除去上面說(shuō)的第二和第三次西西里之行，柏拉圖自創(chuàng)辦學(xué)園之后的四十年，一直在雅典度過(guò)．他從事學(xué)園的管理、教學(xué)、研究和寫(xiě)作．除去一些早期作品外，他的大部分著作都是在雅典完成的．柏拉圖逝世于公元前347年，享年八十．傳說(shuō)他是在參加一位朋友的結(jié)婚宴會(huì)時(shí)，忽感不適，退到屋子一角平靜地辭世的．作為一位哲學(xué)家，柏拉圖對(duì)于歐洲的哲學(xué)乃至整個(gè)文化的發(fā)展，有著深遠(yuǎn)的影響．特別是他的認(rèn)識(shí)論、數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)教育思想，在古代希臘的社會(huì)條件下，對(duì)于科學(xué)的形成和數(shù)學(xué)的發(fā)展，起了不可磨滅的推進(jìn)作用．古希臘最大的科學(xué)家和思想家亞里士多德，曾師事柏拉圖20年，被柏拉圖譽(yù)為“學(xué)園的精英”；杰出的數(shù)學(xué)家歐多克索斯(Eudoxus)、門(mén)奈赫莫斯(Menaechmus)和泰特托斯(Theaetetus)等都是柏拉圖的學(xué)生或同事，這決不是偶然的．先說(shuō)著作．除書(shū)札外，柏拉圖的著作概用對(duì)話體裁．傳世的有35篇《對(duì)話》和13封書(shū)札．《對(duì)話》中大多以蘇格拉底為主角，常假托他的話來(lái)闡述柏拉圖自己的哲學(xué)思想，行文優(yōu)美，融哲學(xué)和文學(xué)為一體．關(guān)于這些著作的真?zhèn)魏蛯?xiě)作的先后，學(xué)者們的意見(jiàn)歷來(lái)不太一致．比較公認(rèn)的說(shuō)法是大約20多篇對(duì)話出自柏拉圖之手．其中經(jīng)常為人們引用的名篇，按寫(xiě)作先后可大致排列為：《申辯(Apology)》，《克里托(Crito)》，《普羅塔戈拉(Protagoras)》，《高爾吉亞(Gorgias)》，《克拉底魯(Cratylus)》，《美諾(Meno)》，《菲多(Phaedo)》，《會(huì)飲(Symposium)》，《理想國(guó)(Republic)》，《菲德羅(Phaedrus)》，《巴門(mén)尼德(Parmenides)》，《泰特托斯(Theaetetus)》，《智者(Sophist)》，《政治家(Statesman)》，《菲利布(Philebus)》，《蒂邁歐(Timaeus)》，《克里底亞(Critias)》，《法律(Laws)》等．其中《理想國(guó)》著于壯年，如日中天，包羅萬(wàn)方，堪稱千古名作．在13封書(shū)札中，一般認(rèn)為第六、七、八封是可信的．柏拉圖的認(rèn)識(shí)論，通常被認(rèn)為是客觀唯心主義的．在哲學(xué)史上，是他試圖論述諸如什么是知識(shí)、知識(shí)的來(lái)源、感覺(jué)與知識(shí)、理性與知識(shí)等基本問(wèn)題的．因此，只有柏拉圖才能稱得上是認(rèn)識(shí)論的真正創(chuàng)始人．柏拉圖認(rèn)識(shí)論的主要部分是理念論、回憶說(shuō)、辯證法和靈魂轉(zhuǎn)向說(shuō)．關(guān)于柏拉圖構(gòu)想理念論的原因，亞里士多德作過(guò)清楚的分析．柏拉圖年輕時(shí)就和雅典人克拉底魯相識(shí)．克拉底魯信奉赫拉克利特(Heraclitus)的學(xué)說(shuō)，認(rèn)為凡可目睹的事物永遠(yuǎn)處于變化的狀態(tài)，因而關(guān)于它們沒(méi)有知識(shí)可言．柏拉圖當(dāng)時(shí)和以后都沒(méi)有否認(rèn)這一點(diǎn)，因此，為了繼承和發(fā)展蘇格拉底在道德領(lǐng)域內(nèi)對(duì)永久不變的共相的探求，柏拉圖把共相和可以感知的具體事物分離開(kāi)來(lái)，使之成為獨(dú)立的實(shí)在，并稱之為理念(idea或form)．在他看來(lái)，具體事物是由于“分有”理念而得以存在的；當(dāng)我們命名或說(shuō)起這些具體事物時(shí)，我們所指的其實(shí)是同名理念．他把理念看做是可感事物的源泉，是正本；而把具體事物看做是模仿理念而成，是副本．他還設(shè)想在永恒不變的理念世界里，“善”理念具有太陽(yáng)般崇高的位置，善是知識(shí)和真理的根源．并認(rèn)為理念可以通過(guò)理性而不能通過(guò)感覺(jué)來(lái)認(rèn)識(shí)．其實(shí)柏拉圖的理念就是共相，是事物的本質(zhì)屬性．強(qiáng)調(diào)把事物的共相作為認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)理性知識(shí)和感覺(jué)印象的區(qū)別，具有積極的一面．但是柏拉圖在處理精神世界和現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系時(shí)，犯了本末倒置的錯(cuò)誤．他的得意門(mén)生亞里士多德在《形而上學(xué)》里，對(duì)此提出了批評(píng)和糾正．亞里士多德完全否定在現(xiàn)實(shí)世界之外還有一個(gè)獨(dú)立自存的理念世界，認(rèn)為理念實(shí)際上就是共性，它只能寓于個(gè)性之中，存在于人們的抽象概念中．列寧指出：“亞里士多德對(duì)柏拉圖的‘理念’的批判，是對(duì)唯心主義，即一般唯心主義的批判．”在哲學(xué)史上，黑格爾曾從哲學(xué)的辯證發(fā)展的角度，不無(wú)過(guò)譽(yù)地高度評(píng)價(jià)了師徒二人的貢獻(xiàn)．他說(shuō)：“哲學(xué)之作為科學(xué)是從柏拉圖開(kāi)始而由亞里士多德完成的．他們比起所有別的哲學(xué)家來(lái)，應(yīng)該可以叫做人類的導(dǎo)師．”按照柏拉圖的神話般的設(shè)想，理念是不死的靈魂所固有的．但在轉(zhuǎn)世出生時(shí)遺忘掉了，只有后天通過(guò)感覺(jué)和學(xué)習(xí)，通過(guò)別人的詢問(wèn)，才能回憶起先天固有的知識(shí)．聽(tīng)到別人講的道理而能理解，并非接受了別人的知識(shí)，乃是自己原有的知識(shí)經(jīng)別人的提醒得以回憶起來(lái)．這就是他在《美諾》篇中提出的回憶說(shuō)．因此，他主張教育應(yīng)注重誘導(dǎo)和啟發(fā)，應(yīng)通過(guò)問(wèn)答式的對(duì)話引導(dǎo)對(duì)方進(jìn)行由近及遠(yuǎn)的層層推理．在《美諾》篇中，蘇格拉底就是這樣從一個(gè)未受過(guò)教育的男仆嘴里，引導(dǎo)出一道幾何題的答案．這種采用對(duì)話來(lái)推求真理的方法，即所謂“理智助產(chǎn)術(shù)”，有時(shí)也被他稱為“辯證法”．不過(guò)當(dāng)他使用“辯證法“這一術(shù)語(yǔ)時(shí)，含義要更加廣泛些，更著重于理念的推演和對(duì)立意見(jiàn)的辯析，更著重于對(duì)所謂“純粹思想”的考察．黑格爾說(shuō)：“柏拉圖的研究完全集中在純粹思想里，對(duì)純粹思想本身的考察他就叫辯證法．他的許多對(duì)話都包含這樣意義的辯證法．這些純粹思想是：‘有’與‘非有’、‘一’與‘多’、‘無(wú)限’與‘有限’．這些就是他獨(dú)立地予以考察的對(duì)象，——因此這乃是一種純邏輯的、最深?yuàn)W的研究”．柏拉圖在他的后期對(duì)話《巴門(mén)尼德》、《智者》和《菲利布》等篇中闡述了他的辯證法．特別是《巴門(mén)尼德》篇，被黑格爾譽(yù)為“柏拉圖辯證法最著名的杰作”．這篇對(duì)話的主題是假借巴門(mén)尼德和芝諾之口說(shuō)出來(lái)的辯證法．但應(yīng)注意，希臘哲學(xué)家芝諾和柏拉圖所說(shuō)的辯證法，與馬克思主義所講的辯證法是有實(shí)質(zhì)性的區(qū)別的．柏拉圖在他的對(duì)話中多處提到知識(shí)和意見(jiàn)(有時(shí)稱為信念)之間的區(qū)別．他認(rèn)為知識(shí)必須建立在理性的基礎(chǔ)上，必須是真實(shí)的．而處于意見(jiàn)狀態(tài)，則是指依據(jù)權(quán)威或僅僅出于習(xí)慣就接受的關(guān)于事實(shí)和原則的判斷．由于沒(méi)有把握事物之間的因果聯(lián)系，意見(jiàn)可真可假．如果把握了事物之間的因果聯(lián)系，就能用因果鎖鏈把它們縛住，人們的認(rèn)識(shí)也就由意見(jiàn)轉(zhuǎn)變成知識(shí)．按照理念論，掌握知識(shí)的人通曉理念，并能將特殊情形和理念聯(lián)系起來(lái)(雖然柏拉圖未能成功地解釋這種聯(lián)系是怎樣發(fā)生的)；而僅滿足于持有意見(jiàn)的人，卻只能在半真實(shí)的特殊事物間徘徊．柏拉圖在《理想國(guó)》第Ⅵ，Ⅶ兩章中，通過(guò)三個(gè)有名的比喻：“日喻”、“線喻”和“洞喻”，在對(duì)認(rèn)識(shí)過(guò)程進(jìn)行深入分析的基礎(chǔ)上，提出并闡釋了他的“靈魂轉(zhuǎn)向說(shuō)”．所謂“日喻”，簡(jiǎn)言之，就是把理念世界中的善理念比作可感世界中的太陽(yáng)．太陽(yáng)是光的源泉，是萬(wàn)物生長(zhǎng)和可感性的原因，并引發(fā)眼睛的視覺(jué)功能；而善理念是真理的源泉，是真實(shí)存在(理念)的可知性的原因，并引發(fā)靈魂的認(rèn)識(shí)功能．至于“線喻”，是通過(guò)將一條直線劃分為四段作為比喻以分析認(rèn)識(shí)過(guò)程的．他將這四個(gè)部分比喻為四種等級(jí)的心理狀態(tài)：最高等級(jí)是理性，第二等級(jí)是理智，第三等級(jí)是信念，第四等級(jí)是想象．這四種心理狀態(tài)是根據(jù)認(rèn)識(shí)的真實(shí)性與明確性來(lái)劃分的，前二者是對(duì)可知世界認(rèn)識(shí)的結(jié)果，后二者是對(duì)可感世界認(rèn)識(shí)的結(jié)果．這四個(gè)等級(jí)其實(shí)代表著認(rèn)識(shí)過(guò)程由初級(jí)到高級(jí)的四個(gè)階段，只是柏拉圖從理念論的唯心觀點(diǎn)出發(fā)，把前后次序倒置了．第四等級(jí)想象，代表感性認(rèn)識(shí)的初級(jí)階段．處于對(duì)可感事物外表的模糊覺(jué)察．例如，對(duì)物體投在水中的影象留下的第二手印象．第三等級(jí)信念，代表對(duì)現(xiàn)象界的比較明確的感性認(rèn)識(shí)．例如，對(duì)于自然界和日常生活中一般事物的印象或意見(jiàn)．第二等級(jí)理智，其對(duì)象是理念世界中的一些孤立的理念．常常要借助于圖形等的幫助，根據(jù)某些假設(shè)進(jìn)行邏輯推理．例如，從事數(shù)學(xué)研究時(shí)的心理狀態(tài)就處于理智等級(jí)．第一等級(jí)理性，其對(duì)象是理念世界或所謂真實(shí)存在．憑借辯證法和純粹思維，由理念到理念，直至達(dá)到終極真理．這就是以善理念為終極目標(biāo)的純哲學(xué)研究．而“洞喻”，是以在一個(gè)洞穴內(nèi)面壁而居的囚徒走向光明的過(guò)程作比喻，形象地說(shuō)明了從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的艱難歷程．然后，柏拉圖十分自然地通過(guò)蘇格拉底之口說(shuō)：“每一個(gè)人在他的靈魂內(nèi)部都隱藏著一種進(jìn)行學(xué)習(xí)的能力，這種能力可比喻為知識(shí)之目．但正如必須轉(zhuǎn)動(dòng)整個(gè)身體，眼睛才能由黑暗轉(zhuǎn)向光明一樣，作為整體的靈魂也必須轉(zhuǎn)移方向，知識(shí)之目才能離開(kāi)變化的現(xiàn)象世界而朝向?qū)嵲谑澜?，并逐漸學(xué)會(huì)承受實(shí)在之光，直至看到最明亮、最美好的實(shí)在，換句話說(shuō)，即看到善”．這就是柏拉圖的“靈魂轉(zhuǎn)向說(shuō)”．他認(rèn)為教育就是一種使靈魂轉(zhuǎn)向的藝術(shù)，要研究用什么方式可使這種轉(zhuǎn)向最易行、最有效．教育的目的不在于移植視力，因?yàn)殪`魂本身已經(jīng)有視力，而在于促使靈魂轉(zhuǎn)移方向，轉(zhuǎn)向該看的方向，讓視力發(fā)揮作用．“轉(zhuǎn)向說(shuō)”不提知識(shí)是靈魂所固有的，而換成學(xué)習(xí)能力是靈魂所固有的．因此教育不是簡(jiǎn)單地喚起回憶，而是要采取確當(dāng)?shù)姆绞剑龑?dǎo)靈魂轉(zhuǎn)向，讓學(xué)習(xí)能力向著正確的方向發(fā)展．雖然柏拉圖沒(méi)有宣布放棄“回憶說(shuō)”，但是從《美諾》篇中的“回憶說(shuō)”到《理想國(guó)》中的“轉(zhuǎn)向說(shuō)”，不能不說(shuō)是他的認(rèn)識(shí)論發(fā)展中的一大進(jìn)步．我們從柏拉圖的著作中，可以看到數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域的最初的探究．柏拉圖的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想是同他的認(rèn)識(shí)論、特別是理念論分不開(kāi)的．他認(rèn)為數(shù)學(xué)所研究的應(yīng)是可知的理念世界中的永恒不變的關(guān)系，而不是可感的物質(zhì)世界中的變動(dòng)無(wú)常的關(guān)系．因此，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象應(yīng)是抽象的數(shù)和理想的圖形．他在《理想國(guó)》中說(shuō)，“我所說(shuō)的意思是算術(shù)有很偉大和很高尚的作用，它迫使靈魂就抽象的數(shù)進(jìn)行推理，而反對(duì)在論證中引入可見(jiàn)的和可捉摸的對(duì)象．”他在另一處談到幾何時(shí)說(shuō)：“你豈不知道，他們雖然利用各種可見(jiàn)的圖形，并借此進(jìn)行推理，但是他們實(shí)際思考的并不是這些圖形，而是類似于這些圖形的理想形象．…，他們力求看到的是那些只有用心靈之目才能看到的實(shí)在．”如果說(shuō)數(shù)學(xué)概念的抽象化定義始于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，那么，柏拉圖及其學(xué)派則把這一具有歷史意義的工作大大地向前推進(jìn)了．他們不僅把數(shù)學(xué)概念和現(xiàn)實(shí)中相應(yīng)的實(shí)體區(qū)分開(kāi)來(lái)，而且把它和在討論中用以代表它們的幾何圖形嚴(yán)格地區(qū)分開(kāi)來(lái)．柏拉圖是從理念論的角度去探討數(shù)學(xué)概念的涵義的．在柏拉圖的第七封信札里，他曾以圓為例進(jìn)行分析．他說(shuō)，“有四種圓：(1)被世人稱為圓的某種東西；(2)圓的定義：在任何方向上的邊界點(diǎn)到中心的距離都是相等的；(3)畫(huà)出的一個(gè)圓，即旋轉(zhuǎn)圓規(guī)所得出的圓；(4)實(shí)質(zhì)性的圓，即圓的理念，它與其它圓的存在密切相關(guān)，但又不同于任何其它的圓．”柏拉圖接著評(píng)論道：(1)名稱是無(wú)關(guān)緊要的，它只是由習(xí)慣形成的．我們甚至可稱圓為直線，并反過(guò)來(lái)稱直線為圓；(2)定義其實(shí)也不具有真正的確定性，它是由名詞、動(dòng)詞等詞語(yǔ)組成的；(3)是畫(huà)出來(lái)或旋轉(zhuǎn)出來(lái)的具體的圓，這里難免摻雜其它東西：它甚至充滿著和圓的本質(zhì)相抵觸的成分．例如，雖然數(shù)學(xué)圓和數(shù)學(xué)直線僅能相切于一個(gè)公共點(diǎn)，但這在畫(huà)圖時(shí)是無(wú)法做到的．因此，(1)，(2)，(3)都不是完善的圓，許多具體的數(shù)學(xué)圓其實(shí)介于這些不完善的圓與唯一的圓的理念之間．亞里士多德闡釋說(shuō)，柏拉圖是將數(shù)學(xué)對(duì)象置于現(xiàn)實(shí)對(duì)象與理念之間的，數(shù)學(xué)對(duì)象因其常駐不變而區(qū)別于現(xiàn)實(shí)對(duì)象，又因其可能有許多同類對(duì)象而區(qū)別于理念．舉例說(shuō)，三角形的理念只有唯一的一個(gè)，但存在許多數(shù)學(xué)三角形，也存在相應(yīng)于這些數(shù)學(xué)三角形的各種不完善的摹本，即具有各種三角形形狀的現(xiàn)實(shí)物體．盡管柏拉圖的數(shù)學(xué)理念帶有唯心主義色彩，但從客觀效果來(lái)看，這一詞語(yǔ)的內(nèi)涵和我們今天所說(shuō)的數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是基本一致的．名稱、定義和相應(yīng)的圖形都是用以描摹數(shù)學(xué)概念的，但是它們之中的任何一個(gè)都和數(shù)學(xué)概念自身有所區(qū)別．顯然，定義要比名稱和圖形更能刻劃一個(gè)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征．事實(shí)上，柏拉圖對(duì)數(shù)學(xué)定義極其重視．例如對(duì)偶數(shù)、圖形、直線等定義，在其著作中都作過(guò)推敲．在某些方面，他繼承了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的傳統(tǒng)，但也常常提出自己的異議，并在他的學(xué)園內(nèi)進(jìn)行討論．例如在談到點(diǎn)的定義時(shí)，柏拉圖對(duì)于畢達(dá)哥拉斯的“具有位置的單子(mo-naa)”這一定義明確地表示反對(duì)．事實(shí)上，“單子”并不比“點(diǎn)”更容易理解．雖經(jīng)反復(fù)研究，但柏拉圖也沒(méi)有想出更好的定義來(lái)代替它．據(jù)亞里士多德說(shuō)，柏拉圖認(rèn)為把點(diǎn)作為一類事物純屬“幾何虛構(gòu)”，他稱點(diǎn)是“線段之端”，有時(shí)也用“不可分之線段”這一術(shù)語(yǔ)來(lái)表示同一意義．亞里士多德指出，即使不可分的線段也必然還有開(kāi)端，因而這樣解釋于事無(wú)補(bǔ)；而把點(diǎn)定義為“線段之端”，則是不科學(xué)的．我們從這一段討論中可以看出，柏拉圖學(xué)派已接近于把點(diǎn)判為不可定義的原始概念了．柏拉圖在《理想國(guó)》第六卷中論及數(shù)學(xué)假設(shè)和證明．他說(shuō)：“想必你知道，研究幾何、算術(shù)以及這一類學(xué)問(wèn)的人，首先要假定奇數(shù)、偶數(shù)、三種類型的角以及各學(xué)科中諸如此類的東西是已知的．這就是他們的假設(shè)，他們?cè)O(shè)想這些東西是任何人都知道的，因而認(rèn)為無(wú)必要就此向他們自己或別人作任何說(shuō)明．他們就從這些假設(shè)出發(fā)，并以前后一致的方式向下推，直至最后得出他們的結(jié)論．”這段話表明，從一些公認(rèn)的假設(shè)出發(fā)進(jìn)行演繹證明，這在當(dāng)時(shí)的學(xué)園里已經(jīng)是不爭(zhēng)的事實(shí)，而且得到柏拉圖的贊許．事實(shí)上，柏拉圖十分強(qiáng)調(diào)脫離直觀印象的純理性證明，并嚴(yán)格地把數(shù)學(xué)作圖工具限制為直尺和圓規(guī)．據(jù)普魯塔克(Plutarch)的記述，當(dāng)聽(tīng)說(shuō)歐多克索斯和阿爾希塔斯應(yīng)用機(jī)械工具來(lái)解決一個(gè)與立方倍積問(wèn)題有關(guān)的幾何作圖時(shí)，柏拉圖就憤憤地予以抨擊．認(rèn)為這樣做“只能導(dǎo)致幾何學(xué)的墮落，剝奪它的優(yōu)點(diǎn)，因而使它可恥地背棄純理智的抽象對(duì)象，倒退到感性，并求助于物質(zhì)．”柏拉圖的這種或許有點(diǎn)過(guò)激的主張，對(duì)于形成歐幾里得幾何的公理演繹體系，不無(wú)促進(jìn)作用．但其副作用也是不可否認(rèn)的：由于古希臘的實(shí)驗(yàn)科學(xué)和機(jī)械學(xué)受到哲學(xué)家的漠視，以致長(zhǎng)期處于相對(duì)落后的狀態(tài)．柏拉圖也十分重視算術(shù)，但他是將算術(shù)和實(shí)用計(jì)算區(qū)分開(kāi)來(lái)的．他所說(shuō)的“算術(shù)”其實(shí)是指關(guān)于整數(shù)的學(xué)問(wèn)．希臘數(shù)學(xué)評(píng)論家普羅克拉斯(Proclus)和歷史學(xué)家D．拉爾修(Laertius，公元3世紀(jì))，把兩類方法論歸功于柏拉圖．第一類是分析法，第二類是歸謬法或間接法．關(guān)于第一類方法，T．L．希思(Heath)認(rèn)為普羅克拉斯所指是柏拉圖在《理想國(guó)》中使用的那種哲學(xué)方法，被誤解為數(shù)學(xué)中的分析法．但是很可能為了強(qiáng)調(diào)邏輯嚴(yán)格性，柏拉圖曾指出在分析法證明之后有加以綜合的必要．至于歸謬法，有人認(rèn)為應(yīng)歸功于希波克拉底(Hippocrates)．關(guān)于這兩種方法的發(fā)明權(quán)問(wèn)題，至今尚無(wú)定論．柏拉圖在相當(dāng)大的程度上繼承了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“萬(wàn)物皆數(shù)”的觀點(diǎn)．他認(rèn)為宇宙間的天體以至萬(wàn)事萬(wàn)物都是按照數(shù)學(xué)規(guī)律來(lái)設(shè)計(jì)的．依賴感官所感覺(jué)到的世界是混亂和迷離的，因而是不可靠的和無(wú)價(jià)值的．只有通過(guò)數(shù)學(xué)才能領(lǐng)悟到世界的實(shí)質(zhì)．他因此逐漸對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了強(qiáng)烈的興趣．他對(duì)幾何學(xué)如此崇拜，以至認(rèn)為創(chuàng)造世界的神是一個(gè)“偉大的幾何學(xué)家”．他甚至具體設(shè)想宇宙之初有兩種直角三角形，一種是正方形的一半，另一種是等邊三角形的一半．由這些三角形組成四種正多面體，構(gòu)成四種元素的微粒．其中火微粒是正四面體，土微粒是正立方體，氣微粒是正八面體，水微粒是正二十面體．至于各面為正五邊形的正十二面體，則是構(gòu)成天上物質(zhì)的精英．后來(lái)，他特地對(duì)五種正多面體的特征和作圖方法作了系統(tǒng)的論述，因而后人就把這五種正多面體統(tǒng)稱為柏拉圖體．他認(rèn)為宇宙是活的，是運(yùn)動(dòng)的，而且是做的圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)閳A是完善的．他還認(rèn)為萬(wàn)物都可以用一個(gè)數(shù)目來(lái)定名，這個(gè)數(shù)目體現(xiàn)其所含元素的比例，等等．這一切可以說(shuō)明，柏拉圖的宇宙觀是數(shù)學(xué)化的宇宙觀．這種宇宙觀是形成柏拉圖的數(shù)學(xué)教育觀的思想基礎(chǔ)．現(xiàn)代英國(guó)著名數(shù)學(xué)家B．羅素(Russell)評(píng)論說(shuō)：“在認(rèn)為沒(méi)有數(shù)學(xué)就不可能有真正的智慧這一點(diǎn)上，他是一個(gè)十足的畢達(dá)哥拉斯主義者．”自公元前387年開(kāi)始，柏拉圖就把創(chuàng)建和主持學(xué)園教育作為自己最重要的事業(yè)．雖然他認(rèn)為學(xué)園的辦學(xué)宗旨是培養(yǎng)具有哲學(xué)頭腦的優(yōu)秀政治人才，直至造就一個(gè)能夠勝任治國(guó)重任的哲學(xué)王，但在具體課程設(shè)計(jì)上卻繼承和發(fā)展了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的以數(shù)學(xué)為主課的方針．在《理想國(guó)》第七卷中，他系統(tǒng)地論述了學(xué)園的教育方針．他批評(píng)了雅典人過(guò)早地以“辯論術(shù)”培訓(xùn)年輕人的傳統(tǒng)做法，認(rèn)為那樣做“結(jié)果是損壞了自己和整個(gè)哲學(xué)事業(yè)在世人心目中的信譽(yù)”．他主張對(duì)20歲到30歲的學(xué)員進(jìn)行長(zhǎng)達(dá)十年的以數(shù)學(xué)為中心的教育．課程包括算術(shù)、平面幾何、立體幾何，天文學(xué)和諧音學(xué)．其中天文學(xué)不依賴對(duì)天象的觀察，而主要憑借純粹的數(shù)和圖形來(lái)研究天體運(yùn)動(dòng)；諧音學(xué)不是憑借經(jīng)驗(yàn)，而主要依據(jù)數(shù)本身的性質(zhì)，去思考哪些數(shù)是和諧的，哪些數(shù)是不和諧的．因此，按照畢達(dá)哥拉斯學(xué)校的慣例，這兩門(mén)課也被看成是數(shù)學(xué)學(xué)科．這些課程都是為學(xué)習(xí)辯證法作準(zhǔn)備的．待30歲以后，花五年時(shí)間專心學(xué)習(xí)以辯證法為主的哲學(xué)，35歲以后方才出任公職．不過(guò)在上述五門(mén)課程中，主要是算術(shù)和平面幾何，因?yàn)槠渌T(mén)學(xué)科在當(dāng)時(shí)發(fā)展得還很不成熟．柏拉圖曾談到立體幾何沒(méi)有得到發(fā)展的具體原因，并倡導(dǎo)人們對(duì)它進(jìn)行研究．此外，他還討論了關(guān)于選定哪些人去研習(xí)這些功課的問(wèn)題．回答是要象選擇統(tǒng)治者那樣，“必須挑選出最堅(jiān)定、最勇敢、在可能范圍內(nèi)也最有風(fēng)度的人．此外，我們還得要求他們不僅性格高貴嚴(yán)肅而且還要具有適合這類教育的天賦．”接著還討論了應(yīng)有哪些天賦的問(wèn)題．由此可見(jiàn)，柏拉圖學(xué)園里實(shí)施的是一種英才教育．據(jù)F．拉瑟爾說(shuō)，在柏拉圖以及他的繼任人斯標(biāo)西波主持學(xué)園的共約46年期間，數(shù)學(xué)一直在學(xué)園內(nèi)占據(jù)主導(dǎo)地位，柏拉圖的數(shù)學(xué)大綱得到充分的貫徹．從公元6世紀(jì)以來(lái)廣為流傳的一則故事說(shuō)，在柏拉圖學(xué)院的大門(mén)口刻有“不懂幾何者不得入內(nèi)”的銘文．如果確有其事的話，這恐怕是有史以來(lái)從知識(shí)方面規(guī)定入學(xué)條件的最早記錄．柏拉圖為什么如此重視數(shù)學(xué)教育呢？這主要是根據(jù)他的教育目標(biāo)和他的認(rèn)識(shí)論學(xué)說(shuō)確定的．柏拉圖的教育目標(biāo)是通過(guò)長(zhǎng)期的嚴(yán)格訓(xùn)練，培養(yǎng)出一批精通辯證法、能憑借理性去把握永恒不變的實(shí)在(理念)、直至能把握善理念的人才．只有這樣的人才有資格統(tǒng)治國(guó)家，只有把握了善理念的哲學(xué)家才能以善理念為模型和藍(lán)圖，來(lái)塑造人間的理想國(guó)．要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，從認(rèn)識(shí)論的角度看，其關(guān)鍵是要實(shí)現(xiàn)由第三等級(jí)信念狀態(tài)到第一等級(jí)理性狀態(tài)的轉(zhuǎn)向．而從事數(shù)學(xué)思考的認(rèn)識(shí)能力，正好處于信念和理性之間的理智狀態(tài)，因此，對(duì)學(xué)員進(jìn)行長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教育，就成為完成這一極其重要的心靈轉(zhuǎn)向的必要措施了．他在《理想國(guó)》第七卷中說(shuō)：“對(duì)于那些將來(lái)要在城邦肩負(fù)重任的人們，尤其要力勸他們學(xué)習(xí)算術(shù)，且不可象常人那樣淺嘗即止，而必須潛心研習(xí)，直到能從純理性上洞察數(shù)的本質(zhì)．因?yàn)閷?duì)他們來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)算術(shù)的目的不是象商販那樣為了去做買(mǎi)賣(mài)，而是為了它在軍事上的應(yīng)用，為了靈魂本身去學(xué)的，因?yàn)檫@是使靈魂由變化的現(xiàn)象世界轉(zhuǎn)向真理和實(shí)在的捷徑．”他接著討論了幾何，指出幾何學(xué)“能幫助人們較為容易地把握善理念”．并以肯定的語(yǔ)氣說(shuō)：“因此，我的好朋友，幾何學(xué)將把靈魂引向真理，將締造哲學(xué)精神，使靈魂轉(zhuǎn)向上升，而不是象現(xiàn)今那樣可悲地轉(zhuǎn)向下降．”由以上一些引語(yǔ)可知，柏拉圖確實(shí)是把學(xué)園里的數(shù)學(xué)教育作為引導(dǎo)靈魂轉(zhuǎn)向，培養(yǎng)哲學(xué)家和統(tǒng)治者的必經(jīng)途徑的．柏拉圖倡導(dǎo)多層次的數(shù)學(xué)教育．其最高層次就是在學(xué)園中推行的為培養(yǎng)“英才”服務(wù)的那種數(shù)學(xué)教育．第二層次是培養(yǎng)為“理想國(guó)”服務(wù)的各類知識(shí)分子．即所謂“要用算術(shù)來(lái)訓(xùn)練那些天賦聰穎的人，務(wù)必不要疏忽了這門(mén)學(xué)問(wèn)．”這里的教育對(duì)象只須天賦聰穎，不必具備為選擇統(tǒng)治者所制訂的條件．第三層次是提高庶民的文化知識(shí)水平．即所謂“天性遲鈍的人，倘能接受算術(shù)訓(xùn)練，即使無(wú)其它方面的益處，至少也可變得比以前伶俐些．”這種多層次的數(shù)學(xué)教育，在某種意義上也體現(xiàn)了一種因材施教的原則．柏拉圖接著提出了全體居民學(xué)數(shù)學(xué)的建議：“應(yīng)該嚴(yán)格規(guī)定貴城邦的全體居民務(wù)必學(xué)習(xí)幾何．…，經(jīng)驗(yàn)證明，學(xué)過(guò)幾何的人在學(xué)習(xí)其它任何學(xué)問(wèn)時(shí)，要比未學(xué)過(guò)幾何的人快得多．”柏拉圖在這里首次提出了普及數(shù)學(xué)教育的主張，并且點(diǎn)出了數(shù)學(xué)教育對(duì)于提高智力的功用．柏拉圖還熱心于教學(xué)方法的改進(jìn)．他說(shuō)，不應(yīng)只向人們簡(jiǎn)單地灌輸一堆知識(shí)，而應(yīng)當(dāng)讓他們學(xué)會(huì)通過(guò)表面現(xiàn)象看到事物的深處，看到永恒的實(shí)在，看到藏在萬(wàn)物后面的“善”．為了啟迪思維，柏拉圖善于應(yīng)用“理智助產(chǎn)術(shù)”，通過(guò)問(wèn)答式對(duì)話，引導(dǎo)學(xué)生的思路向深層發(fā)展．他還鼓勵(lì)學(xué)生提出一些問(wèn)題來(lái)讓大家進(jìn)行討論．這些教學(xué)方法即使在今天也還有一定的借鑒意義．在柏拉圖的指導(dǎo)下，學(xué)園的數(shù)學(xué)教育取得極大的成功．在公元前4世紀(jì)的希臘，絕大多數(shù)知名數(shù)學(xué)家都是柏拉圖的學(xué)生或朋友．他們之間經(jīng)常進(jìn)行討論或交流，而柏拉圖學(xué)園則成為開(kāi)展數(shù)學(xué)交流活動(dòng)的中心場(chǎng)所．他們以柏拉圖為核心形成一個(gè)學(xué)派，史稱柏拉圖學(xué)派．其中泰特托斯(約公元前415—前369年)是雅典人，