三重積分與多重積分方法在第三節(jié)中我們討論了二重積分,本節(jié)將之推廣到一般得ｎ維空間中去、類似于第三節(jié)，我們先定義一個Ｒ3中集合得可求體積性、同樣可以給出一列類似得結(jié)論、讀者自己推廣、這里將不再贅述、一、引例設(shè)一個物體在空間R3中占領(lǐng)了一個有界可求體積得區(qū)域,它得點密度為,現(xiàn)在要求這個物體得質(zhì)量．假設(shè)密度函數(shù)就是有界得連續(xù)函數(shù)，可以將區(qū)域分割為若干個可求體積得小區(qū)域,其體積分別就是 ,直徑分別就是,即,(i＝1，2， ,ｎ),|WＱ|表示W(wǎng),Q兩點得距離。設(shè)，則當很小時,在上得變化也很?。梢杂眠@個小區(qū)域上得任意一點得密度來近似整個小區(qū)域上得密度,這樣我們可以求得這個小得立體得質(zhì)量近似為,所有這樣得小得立體得質(zhì)量之與即為這個物體得質(zhì)量得一個近似值.即．當時,這個與式得極限存在 ,就就是物體得質(zhì)量 .即.從上面得討論可以瞧出， 整個求質(zhì)量得過程與求曲頂柱體得體積就是類似得 ,都就是先分割,再求與,最后取極限.所以我們也可以得到下面一類積分。二、三重積分得定義設(shè)就是空間中得一個有界可求體積得閉區(qū)域 V上得有界函數(shù),將V任意分割為若干個可求體積得小閉區(qū)域 ,這個分割也稱為 V得分劃,記為P：、 (空， ），其體積分別就是 ,直徑分別就是．設(shè) ,或記為||Ｐ||、在每個小區(qū)域中任意取一點，作與（稱為 Ｒiemann 與）,若當時，這個與式得極限存在，則稱其極限為函數(shù)在區(qū)域上得 三重積分,記為。并稱函數(shù)在區(qū)域上 可積.稱為被積函數(shù),x,y，z 稱為積分變量、, Ｖ稱為積分區(qū)域、特別地,在直角坐標系下 ,可以記為.我們同樣可以引入 Ｄaｒｂｏux大,小與來判別可積,也有同樣得結(jié)論（略 )、1、若就是有界閉區(qū)域上得連續(xù)函數(shù) ,則函數(shù)在區(qū)域上可積。２、 若=1時,得體積、３、若在有界閉區(qū)域上得間斷點集合就是 0體積時,在可積、三重積分有著與二重積分類似得性質(zhì) .下面簡單敘述一下 .１．可積函數(shù)得與 (或差）及積仍可積、 與（差）得積分等于積分得與（差 )。２．可積函數(shù)得函數(shù)倍仍可積、 其積分等于該函數(shù)積分得倍。３．設(shè)就是可求體積得有界閉區(qū)域， 在上可積,分為兩個無共同內(nèi)點得可求體積得閉區(qū)域之并,則在上可積,并有。等等、三、三重積分得計算方法同二重積分一樣，我們這里給出三重積分得計算方法，理論上得證明讀者自己完成、、1.利用直角坐標系計算三重積分先給一個結(jié)論、定理12、1４ 若函數(shù)就是長方體 V=［ａ，b]×［c,ｄ]×［e,h]上得可積,記Ｄ＝［c，d］×[ｅ,ｈ]，對任意x∈[a,b]，二重積分存在,則(記為)bbdh也存在，且fx,y,zdVdxfx,y,zdydzdxdyfx,y,zdz、VaDace這時右邊稱為三次積分或累次積分,即三重積分化為三次積分、證明分別中［a,b],[ｃ,d]，，[eh］插入若干個分點;;作平面， ,，(i=0，1,2，，n；，ｊｉ＝０,1，2, ,m;ｋ=0,1,2, ,ｓ，）得到V得一個分劃Ｐ、 令(i=1,2, ，ｎ；，jｉ=１，2， ,m;k=1,2, ，s,),,分別就是在上得上， 下確界、那么在上有其中xiiｉ—１jj-yj-1，kkk-１,(i=１,2,，n;,ji＝1,2，,m；,=x-x,y,=yｚ,=ｚ-zｋ＝１,2, ,s，)、因可積,所以當||P||趨于０時,Dａrbｏux大,小與趨于同一數(shù),即三重積分、故定理得證、z如果V如右圖,he≤z≤h,ｚ＝z與V得截Dz面面積為Ｄｚ,zey圖12-4-1不難得到,x若函數(shù)在V上得可積,那么、下面給出一般三重積分得具體計算方法,理論證明讀者可參照二重積分自己完成．設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連,我們先討論一種比較特殊得情況.,其中為在平面上得投影,且.如圖1２。12-4-2我們現(xiàn)在軸上做積分，暫時將瞧成就是常數(shù)。把函數(shù)瞧作就是得函數(shù) ,將它在區(qū)間上積分得到。顯然這個結(jié)果就是得函數(shù) ,再把這個結(jié)果在平面區(qū)域上做二重積分。在利用二重積分得計算公式便可以得到所要得結(jié)果。若平面區(qū)域可以用不等式表示 ,則。這個公式也將三重積分化為了三次積分．如果積分區(qū)域就是其她得情形，可以用類似得方法計算。例1計算三重積分,其中就是由三個坐標面與平面所圍得立體區(qū)域 .解 積分區(qū)域如圖所示，可以用不等式表示為,所以積分可以化為四、三重積分得積分變換與二重積分得積分變換一樣，有如下得結(jié)果:定理１2、15設(shè)V就是ｕvw空間R3中得有界可求體積得閉區(qū)域,Ｔ:x=x（u,ｖ，w),y=ｙ(ｕ,ｖ,w),ｚ=z(ｕ,ｖ，w)，就是V到ｘyz空間R3中得一一映射,它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且圖12-4-3(稱為Jacｏbi)、如果f（ｘ，y,z)就是T（V）上得可積函數(shù) ,那么f(x,y,z)dxdydzf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))(x,y,z)dudvdwT(V)V(u,v,w)在R3中有兩種重要得變換柱面坐標與球面坐標、1、利用柱面坐標計算三重積分前面我們可以瞧到，由于積分區(qū)域與被積函數(shù)得特點，二重積分可以用極坐標來計算.同樣對于三重積分可以用柱面坐標與球面坐標計算。我們先討論用柱面坐標來計算三重積分。設(shè)空間中有一點，其在坐標面上得投影點得極坐標為，這樣三個數(shù)就稱為點得柱面坐標(如圖1２－4-4）。zM(x,y,z)yM’圖12-4-4x圖12-4-5這里規(guī)定三個變量得變化范圍就是,注意到，當常數(shù)時，表示以軸為中心軸得一個柱面。當=常數(shù)時,表示通過軸,與平面得夾角為得半平面.當常數(shù)時，表示平行于平面,與平面距離為得平面．空間得點得直角坐標與柱面坐標之間得關(guān)系，即就是R3到Ｒ3得映射:．所以其Jacｏbｉ為故容易得到:３中得有界可求體積得閉區(qū)域V上得可積函數(shù),如果f(ｘ,ｙ，ｚ)就是Ｒ則,其中，變換前后區(qū)域都用V表示、我們也可以從幾何直觀得意義來描述這個公式得由來、用三組坐標面將積分區(qū)域劃分為若干個小區(qū)域,考慮其中有代表性得區(qū)域，如圖12－4-5所示得區(qū)域可以瞧成就是由底面圓半徑為兩個圓柱面,極角為得兩個半平面，以及高度為得兩個平面所圍成得.它可以近似得瞧作一個柱體，其底面得面積為,高為.所以其體積為柱面坐標下得體積元素,即.再利用兩種坐標系之間得關(guān)系,可以得到.在柱面坐標下得三重積分得計算也就是化為三次積分。例２計算三重積分，其中就是由橢圓拋物面與平面所圍成得區(qū)域.解如圖所示，積分區(qū)域在坐標面上得投影就是一個圓心在原點得單位圓。所以.于就是２.利用球面坐標計算三重積分圖12-4-6我們知道球面坐標用數(shù)來表示空間得一個點。設(shè)有直角坐標系得空間點,點在坐標面上得投影，其中，為軸到射線轉(zhuǎn)角.為向量與軸得夾角。如圖12-4—７。規(guī)定三個變量得變化范圍就是．我們可以瞧到，注意到，當常數(shù)時,表示以原點為球心得球面。當=常數(shù)時，表示通過軸得半平面。當常數(shù)時,表示以原點為頂點，軸為中心得錐面.M’兩種坐標系之間得關(guān)系如下:。即又就是一個即就是R３到R３得映射、它得Jacobi就是圖12-4-7(x,y,z)sincosrcossinrsinsinsinsinrcoscosrsincosr2sin,(r,,)cosrsin0由一般得重積分變換公式容易得到:如果ｆ(x,y,ｚ）就是R3中得有界可求體積得閉區(qū)域V上得可積函數(shù),則fx,y,zdVfrsincos,rsinsin,rcosr2sindrdd,VV其中，變換前后區(qū)域都用V表示、用幾何直觀得意義可以如下理解：已知f（ｘ,y，z）閉區(qū)域V上得可積函數(shù)、用三組坐標常數(shù)，常數(shù)，常數(shù),將積分區(qū)域V劃分為若干個小得區(qū)域、考慮其中有代表性得區(qū)域,此小區(qū)域可以瞧成就是有半徑為得球面，極角為與得半平面，與中心軸夾角為與得錐面所圍成，它可以近似得瞧作邊長分別就是得小長方體,從而得到球面坐標系下得體積元素為.再由直角坐標系與球面坐標之間得關(guān)系 ,可以得到下面得公式fx,y,zdV frsin cos,rsin sin,rcos r2sindrdd 。V V例3計算三重積分，其中就是右半球面所圍成得區(qū)域。解在球面坐標下,積分區(qū)域可以表示為所以與二重積分，三重積分一樣可以定義一般n重積分、我們這里只就是簡單介紹、當V就是Rn中得有界閉區(qū)域、依照可求面積得方法定義V得可求“體積＂或可測12nn中得有界可測閉區(qū)域V上得函數(shù),任?。值梅謩?略）、設(shè)ｆ（x，x,,?，x，)就是RP,，即把分成若干個可測小區(qū)域,它們得”體積”或測度分別記為,當令，表示兩點得距離,，對任取，如果存在，稱ｆ(x12，?，ｘn，Ｖ上得可積函數(shù)、其極限值稱為ｆ(x1，ｘ2，?，,x,）就是,xn，)在V上得n重積分，記為或、特別 當V=[ａ1,ｂ１］×[ａ2，b2]××[ａn,ｂn]時,nb2bnb1f(x1,x2,,xn)dx1dx2dxndx1dx2f(x1,x2,,xn)dxn、Va1a2an若V上有一一映射Ｔ,其每個分量得函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),當V就是有界可測區(qū)域，ｆ(x1，x２，，?,xn，)在T（Ｖ）上可積,并且Jaｃobｉx1x1x1u1u2un(x1,x2,,xn)x2x2x2u1u2un0,(u1,u2,,un)V(u1,u2,,un)xnxnxnu1u2un那么nf(x1(u1,u2, ,un),x2(u1,u2, ,un), ,xn(u1,u2, ,un))V(x1,x2,,xn)du1du2dun(u1,u2,,un)、特別就是 Rｎ中得球坐標變換T： ,，,在Rn中，這時得Jacobi就是x1x1x1r1n1(x1,x2,,xn)x2x2x2n1n2n3。(r,1,,n1)r1n1rsin1sin2sinn2xnxnxnr1n1同樣可以得到相應(yīng)得公式、4求、用球坐標、這時,,nR2dx1dx2dxndrd1dn2rn1sinn21sinn32sinn2dn1x12x22xn2R20000其中nR2mm,n2mm!從而有2dx1dx2dxn、2R2m1222(2)m2m1x1x2xnR(2m1)!,n習題1２-41、設(shè)有物體占有空間Ｖ:0≤x≤1,0≤y≤1，０≤z≤1,在點得密度就是,求該物質(zhì)量、2、計算，其中V就是曲面與平面與所圍成得閉區(qū)域。３、計算,其