第講

用向量法解立體幾何問題．在正方體

ABCDABCD1

中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量

C

的共有（）①（

AB)

②

(AAD)C11

③

(BB)1

④

(AA)BC（A）個（）2個（）個（D）個．已知AC

三點不共線，點

是平面ABC

外一點，則下列各條件中，能得到點

與ABC

一定共面的條件為（）（A）

12

（B

OC（C）

OB

（D

13在方體—ACD中是CC的點則線DE所角的大小為．1111．正方體ABD中，O是底面ABCD中心，若棱長為a，則三棱錐OD的體積111為．一、典型例題例1正體—CD中，則異面直線AC與的角為（）1111（A）°（B）°（）°（）90例2已知正方體ABCD-ACD的長為１M在棱上111

AM

點P是面的動點，且點到直線AD的距離點P到點M的距離的平方差為，則點的跡是1（）（A）拋物線（B）雙曲C）直線（D）以上都不是例3過方形ABCD的頂點A引PA⊥面，若=，則平面ABP和面所的二面角的大小是．例4四柱－ACD中，給出三個結(jié)論：111（1四棱柱－B為直四棱柱）面ABCD為形；111（）AC⊥．其中兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，可以得到三個命題，其中正111確命題的個數(shù)為．例5如，在三棱椎中PA⊥平面ABC點，AB=AC=，PA．（Ⅰ）求直線PA與面DEF所角的大?。唬á颍┣簏cP平面DEF的離．

90,

D、、F分是棱AB、BC的中F

C例6如，在正三棱柱C—中，D，分是11棱BC

的中點AB=AA=2．1(Ⅰ)證明：

BE1

；Ⅱ求二面角

BD1

的大??；(Ⅲ）求異面直線AB與BE的離．1

3333第30用向量法解立體幾何問題

過關(guān)練習(xí)．已知直線l平面α，直線m

平面β，下面四個命題：lm；②l

；③l//m④l//

，其中正確的兩個命題的序號是

（）（A）①與（）③④（）②與④（D）①與③棱為正方體－AD中P是角AC上點PQ=111的體積為（）

a2

三錐－BDQ（A）

3（a（C

3

（D）無法確定．間四邊形每邊及對角線長均為

，,,分是,,的點，則（A）

B．1

（

（）

三棱錐PABC中底面邊長為長棱底面所成角的大小______________．已知正方體ABCDA的棱長是在正方體的側(cè)面上到點距離為111形成一條曲線，那么這條曲線的形狀是，它的長度是．

3

的點的集合．正方體ABCDCD中O是上底面ABCD中，棱長為a則三棱錐ABD的積111為．．如圖，在棱長為2正方體ABCDBD中F分為的點G分為BC、111BD的點．11（1求異面直線GH與DF的成角的大??；（2指出直線與面EFDB的置關(guān)系．如已正四棱柱ACD點在上截面EACDB且EAC與面ABCD1111所成的角為，AB=．(Ⅰ)求畫EAC的積；(Ⅱ)求證：直線DB⊥平面EAC；1(Ⅲ)求三棱錐B—的體積．1

111111．

．

．

．

例1．

例．

例

0

例例5

解）以為坐標(biāo)原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系易知000(,0),F,1)AP(0,0,2),221,0,,1)，,y,z是平面DEF的一個法向量，2則即DF

21y2

，取x=1,則n)，設(shè)與平面所成的角則sin

|PA|1|||n|例6

證明）以A為原點，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，易知各點坐標(biāo)(,1,0)，(E(0,2,1),則AB3,1,2),BE，1ABBE3,1,2)1

(3,1,1)ABBE1（Ⅱ）易知D(

即AB113，,y,)是平的一個法11向量則

xy1xyz11

令x3,1

3則3,3,0),,，AB3,1,2)，設(shè)x,)是平面DAB一個法向，則21

33y23xy22

，令3,

則n3,設(shè)二面角BAB為，cos21

|n|615|n||n|1212（Ⅲ）

x,y,)是與的法向量則1

3y3y

，可得：,取y

可知

33