平面問題的極坐標(biāo)解答要點：（1）極坐標(biāo)中平面問題的基本方程：——平衡方程、幾何方程、物理方程、相容方程、邊界條件。（2）極坐標(biāo)中平面問題的求解方法及應(yīng)用應(yīng)用：圓盤、圓環(huán)、厚壁圓筒、楔形體、半無限平面體等的應(yīng)力與變形分析。彈性力學(xué)§4-1極坐標(biāo)中的平衡微分方程§4-2極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程§4-3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程§4-4應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式§4-5軸對稱應(yīng)力與相應(yīng)的位移§4-6圓環(huán)或圓筒受均布壓力壓力隧洞§4-7曲梁的純彎曲§4-8圓盤在勻速轉(zhuǎn)動中的應(yīng)力與位移§4-9圓孔的孔邊應(yīng)力集中§4-10楔形體的楔頂與楔面受力§4-11半平面體在邊界上受法向集中力§4-12半平面體在邊界上受法向分布力主要內(nèi)容

彈性力學(xué)§4-1極坐標(biāo)中的平衡微分方程1.極坐標(biāo)中的微元體xyOPABC體力：應(yīng)力：PA面PB面BC面BC面應(yīng)力正向規(guī)定：正應(yīng)力——拉為正，壓為負；剪應(yīng)力——

r、θ的正面上，與坐標(biāo)方向一致時為正；r、θ的負面上，與坐標(biāo)方向相反時為正。彈性力學(xué)xyOPABC2.平衡微分方程考慮微元體平衡（取厚度為1）：將上式化開：（高階小量，舍去）彈性力學(xué)xyOPABC兩邊同除以：兩邊同除以，并略去高階小量：彈性力學(xué)xyOPABC——剪應(yīng)力互等定理于是，極坐標(biāo)下的平衡方程為：（4－1）方程（4－1）中包含三個未知量，而只有二個方程，是一次超靜定問題，需考慮變形協(xié)調(diào)條件才能求解。彈性力學(xué)§4-2極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程1.幾何方程xyOPAB(1)只有徑向變形，無環(huán)向變形。徑向線段PA的相對伸長：（a）徑向線段PA的轉(zhuǎn)角：（b）線段PB的相對伸長：（c）環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角：（d）彈性力學(xué)xyOPBA徑向線段PA的相對伸長：（a）徑向線段PA的轉(zhuǎn)角：（b）環(huán)向線段PB的相對伸長：（c）環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角：（d）剪應(yīng)變?yōu)椋海╡）彈性力學(xué)yxOPBA(2)只有環(huán)向變形，無徑向變形。徑向線段PA的相對伸長：（f）徑向線段PA的轉(zhuǎn)角：（g）環(huán)向線段PB的相對伸長：環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角：（h）（i）剪應(yīng)變?yōu)椋海╦）彈性力學(xué)(3)總應(yīng)變整理得：（4－2）——極坐標(biāo)下的幾何方程彈性力學(xué)2.物物理方程程平面應(yīng)力力情形：：平面應(yīng)變變情形：：（4－3）（4－4）彈性力學(xué)學(xué)彈性力學(xué)學(xué)平面問問題極坐坐標(biāo)求解解的基本本方程：：平衡微分分方程：：（4－1）幾何方程程：（4－2）物理方程程：（4－3）(平面應(yīng)應(yīng)力情形形)彈性力學(xué)學(xué)邊界條件件：位移邊界界條件：：應(yīng)力邊界界條件：：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。（位移單單值條件件）rrr彈性力學(xué)學(xué)rlr彈性力學(xué)學(xué)a取半徑為為a的半圓分分析，由由其平衡衡得：彈性力學(xué)學(xué)彈性力學(xué)學(xué)§4-3極坐坐標(biāo)中的的應(yīng)力函函數(shù)與相相容方程程1.直直角坐標(biāo)標(biāo)下變形形調(diào)方程程（相容容方程））（2-22）（2-23）（平面應(yīng)應(yīng)力情形形）（2-25）(2-27)(2-26)應(yīng)力的應(yīng)應(yīng)力函數(shù)數(shù)表示：：彈性力學(xué)學(xué)2.極極坐標(biāo)下下的應(yīng)力力分量與與相容方方程方法1：：（步驟驟）（1）利利用極坐坐標(biāo)下的的幾何方方程，求求得應(yīng)變變表示的的相容方方程：（2）利利用極坐坐標(biāo)下的的物理方方程，得得應(yīng)力表表示的相相容方程程：（常體力力情形））（3）利利用平衡方程程求出用應(yīng)應(yīng)力函數(shù)數(shù)表示的的應(yīng)力分分量：（4）將將上述應(yīng)應(yīng)力分量量代入應(yīng)應(yīng)力表示示的相容容方程，，得應(yīng)力力函數(shù)表表示的相相容方程程：（常體力力情形））彈性力學(xué)學(xué)方法2：：（用極極坐標(biāo)與與直角坐坐標(biāo)之間間的變換換關(guān)系求求得到））xyOrPxy（1）極極坐標(biāo)與與直角坐坐標(biāo)間的的關(guān)系：：（2）應(yīng)應(yīng)力分量量與相容容方程的的坐標(biāo)變變換：應(yīng)力分量量的坐標(biāo)標(biāo)變換彈性力學(xué)學(xué)(a)(b)彈性力學(xué)學(xué)(c)xyOrPxy由直角坐坐標(biāo)下應(yīng)應(yīng)力函數(shù)數(shù)與應(yīng)力力的關(guān)系系（2－－26））：彈性力學(xué)學(xué)彈性力學(xué)學(xué)極坐標(biāo)下下應(yīng)力分分量計算算公式：：（4－5）可以證明明：式（（4－5）滿足足平衡方方程（4－1））。相容方程程的坐標(biāo)標(biāo)變換說明：式式（4－－5）僅僅給出體體力為零零時的應(yīng)應(yīng)力分量量表達式式。彈性力學(xué)學(xué)相容方程程的坐標(biāo)標(biāo)變換(a)(b)將式(a)與(b)相相加，得得彈性力學(xué)學(xué)得到極坐坐標(biāo)下的的Laplace微分分算子：：極坐標(biāo)下下的相容容方程為為：（4－6）方程（4－6））為常體體力情形形的相容容方程。。說明：彈性力學(xué)學(xué)彈性力學(xué)學(xué)極坐標(biāo)標(biāo)求解歸歸結(jié)為結(jié)論：（1）由問題的的條件求求出滿足足式（4－6））的應(yīng)力力函數(shù)（4－6）（2）由式（4－5））求出相相應(yīng)的應(yīng)應(yīng)力分量量：（4－5）（3）將上述應(yīng)力分量滿足問題的邊界條件：位移邊界界條件：：應(yīng)力邊界界條件：：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。（位移單單值條件件）彈性力學(xué)學(xué)3.軸軸對稱問問題應(yīng)力力分量與與相容方方程軸對稱問問題：qO（4－5）（4－6）由式（4－5））和（4－6））得應(yīng)力力分量和和相容方方程為：：（4－10）應(yīng)力分量量：相容方程程：彈性力學(xué)學(xué)§4-4應(yīng)應(yīng)力分量量的坐標(biāo)標(biāo)變換式式(1)用極坐標(biāo)標(biāo)下的應(yīng)應(yīng)力分量量表示直直角坐標(biāo)標(biāo)下的應(yīng)應(yīng)力分量量(2)用直角坐坐標(biāo)下的的應(yīng)力分分量表示示極坐標(biāo)標(biāo)下的應(yīng)應(yīng)力分量量（4－8）（4－9）彈性力學(xué)學(xué)§4-5軸軸對稱稱應(yīng)力與與相應(yīng)的的位移求解方法法：——逆解解法1.軸軸對稱問問題應(yīng)力力分量與與相容方方程（1）應(yīng)應(yīng)力分量量（4－10）（2）相相容方程程2.相相容方程程的求解解將相容方方程表示示為：4階變系系數(shù)齊次次微分方方程將其展開開，有彈性力學(xué)學(xué)——4階變系數(shù)齊次微分方程方程兩邊同乘以：——Euler齊齊次微分分方程令：有代入上述方程其特征方程為方程的特征值彈性力學(xué)學(xué)方程的特特征根為為：于是，方方程的解解為：將代回：（4－11）——軸軸對稱稱問題相相容方程程的通解解，A、B、C、D為待定常常數(shù)。3.應(yīng)應(yīng)力力分量（4－10）將方程（（4-11）代代入應(yīng)力力分量表表達式（4－12）——軸軸對稱稱平面問問題的應(yīng)應(yīng)力分量量表達式式彈性力學(xué)學(xué)4.位移分量對于平面面應(yīng)力問問題，有有物理方方程（a）積分式（（a），，有彈性力學(xué)學(xué)（b）——是任意的待定函數(shù)將式（b）代入入式（a）中第第二式，，得將上式積積分，得得:（c）——是r任意函數(shù)將式（b）代入入式（c）中第第三式，，得或?qū)懗桑海阂乖撌绞匠闪?，，兩邊須須為同一一常?shù)。。彈性力學(xué)學(xué)（d）（e）式中F為常數(shù)。。對其積積分有：：（f）其中H為常數(shù)。對式式（e）兩邊邊求導(dǎo)其解為：（g）（h）將式（f）（（h）代入入式（b）（（c），得得（b）（c）（4-13））彈性力學(xué)平面軸對稱問問題小結(jié)：（4－11））（1）應(yīng)力函數(shù)（2）應(yīng)力分量（4－12））（3）位移分量（4-13））式中：A、B、C、、H、I、K由應(yīng)力和位移移邊界條件確確定。彈性力學(xué)（3）位移分量（4-13）式中：A、B、C、H、I、K由應(yīng)力和位移邊界條件確定。由式（4-13）可以看看出：應(yīng)力軸對稱并并不表示位移移也是軸對稱稱的。但在軸對稱應(yīng)應(yīng)力情況下，，若物體的幾幾何形狀、受受力、位移約約束都是軸對對稱的，則位位移也應(yīng)該是是軸對稱的。。這時，物體體內(nèi)各點都不不會有環(huán)向位移，，即不論r和θ取何值，都應(yīng)應(yīng)有：。。對這種情形，，有式（4-13）變?yōu)椋篬4-13（（a）]彈性力學(xué)彈性力學(xué)平面面問題極坐標(biāo)標(biāo)求解的基本本方程：平衡微分方程程：（4－1）幾何方程：（4－2）物理方程：（4－3）(平面應(yīng)力情情形)彈性力學(xué)彈性力學(xué)平面面問題極坐標(biāo)標(biāo)求解步驟：：（1）由問題的條件件求出滿足式式（4－6））的應(yīng)力函數(shù)數(shù)（4－6）（2）由式（4－5）求出相應(yīng)應(yīng)的應(yīng)力分量量：（4－5）（3）將上述應(yīng)力分量滿足問題的邊界條件：位移邊界條件件：應(yīng)力邊界條件件：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。（位移單值條條件）彈性力學(xué)平面軸對稱問問題的求解：：（4－11））（1）應(yīng)力函數(shù)（2）應(yīng)力分量（4－12））（3）位移分量（4-13））式中：A、B、C、、H、I、K由應(yīng)力和位移移邊界條件確確定。對于多連體問問題，位移須須滿足位移單單值條件。彈性力學(xué)極坐標(biāo)下的平面問題的基基本方程（4－2）幾何方程：（4－1）物理方程：（4－3）平面應(yīng)力情形形（4－4）平面應(yīng)變情形形平衡微分方程：彈性力學(xué)邊界條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。（位移單值條條件）相容方程：（4－6）——常體力情形的相容方方程。應(yīng)力分量計算算式：（4－5）彈性力學(xué)彈性力學(xué)極坐坐標(biāo)求解歸結(jié)結(jié)為（1）由問題的條件求出滿足式（4－6）的應(yīng)力函數(shù)（4－6）（2）由式（4－5）求出相應(yīng)的應(yīng)力分量：（4－5）（3）將上述應(yīng)力分量滿足問題的邊界條件：位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：（位移單值條條件）彈性力學(xué)（1）應(yīng)力分分量（4－10）（2）相容方方程軸對稱問題的的應(yīng)力分量與與相容方程：：彈性力學(xué)平面軸對稱問問題小結(jié)：（4－11）（1）應(yīng)力函數(shù)（2）應(yīng)力分量（4－12）（3）位移分量（4-13）式中：A、B、C、H、I、K由應(yīng)力和位移邊界條件確定。彈性力學(xué)§4-6圓圓環(huán)或圓筒筒受均布壓力力壓力隧隧洞1.圓圓環(huán)或圓筒受受均布壓力已知：求：應(yīng)力分布布。確定應(yīng)力分量量的表達式：：（4－12）邊界條件：（a）將式（4-12）代入，，有：（b）彈性力學(xué)（b）式中有三個未未知常數(shù)，二二個方程不通通用確定。對于多連體問問題，位移須須滿足位移單單值條件。位移多值項要使單值，須須有：B=0，，由式（b））得將其代回應(yīng)力力分量式（4-12），，有：彈性力學(xué)（4-14））（1）若：(二向等壓壓情況)（2）若：（壓應(yīng)力）（拉應(yīng)力）彈性力學(xué)（3）若：（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）（4）若：——具有有圓形孔道的的無限大彈性性體。邊緣處的應(yīng)力力：彈性力學(xué)2.壓力隧隧洞問題：厚壁圓筒埋在在無限大彈性性體內(nèi)，受內(nèi)內(nèi)壓q作用，求圓筒筒的應(yīng)力。1.分析析：與以前相比較較，相當(dāng)于兩兩個軸對稱問問題：(a)受內(nèi)外壓力作作用的厚壁圓圓筒；(b)僅受外壓作用用的無限大彈彈性體。確定外壓p的兩個條件：：徑向變形連續(xù)續(xù)：徑向應(yīng)力連續(xù)續(xù)：2.求解解彈性力學(xué)2.求解解(1)圓圓筒的應(yīng)力與與邊界條件應(yīng)力：（a）邊界條件：(2)無無限大彈性體體的應(yīng)力與邊邊界條件應(yīng)力：（b）邊界條件：將式（a）、、（b）代入入相應(yīng)的邊界界條件，得到到如下方程：：彈性力學(xué)4個方程不能能解5個未知知量，需由位移連續(xù)續(xù)條件確定。。上式也可整理理為：(c)(d)彈性力學(xué)利用：(e)要使對任意的成立，須有(f)對式（f）整整理有，有0彈性力學(xué)(g)式（g）中：：將式（g）與與式（c）（（d）聯(lián)立求求解(c)(d)（4-16））當(dāng)n<1時時，應(yīng)力分布布如圖所示。。彈性力學(xué)討論：（1）壓力隧洞問題題為最簡單的的接觸問題（（面接觸）。。完全接觸：接觸面間既不不互相脫離，，也不互相滑滑動。接觸條條件為應(yīng)力：位移：（1）非完全接觸（（光滑接觸））應(yīng)力：位移：接觸條件：彈性力學(xué)§4-7曲曲梁的純純彎曲1.問問題及其描述述矩形截面曲梁梁：內(nèi)半徑為為a，外半徑為b，在兩端受有有大小相等而而轉(zhuǎn)向相反的的彎矩M作用（梁的厚厚度為單位1），O為曲梁的曲率率中心，兩端端面間極角為為β。取曲梁的曲率率中心O為坐標(biāo)的原點點，并按圖示示建立坐標(biāo)系系。由于各截面上上彎矩M相同，因而可可假定各截面面上應(yīng)力相同同，構(gòu)成一軸軸對稱問題（（對稱軸為z軸）。2.應(yīng)應(yīng)力分量1.曲梁的的應(yīng)力彈性力學(xué)3.邊界界條件——自然滿滿足（1）（2）將應(yīng)力分量代代入，有（a）（b）注：此處為單連體體問題，（3）端部：（c）（d）由軸對稱問題題應(yīng)力分量式式將其代入式（（c）彈性力學(xué)（c）（d）軸對稱問題應(yīng)力分量式：代入式（c）），有代入式（d）），有（分部積分））00彈性力學(xué)將其代入，有有整理，有（