2021-2022學(xué)年江蘇省南京秦淮區(qū)五校聯(lián)九年（上）期中數(shù)學(xué)卷

下列方程是一元二次方程的是

用配方法解方程

B.C.D.時(shí)，配方后所得的方程

B.C.D.如果一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是，么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是

如圖，在以點(diǎn)

B.C.D.為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦與小圓相切，切點(diǎn)為

，若大圓的半徑是，小圓的

半徑是，的長(zhǎng)為B.C.D.某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批襯衫，平均每天可售出

件，每件盈利

元，為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，商場(chǎng)采取降價(jià)措施，假設(shè)一定范圍內(nèi)，襯衫單價(jià)每降元，商場(chǎng)平均每天可多售出件如銷(xiāo)售這批襯衫每天盈利程C.

元，設(shè)襯衫單價(jià)降了元根據(jù)題意列B.D.

如圖，

中，

，

，

，點(diǎn)

從

點(diǎn)出發(fā)

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

停止

作射線的垂線，垂足為B.C.

，點(diǎn)

運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為第1頁(yè)，共頁(yè)

D.方程

的解是．

一鞋店試銷(xiāo)一種新款式鞋，試銷(xiāo)期間賣(mài)出情況如表：型號(hào)數(shù)量雙鞋店經(jīng)理最關(guān)心哪種型號(hào)鞋暢銷(xiāo)，則下列統(tǒng)計(jì)量對(duì)鞋店經(jīng)理來(lái)說(shuō)最有意義的是填平均數(shù)”、“眾數(shù)”或“中位數(shù)”9.若一個(gè)正方形的外接圓的半徑為，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．10.如圖五邊形

是正五邊形，過(guò)點(diǎn)

作

的垂線交

于點(diǎn)，11.設(shè)，是于的程

的兩個(gè)根

．12.將圓的側(cè)面沿一條母線剪并展平以得到一個(gè)扇形若圓錐的底面圓的半徑，圓錐的母線長(zhǎng)，則扇形的圓心角的度數(shù)_13.超市定招聘一名廣告策劃員，某應(yīng)聘者三項(xiàng)素質(zhì)測(cè)試的成績(jī)?nèi)绫恚簻y(cè)試項(xiàng)目

創(chuàng)新能力

綜合知識(shí)

語(yǔ)言表達(dá)測(cè)試成績(jī)分如果將創(chuàng)新能力、綜合知識(shí)和語(yǔ)言表達(dá)三項(xiàng)測(cè)試成績(jī)按：：的例計(jì)入總成績(jī)，則該應(yīng)聘者的總成績(jī)分．14.如圖

是

的外心，

，

足分別為

、、分別是

、

的中點(diǎn)，連接

，若

，則

．第2頁(yè)，共頁(yè)

15.百度科這樣定義凹四邊形四形的某邊向兩方延長(zhǎng)其各邊有不在延長(zhǎng)所得直線的同一旁樣的四邊形叫做凹四邊形．關(guān)于凹四邊形下結(jié)論：；

如圖，若

，

，則

；若

，則

；存在凹四邊形

，有

，．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)．16.如圖在四邊形別取一點(diǎn)、，

中，，的周長(zhǎng)最小，則

，在

、

上分17.解方：．第3頁(yè)，共頁(yè)

18.解方

．19.閱讀方程的途徑．方程的解法不盡相同是們一個(gè)共同的數(shù)學(xué)思--轉(zhuǎn)化把未知轉(zhuǎn)化為已知，用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解決一些新的方程．請(qǐng)用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，填寫(xiě)如圖的空格．求方程

的解．第4頁(yè)，共頁(yè)

20.某校展了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽競(jìng)賽成績(jī)?yōu)榘俜种?，并隨機(jī)抽取了績(jī)本競(jìng)賽沒(méi)有滿分，過(guò)理數(shù)據(jù)得到以下信息：

名學(xué)生的競(jìng)賽成信息一：

名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)頻數(shù)分布直方圖如圖所示，從左到右依次為第一組到第五組每數(shù)據(jù)含前端點(diǎn)值，不含后端點(diǎn)值．信息二：第三組的成績(jī)單：為根據(jù)信息解答下列問(wèn)題：補(bǔ)全第二組頻數(shù)分布直方圖直在圖中補(bǔ)全；第三組競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)分，抽取的分；

名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)是若該校共有

名學(xué)生參賽，請(qǐng)估計(jì)該校參賽學(xué)生成績(jī)不低于

分的人數(shù)．第5頁(yè)，共頁(yè)

21.如圖

的弦

、

相交于點(diǎn)且求證

．22.已知于的程

為常數(shù)．求證：不論

為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若方程有一個(gè)根是

，求

的值．23.如圖

、

分別是

的切線，、為點(diǎn)，是法求

的直徑已知的度數(shù)．

請(qǐng)兩種方第6頁(yè)，共頁(yè)

24.請(qǐng)用刻度直尺按要求畫(huà)圖不寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡．用線表示畫(huà)圖過(guò)程，實(shí)線表示畫(huà)圖結(jié)果如圖，正方形網(wǎng)格中，有一經(jīng)過(guò)了兩個(gè)小正方形的頂點(diǎn)，，請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)圓的一條直徑；如圖，

，

是

中的兩條弦，

是

上一點(diǎn)，，圖中畫(huà)一個(gè)含有

角的直角三角形．25.如圖

是

的直徑，點(diǎn)

、

在

上，，過(guò)點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)求證：直線若，

作．是

，垂足為的切線；，則半徑長(zhǎng)為

，交第7頁(yè)，共頁(yè)

．26.

年是中國(guó)歷史上的超級(jí)航天年飛航模專賣(mài)店看準(zhǔn)商機(jī)，月初推出了“天問(wèn)一號(hào)”和“嫦娥五號(hào)”兩款模型．每個(gè)“天問(wèn)一號(hào)”模型的售價(jià)是

元，每個(gè)“嫦娥五號(hào)”模型的售價(jià)是

元，該店在月售出“天問(wèn)一號(hào)”模型

個(gè)，“嫦娥五號(hào)”模型惠活動(dòng)，

個(gè)．該店決定從月日起推出“逐夢(mèng)航天、仰望星空”優(yōu)月份，每個(gè)“天問(wèn)一號(hào)”模型的售價(jià)與月份相同，銷(xiāo)量比月份增加

；每個(gè)“嫦娥五號(hào)”模型的售價(jià)在月份的基礎(chǔ)上降價(jià)用含有的數(shù)式填表不需化：

，銷(xiāo)量比月增加

．月份銷(xiāo)量

銷(xiāo)量的增長(zhǎng)率

月份銷(xiāo)量“天問(wèn)一號(hào)”模型“嫦娥五號(hào)”模型

據(jù)統(tǒng)計(jì)，該店在月的銷(xiāo)售總額比月份的銷(xiāo)售總額增加

，求的．第8頁(yè)，共頁(yè)

27.

在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，王老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：已知線段工具作，嘗試操作后思考：這樣的點(diǎn)唯一嗎？點(diǎn)的位置有什么特征？你有什么感悟？

，使用作圖“追夢(mèng)”學(xué)習(xí)小組通過(guò)操作、觀察、討論后匯報(bào)：點(diǎn)的置不唯一，它在以為弦的圓弧上點(diǎn)

、

除外，

小華同學(xué)畫(huà)出了符合要求的一條圓弧如圖．小華同學(xué)提出了下列問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決．面積的最大值為_(kāi)；

該弧所在圓的半徑長(zhǎng)______；經(jīng)過(guò)比對(duì)發(fā)現(xiàn)明同學(xué)所畫(huà)的角的頂點(diǎn)不在小華所畫(huà)的圓弧上如所示的弓形內(nèi)部，我們記為，你利用圖證明．請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問(wèn)題：如圖，平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)有一點(diǎn)

，坐標(biāo)為

，過(guò)點(diǎn)

作

軸，

軸，垂足分別為

、，點(diǎn)在段

上滑動(dòng)點(diǎn)

可以與點(diǎn)

、

重合，現(xiàn)使得

的位置有兩個(gè)，則

的取值范圍為_(kāi)_____．第9頁(yè)，共頁(yè)

答案和解析1.【答案】【解析】解：

是一元三次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B

是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；C

是分式方程，故本選項(xiàng)符合題意；D.

是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．根據(jù)一元二次方程的定義逐個(gè)判斷即可．本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一個(gè)未知數(shù)且含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是的整式方程一元二次方程．2.【答案】【解析】解：

，，故選：．根據(jù)配方法即可求出答案．本題考查一元二次方程解題的鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法題屬于基礎(chǔ)題型．3.【答案】【解析】解：一多邊形的每?jī)?nèi)角都是這個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是

，，這個(gè)多邊形的邊數(shù)

．故選：．先利用多邊形的每個(gè)外角與相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)得到這個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是，然后根據(jù)邊外角和為第10頁(yè)，共26頁(yè)

即可得到其邊數(shù)．

本題考查了多邊形的內(nèi)角和和外角和定理的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和和外角和定理：邊的內(nèi)角和為；邊外角和為．4.【答案】【解析】解：連接、，圖，為小圓的切線，，，在

中，

，，故選：連接

，．．、，圖，先根據(jù)切線的性得到

，則根據(jù)垂徑定理得到，然后利用勾股定理計(jì)算出

，從而得到

的長(zhǎng)．本題考查了切線的性質(zhì)圓的切垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑考查了垂徑定理和勾股定理．5.【答案】【解析】解：設(shè)每件應(yīng)降價(jià)元

，根據(jù)題意，得故選：．

．由題意，可設(shè)襯衫的單價(jià)應(yīng)下降元?jiǎng)t每天可售出元．再根據(jù)相等關(guān)系：每天的獲利每天售出的件數(shù)

件，每件盈利每件的盈利；列方程即可．考查了一元二次方程的應(yīng)用到目的相等關(guān)系天獲利

每天售出的件數(shù)

每件的盈利；是解答本題的關(guān)鍵，注意判斷所求的解是否符合題意．6.【答案】第11頁(yè)，共26頁(yè)

【解析】解：點(diǎn)在以

為直徑的

，

上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑為，連接，，，

，，的長(zhǎng)為

，故選：

．由

，得點(diǎn)

在以

為直徑的

上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑為，接，代入弧長(zhǎng)公式即可．本題主要考查了圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，確定點(diǎn)在以的關(guān)鍵．7.【答案】【解析】解：，直接開(kāi)平方得，，

為直徑的

上運(yùn)動(dòng)是解題故答案為．利用直接開(kāi)平方法求解即可．本題考查了用直接開(kāi)平方法解一元二次方程這類(lèi)問(wèn)題要移項(xiàng)把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成直接求解．

的形式，利用數(shù)的開(kāi)方用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類(lèi)型有：

；

同號(hào)且；；

同號(hào)且

法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為，開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”．第12頁(yè)，共26頁(yè)

用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)．8.【答案】眾數(shù)【解析解對(duì)這個(gè)鞋店的經(jīng)理來(lái)說(shuō)，他最關(guān)注的是哪一型號(hào)的賣(mài)得最多，即是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．故答案為：眾數(shù)．眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，可能不止一個(gè)，對(duì)這個(gè)鞋店的經(jīng)理來(lái)說(shuō)，他最關(guān)注的是數(shù)據(jù)的眾數(shù)．本題考查學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)量的意義的理解與運(yùn)用學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行合理的選擇和恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用．9.【答案】【解析】解：如圖所示：四邊形

是正方形，，

，是的直徑，，故答案為：．由正方形的性質(zhì)得

是等腰直角三角形，，，，由圓周角定理得

是

的直徑，則是等腰直角三角形，即可解決問(wèn)題．此題主要考查了正多邊形和圓、正方形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【案】【解析】解：五形

是正五邊形，，，，第13頁(yè)，共26頁(yè)

，，，故答案為：．利用多邊形的內(nèi)角和定理可得

得的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理可得，易得結(jié)果．本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解答此題的關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和定理：且為數(shù)．【案】【解析】解：根據(jù)題意，知

，則，將其代入關(guān)于的方程解得．故答案是：．

，得

．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得

，將其代入已知方程，列出關(guān)于

的方程，解方程即可．此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．【案】【解析】解：設(shè)扇形的圓心角的數(shù)是

．根據(jù)題意得

，解得故答案為

．．利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)形半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到，然后解方程即可．本題考查了圓錐的計(jì)算圓錐的面展開(kāi)圖為一扇形個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的第14頁(yè)，共26頁(yè)

周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母長(zhǎng)．【】【解析解：分．則該應(yīng)聘者的總成績(jī)是

分．故答案為：．根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式列出式，再進(jìn)行計(jì)算即可．此題考查了加權(quán)平均數(shù)，掌握加平均數(shù)的計(jì)算公式是本題的關(guān)鍵．【】【解析解：連接，如圖，點(diǎn)

是

的外心，是

三邊垂直平分線的交點(diǎn)，，為

的中點(diǎn)，

為

的中點(diǎn)，是點(diǎn)、是

的中位線，．分別是的中位線．．

的中點(diǎn)，故答案為：．第15頁(yè)，共26頁(yè)

連接用外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)

為

的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，利用三角形的中位線定理即可求得結(jié)論．本題主要考查了三角形的外接圓與外心角形的中位線定理充分利用外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【案】【解析】解：

連接

并延長(zhǎng)至點(diǎn)，圖所：，故在

為為正確；連接，和

的外角，，的外角，，，如圖所示：中，，

．，又，為等腰三角形，，故

正確；若

，由

可得，不能得出

，故

不正確；連接，設(shè)存在凹四邊形，

，有，則在

和

中，第16頁(yè)，共26頁(yè)

，

．，又

，故

不正確；故答案為：連接

．并延長(zhǎng)至點(diǎn)

，由三角形外角的性質(zhì)即可得出

；連接

，

，證明

，由等腰三角形三線合一即可得出；若

，由

可得，能得出；連接，明

進(jìn)行判斷即可．本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、凹四邊形的定義、三角形外角性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，通過(guò)添加輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【案】【解析解如作點(diǎn)

關(guān)于

、

的對(duì)稱點(diǎn)、連、

分別交、于點(diǎn)、，接

、

，則此時(shí)

的周長(zhǎng)最小，，，，第17頁(yè)，共26頁(yè)

，點(diǎn)

關(guān)于、，，

的對(duì)稱點(diǎn)為，

、，，，，故答案為：要使

．的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出點(diǎn)關(guān)于、

的對(duì)稱點(diǎn)，繼而得出

、，，，由得出得出

得出，一得出

可出答案．本題考查了軸對(duì)稱

最短路線問(wèn)題，根據(jù)已知得出、

的位置是解題的關(guān)鍵．【案】解：，，；；，，．【解析本題主要考查了解一元次方程的解法會(huì)熟練運(yùn)用公式法求得一元二次方程的解．此法適用于任何一元二次方程．公式法的步驟：

化方程為一般形式；

找出，，；

求；

代入公式

．【案】解：，，或，

，第18頁(yè)，共26頁(yè)

，．【解析】先把方程變形為本題考查了解一元二次方程

，，再利用因式分解法解方程即可．因式分解法分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【案】解：

，．即或，．故答案為：，；兩邊平方，得整理，得

．．

．，經(jīng)檢驗(yàn)，

．．是增根，舍去．所以原方程的解為

．【解析】

利用因式分解法求出一元二次方程的兩個(gè)根即可；通過(guò)方程兩邊平方，把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，利用一元二次方程的解法求解即可．本題考查了高次方程和無(wú)理方程轉(zhuǎn)化的思想和一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．【案】第19頁(yè)，共26頁(yè)

【解析】解：

人，全頻數(shù)分布直方圖如下：第三組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是

分，共出現(xiàn)次，因此眾數(shù)是

分，將抽取的

名學(xué)生的成績(jī)從小到大排列后，處在中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為分，此中位數(shù)是故答案為：，；人，

分，答：該校

名學(xué)生中成績(jī)不低于

分的大約

人．求出第二組

的頻數(shù)即可補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的意義進(jìn)行計(jì)算即可；求出樣本中學(xué)生成績(jī)不低于

分的人數(shù)所占的百分比總中成績(jī)不低于

分的人數(shù)所占的百分比，進(jìn)而求出相應(yīng)的人數(shù)即可．本題考查頻數(shù)分布直方圖，眾數(shù)、中位數(shù)以及樣本估計(jì)總體，理解中位數(shù)、眾數(shù)的意義和計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．【案】證明：連接．，，即，第20頁(yè)，共26頁(yè)

，．【解析】連接，用圓心角、弧、弦的關(guān)系、等腰三角形的判定定理解答即可．本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．【案】即，

證明：

，不論

為何值，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；解：方有一個(gè)根是，，

，【解析】到結(jié)論；

．先計(jì)算判別式的值得到然根據(jù)判別式的意義得把

代入原方程得到，求得

代入代數(shù)式即可得到結(jié)論．本題主要考查根的判別式，計(jì)算出其判別式大于是解題的關(guān)鍵．【案】解：方法一：

、

分別是

的切線，、

為切點(diǎn)，，

，，，，，；方法二：連接

，如圖，、

分別是

的切線，

、

為切點(diǎn)，，

，第21頁(yè)，共26頁(yè)

，，，，，．

，【解析】方法一：根據(jù)切線的性和切線長(zhǎng)定理得到

，，于是可計(jì)算出

然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和求的度數(shù)；方法二：連接，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)等角的補(bǔ)角相等得到

的度數(shù)．

，再計(jì)算出本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了切線長(zhǎng)定理．【案】解：

如圖，段

即為所求；如圖，【解析】

即為所求．利用網(wǎng)格即可畫(huà)出這個(gè)圓的一條直徑；根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角，同弧所對(duì)圓周角相等即可畫(huà)一個(gè)含有角形．

角的直角三本題考查作圖

應(yīng)用與設(shè)計(jì)圓周角定理解的關(guān)鍵是理解題意靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．【案】在

；中，，，第22頁(yè)，共26頁(yè)

，在

中，，

，．則

半徑長(zhǎng)為．故答案為：．【解析】解：，，．

證明：連接，

，．在

中，

，即又點(diǎn)直線

，，在是

，，，上，的切線．連接

，，

，得，據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到

量換得到

出是到結(jié)論設(shè)

的半徑為，根據(jù)

度角所對(duì)直角邊等于斜邊一半即可得到結(jié)論．本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題第23頁(yè)，共26頁(yè)

的關(guān)鍵．【案】【解析解：

月份“問(wèn)一號(hào)”模型的銷(xiāo)量月增加

“嫦娥五號(hào)”模型的銷(xiāo)量比月增加

，月份，“天問(wèn)一號(hào)”模型的銷(xiāo)