2019-2020年中考數(shù)學(xué)試卷解析匯編：綜合性問題

一、選擇題

1.（2014?湖南永州，第6題3分）下列命題是假命題的是（）

A.不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓

B.矩形的對角線互相垂直且平分

C.正六邊形的內(nèi)角和是720°

I）.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

考點(diǎn)：命題與定理..

分析：根據(jù)確定圓的條件對A進(jìn)行判斷；根據(jù)矩形的性質(zhì)對B進(jìn)行判斷；根據(jù)多邊形的內(nèi)角

和定理對C進(jìn)行判斷；根據(jù)角平分線的性質(zhì)對D進(jìn)行判斷.

解答：解：A、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓，所以A選項(xiàng)為真命題；

B、矩形的對角線互相平分且相等，所以B選項(xiàng)為假命題；

C、正六邊形的內(nèi)角和是720°,所以C選項(xiàng)為真命題；

D、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，所以D選項(xiàng)為真命題.

故選B.

點(diǎn)評：本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命

題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理.

2.（2014?樂山，第10題3分）如圖，點(diǎn)P（-1,1）在雙曲線上，過點(diǎn)P的直線11與坐

標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且tan/BA0=l.點(diǎn)M是該雙曲線在第四象限上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M的

直線12與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，并與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C、點(diǎn)D.則四邊形ABCD的面積

最小值為（）

D.不確定

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題；根的判別式；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求反比

例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題..

專題：綜合題；待定系數(shù)法；配方法；判別式法.

分析：根據(jù)條件可以求出直線11的解析式，從而求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；根據(jù)條件可以求出

反比例函數(shù)的解析式為y=-,從而可以設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a,-）；設(shè)直線12的解析

2

式為y=bx+c,根據(jù)條件“過點(diǎn)M的直線12與雙曲線只有一個公共點(diǎn)”可以得到6=0、

c=-,進(jìn)而得到D的坐標(biāo)為（0,-）、點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2a,0）；由AC1BD得到S

四邊形ABCD=AOBD,通過化簡、配方即可得到S四邊形ABCD=8+2（Va-Va）2,從

而可以求出S四邊形ABCD的最小值為8.

解答：解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=,

點(diǎn)P(-1,1)在反比例函數(shù)y=的圖象上，

k=xy=-1.

???反比例函數(shù)的解析式為y二一.

設(shè)直線11的解析式為y=mx+n,

當(dāng)x=0時，y=n,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,n),0B=n.

當(dāng)y=0時，x=-,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-,0),OA=.

VtanZBAO=l,ZA0B=90°,

.\0B=0A.

:.n=

，m=l.

??,點(diǎn)P(-l,1)在一次函數(shù)尸mx+n的圖象上，

-m+n=l.

/.n=2.

二點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2).

??,點(diǎn)M在第四象限，且在反比例函數(shù)尸-的圖象上，

???可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,-),其中a>0.

設(shè)直線12的解析式為y=bx+c,

則ab+c=-.

c=--ab.

Ay=bx--ab.

??,直線y=bx--ab與雙曲線y=-只有一個交點(diǎn)，

???方程bx--ab=-即bx2-(+ab)x+l=0有兩個相等的實(shí)根.

[-(+ab)]2-4b=(+ab)2-4b=(-ab)2=0.

??二ab.

1

??b二a,c=-.

1

~2

???直線12的解析式為尸ax-.

??.當(dāng)x=0時，y=-,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-)；

當(dāng)y=0時:x=2a,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2a,0).

AAC=2a-(-2)=2a+2,BD=2-(-)=2+.

VAC±BD,

AS四邊形ABCD=AOBD

=(2a+2)(2+)

=4+2(a+)

___1_

=4+2](Va-Va)2+2]

__L_

=8+2(Va-Va)2.

__工

V2(Va-Va)220,

AS四邊形ABCDN8.

_]

.?.當(dāng)且僅當(dāng)J屋0即a=l時，S四邊形ABCD取到最小值8.

故選：B.

點(diǎn)評：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、根的判別式、雙曲線與

直線的交點(diǎn)等知識，考查了用配方法求代數(shù)式的最值，突出了對能力的考查，是一道

好題.

3.(2014?浙江紹興，第10題4分)如圖，汽車在東西向的公路1上行駛，途中A,B,C,

D四個十字路口都有紅綠燈.AB之間的距離為800米，BC為1000米，CD為1400米，且

1上各路口的紅綠燈設(shè)置為：同時亮紅燈或同時亮綠燈，每次紅(綠)燈亮的時間相同，紅

燈亮的時間與綠燈亮的時間也相同.若綠燈剛亮?xí)r，甲汽車從A路口以每小時30千米的速

度沿1向東行駛，同時乙汽車從D路口以相同的速度沿1向西行駛，這兩輛汽車通過四個路

口時都沒有遇到紅燈，則每次綠燈亮的時間可能設(shè)置為()

ABCDI

ILII—II—ir

A.50秒B.45秒C.40秒D.35秒

考點(diǎn)：推理與論證.

分析：首先求出汽車行駛各段所用的時間，進(jìn)而根據(jù)紅綠燈的設(shè)置，分析每次綠燈亮的時間，

得出符合題意答案.

解答：解：?.?甲汽車從A路口以每小時30千米的速度沿1向東行駛，同時乙汽車從D路口

以相同的速度沿1向西行駛，

.?.兩車的速度為：30000=義(的$),

36003

；AB之間的距離為800米，BC為1000米，CD為1400米，

.?.分別通過AB,BC,CD所用的時間為：架=96(s),嚕工120(s),噂幺168

zb2b

(s),

?.?這兩輛汽車通過四個路口時都沒有遇到紅燈，

.?.當(dāng)每次綠燈亮的時間為50s時，?.?絲1名，...甲車到達(dá)B路口時遇到紅燈，故A

5025

選項(xiàng)錯誤；

...當(dāng)每次綠燈亮的時間為45s時，?.?里=3豆，...乙車到達(dá)C路口時遇到紅燈，故B

4515

選項(xiàng)錯誤；

.?.當(dāng)每次綠燈亮的時間為40s時，???96+120=5,...甲車到達(dá)C路口時遇到紅燈，故

40

c選項(xiàng)錯誤;

.?.當(dāng)每次綠燈亮的時間為35s時，?.?鷗2空，96+120=63,96+120+168=]0星,

353535353535

16即,168+120=88

-35^'~35~~枳’

???這兩輛汽車通過四個路口時都沒有遇到紅燈，故D選項(xiàng)正確；

則每次綠燈亮的時間可能設(shè)置為：35秒.

故選：D.

點(diǎn)評：此題主要考查了推理與論證，根據(jù)題意得出汽車行駛每段所用的時間，進(jìn)而得出由選

項(xiàng)分析得出是解題關(guān)鍵.

4.

二、填空題

1.（2014?湖南永州，第16題3分）小聰，小玲，小紅三人參加“普法知識競賽”,其中前

5題是選擇題，每題10分，每題有A、B兩個選項(xiàng)，且只有一個選項(xiàng)是正確的，三人的答案

和得分如下表，試問：這五道題的正確答案（按1?5題的順序排列）是BABBA.

題號12345得分

答案

選手

小聰BAABA40

小玲BABAA40

小紅ABBBA30

考點(diǎn)：推理與論證..

分析：根據(jù)得分可得小聰和小玲都是只有一個錯，小紅有2個錯誤，首先從三人答案相同的

入手分析，然后從小聰和小玲不同的題目入手即可分析.

解答：解：根據(jù)得分可得小聰和小玲都是只有一個錯，小紅有2個錯誤.

第5題，三人選項(xiàng)相同，若不是選A,則小聰和小玲的其它題目的答案一定相同，與

已知矛盾，則第5題的答案是A；

第3個第4題小聰和小玲都不同，則一定在這兩題上其中一人有錯誤，則第1,2正

確，則1的答案是：B,2的答案是：A；

則小紅的錯題是1和2,則3和4正確，則3的答案是：B,4的答案是：B.

總之，正確答案（按1?5題的順序排列）是BABBA.

故答案是：BABBA.

點(diǎn)評：本題考查了命題的推理與論證，正確確定問題的入手點(diǎn)，理解題目中每個題目只有A

和B兩個答案是關(guān)鍵.

2.（2014?樂山，第15題3分）如圖.在正方形ABCD的邊長為3,以A為圓心，2為半徑

作圓弧.以D為圓心，3為半徑作圓弧.若圖中陰影部分的面積分為SI、S2.則SI-S2=

15兀

4-9

.Si

S：

B

考點(diǎn)：整式的加減..

分析：先求出正方形的面積，再根據(jù)扇形的面積公式求出以A為圓心，2為半徑作圓弧.以

D為圓心，3為半徑作圓弧的兩扇形面積，再求出其差即可.

解答：解：正方形=3X3=9,

90冗X史9兀

S扇形ADC=360=4,

90HX22

S扇形EAF=360=JT,

9兀15兀

-S2="-(S正方形-S扇形ADC)=n-(9-4)=4-9.

15冗

點(diǎn)評：本題考查的是整式的加減，熟知整式的加減實(shí)質(zhì)上是合并同類項(xiàng)是解答此題的關(guān)鍵.

3.（2014?四川廣安，第16題3分）如圖，在直角梯形ABCD中，ZABC=90°,上底AD為

M，以對角線BD為直徑的。O與CD切于點(diǎn)D,與BC交于點(diǎn)E,且NABD為30。.則圖

中陰影部分的面積為空反-n（不取近似值）.

-4

月_”—、D

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；直角梯形；扇形面積的計(jì)算.

分析：連接OE,根據(jù)NABC=90。，AD=JWNABD為30。，可得出AB與BD,可證明△

OBE為等邊三角形，即可得出NC=30。.陰影部分的面積為直角梯形ABCD的面積-

三角形ABD的面積-三角形OBE的面積-扇形ODE的面積.

解答：解：連接OE,過點(diǎn)。作OFBE于點(diǎn)F.

D

VZABC=90°,AD=?,/ABD為30°,

???BD=2?,

AAB=3,

VOB=OE,

???ZDBC=60°,

AOF=,

〈CD為。O的切線，

???ZBDC=90°,

AZC=30°,

???BC=4?,

S陰影=S梯形ABCD_SAABD-SAOBE-S扇形ODE

=(AD+BC)XAB_AD-AB_BE,OF_120X兀X(6))

222360

_3/-

:（立+蛆）X3_3^3.更,n

~222~

_21V3.n

4_

故答案為生旦-H.

4

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)、直角梯形以及扇形面積的計(jì)算，要熟悉扇形的面積公式.

4.（2014?四川綿陽,第16題4分）如圖，0O的半徑為1cm,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。O,

則圖中陰影部分面積為—co?.（結(jié)果保留71）

-6-

考點(diǎn)：正多邊形和圓

分析：根據(jù)題意得出△COWgZ\ABW,進(jìn)而得出圖中陰影部分面積為：S扁彩OBC進(jìn)而得出

答案.

解答：解：如圖所示：連接BO,CO,

???正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。O,

.?.AB=BC=CO=1,ZABC=120°,ZkOBC是等邊三角形,

，CO〃AB,

在4COW和^ABW中

'NBWA=NCW0

-ZBAW=ZCOW>

,AB=C0

.,.△COW^AABW(AAS),

.?.圖中陰影部分面積為：SmoBc=60K><12=—.

3606

故答案為：21.

點(diǎn)評：此題主要考查了正多邊形和圓以及扇形面積求法，得出陰影部分面積=S扇形OBC是解

題關(guān)鍵.

5.(2014?四川綿陽，第17題4分)如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD±

的點(diǎn)，ZEAF=45°.ZiECF的周長為4,則正方形ABCD的邊長為2.

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì).

分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出NEAF=45。，進(jìn)而得出△FAE絲△EAF,即可得出

EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=4,得出正方形邊長即可.

解答：解：將4DAF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90度到△BAF位置，

由題意可得出：△DAFgaBAF,

，DF=BF,NDAF=NBAF,

/EAF=45°,

在4FAE和4EAF中

，AF=AF，

,NFAE=/EAF'，

AE=AE

.".△FAE^AEAF(SAS),

.?.EF=EF',

???△ECF的周長為4,

.?.EF+EC+FC=FC+CE+EF'=FC+BC+BF'=4,

；.2BC=4,

BC=2.

故答案為：2.

點(diǎn)評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出

△FAE也Z\EAF是解題關(guān)鍵.

6.（2014?重慶A,第17題4分）從-1,1,2這三個數(shù)字中，隨機(jī)抽取一個數(shù)，記為a,那

么，使關(guān)于x的一次函數(shù)y=2x+a的圖象與x軸、y軸圍成的三角形的面積為，且使關(guān)于x

的不等式組1x+2已有解的概率為.

Il-x<2a—

考點(diǎn)：概率公式；解一元一次不等式組；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

分析：將-1,1,2分別代入y=2x+a,求出與x軸、y軸圍成的三角形的面積，將-1,1,

2分別代入,求出解集，有解者即為所求.

解答：解：當(dāng)a=-l時，y=2x+a可化為y=2x-1,與x軸交點(diǎn)為（，0）,與y軸交點(diǎn)為

（0,-1）,

三角形面積為XX1二；

當(dāng)a=l時、y=2x+a可化為y=2x+l,與x軸交點(diǎn)為（-,0）,與y軸交點(diǎn)為（0,1）,

三角形的面積為xxl二；

當(dāng)a=2時、y=2x+2可化為y=2x+2,與x軸交點(diǎn)為（-1,0）,與y軸交點(diǎn)為（0,2）,

三角形的面積為x2xl=l（舍去）；

當(dāng)a=-1時，不等式組『+2+可化為卜1，不等式組的解集為卜,一3,無

[1~x<2a[l-x<-2[x>3

解；

當(dāng)a=l時，不等式組卜+2g可化為卜+2已，解得（x<二1,解集為卜，一1,解

[l-x<2a[l-x<2[-x<l[x>-l

得x=-L

使關(guān)于x的一次函數(shù)y=2x+a的圖象與x軸、y軸圍成的三角形的面積為，且使關(guān)于x的不

等式組1*+2勺有解的概率為P=.

[1~x<2a

故答案為.

點(diǎn)評：本題考查了概率公式、解一元一次不等式、一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，有一定的綜

合性.

7.（2014?江西，第14題3分）在RtZ\ABC中，ZA=90°,有一個銳角為60°,BC=6.若

P在直線AC上（不與點(diǎn)A,C重合），且/ABP=30°,則CP的長為.

【答案】46,273,6.

【考點(diǎn)】直角三角形性質(zhì)，勾股定理，解宜角三角形，分類討論思想.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分三種情況進(jìn)行討論，利用直角三角形的性質(zhì)，解直角三角

形或者用勾股定理進(jìn)行解答.

【解答】

解：分四種情況討論：

①如圖1：當(dāng)NC=60°時，

當(dāng)NC=60°時，ZABC=30°,P點(diǎn)在線段AC上，NABP不可能等于30°,只能是P點(diǎn)

與C點(diǎn)重合，與條件相矛盾。

②如圖2：當(dāng)NC=60°時，ZABC=30°,P點(diǎn)在線段CA的延長上。

?.?RtZkABC中，BC=6,ZC=30°,

11

；.AC=-BC=-X6=3.

22

在△ABC和AABP中，

?.?/ABP=/ABC=30°,AB=AB,/CAB=NPAB=90°

.,.△ABC^AABP,AC=AP=3,

.?.CP=AC+AP=3+3=6.

③如圖3：當(dāng)NABC=60°時，ZC=30°,P點(diǎn)在線段AC上。

B

?.,RtZXABC中，BC=6,ZC=30°,

11

.?.AB=-BC=—X6=3.

22

VZABP=30°,

.?.AP=-BP,/PBC=NABC-NABP=60°-30°=30°=NC,

2

.".PC=PB,

V在RtAABP中，PB?=AB2+AP2,

APB2=32+(-PB)2,解得PB=26

2

.?.PC=PB=2G.

④如圖4：當(dāng)NABC=60°時，ZC=30°,P點(diǎn)在線段CA的延長線上。

/.△PBC是直角三形.

VZC=30°,

1

.*.PB=-PC.

2

在RtZ\PBC中，PC2-PB2=BC\

1

VBC=6,PB=-PC,

2

/.PC2-(-PC)2=62,解得PC=4G。

2

綜上所述，CP的長為26、4G和6。

8.

三、解答題

1.(2014?黑龍江綏化，第26題9分)在菱形ABCD和正三角形BGF中，ZABC=60°,P

是DF的中點(diǎn)，連接PG、PC._

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在BC邊上時，易證：PG=J^C.(不必證明)

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時，線段PC、PG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜

想，并給與證明；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長線上時，線段PC、PG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的

猜想(不必證明).

考點(diǎn)：四邊形綜合題.

分析：(1)延長GP交DC于點(diǎn)E,利用△PED名△PGF,得出PE=PG,DE=FG,得至UCE=CG,

CP是EG的中垂線，在RTACPG中，ZPCG=60°,所以PG=J5PC.

(2)延長GP交DA于點(diǎn)E,連接EC,GC,先證明△DPE絲△FPG,再證得

△CDE^ACBG,利用在RT^CPG中，ZPCG=60°,所以PG=J^PC.

(3)延長GP至IJH,使PH=PG,連接CH、DH,作ME〃DC,先證△GFP絲ZiHDP,

再證得△HDC之ZiGBC,在在RTACPG中，ZPCG=60°,所以PG=%PC.

(1)提示：如圖1：延長GP交DC于點(diǎn)E,

利用△PEDZZXPGF,得出PE=PG,DE=FG,

，CE=CG,

，CP是EG的中垂線，

在RT^CPG中，/PCG=60。，

/.PG=V3PC.

(2)如圖2,延長GP交DA于點(diǎn)E,連接EC,GC,

，GF〃BC〃AD,

ZEDP=ZGFP,

在4DPE和^FPG中

'NEDP二NGFP

<DP=FP

NDPE二NFPG

/.△DPE^AFPG(ASA)

???PE=PG,DE=FG=BG,

?/ZCDE=CBG=60°,CD=CB,

在^CDE和仆CBG中，

'CDXB

,ZCDE=CBG=60°

CD=CB

AACDE^ACBG(SAS)

ACE=CG,ZDCE=ZBCG,

/.ZECG=ZDCB=120°,

VPE=PG,

ACPIPG,ZPCG=ZECG=60°

???PG二折C.

(3)猜想：PG二后C.

證明：如圖3,延長GP到H,使PH=PG,連接CH,CG,DH,作ME〃DC

TP是線段DF的中點(diǎn)，

???FP=DP,

VZGPF=ZHPD,

.'.△GFP^AHDP,

AGF=HD,ZGFP=ZHDP,

?/ZGFP+ZPFE=120°,ZPFE=ZPDC,

???ZCDH=ZHDP+ZPDC=120°,

???四邊形ABCD是菱形，

ACD=CB,ZADC=ZABC=60°,點(diǎn)A、B、G又在一條直線上,

AZGBC=120o,

???四邊形BEFG是菱形，

AGF=GB,

AHD=GB,

???△HDC絲△GBC,

ACH=CG,ZDCH=ZBCG,

:.ZDCH+ZHCB=ZBCG+ZHCB=120°,

即NHCG=120°

VCH=CG,PH=PG,

???PG_LPC,ZGCP=ZHCP=60°,

/.PG=V3PC.

點(diǎn)評：本題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定等知識點(diǎn)，根據(jù)已知和所求的條

件正確的構(gòu)建出相關(guān)的全等三角形是解題的關(guān)鍵.

2.(2014?黑龍江綏化，第27題10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形AOBC的頂

點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,4),動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AO向終點(diǎn)O運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)

B出發(fā)，沿線段BC向終點(diǎn)C運(yùn)動.點(diǎn)P、Q的運(yùn)動速度均為1個單位，運(yùn)動時間為t秒.過

點(diǎn)P作PE±AO交AB于點(diǎn)E.

(1)求直線AB的解析式；

(2)設(shè)APEQ的面積為S,求S與t時間的函數(shù)關(guān)系，并指出自變量t的取值范圍；

(3)在動點(diǎn)P、Q運(yùn)動的過程中，點(diǎn)H是矩形AOBC內(nèi)(包括邊界)一點(diǎn)，且以B、Q、E、

H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，直接寫出t值和與其對應(yīng)的點(diǎn)H的坐標(biāo).

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題.

分析：(1)依據(jù)待定系數(shù)法即可求得；

(2)有兩種情況：當(dāng)0Vt<2時，PF=4-2t,當(dāng)2<t"時，PF=2t-4,然后根據(jù)面

積公式即可求得；

(3)依據(jù)菱形的鄰邊相等關(guān)系即可求得.

解答：解：(1)VC(2,4),

AA(0,4),B(2,0),

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

.f4=b

"l0=2k+b'

解得色~2

[b=4

直線AB的解析式為y=-2x+4.

(2)如圖2,過點(diǎn)Q作QF，y軸于F,

VPE/70B,

.PEL.OB-

''AP-ACT

.?.有AP=BQ=t,PE=t,AF=CQ=4-t,

當(dāng)0<t<2時，PF=4-2t,

；.S=PE?PF=xt(4-2t)=t-t2,

即S=-t2+t(0<t<2),

當(dāng)2Vts4時，PF=2t-4,

；.S=PE?PF=xt(2t-4)=t2-t(2<t<4).

(3)『型Hi(IP,空)，

131313

t2=20-8遙，H2(10-4遙，4).

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，平行線的性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)和三角形的面積公

式的應(yīng)用.

3.(2014?湖北宜昌，第21題8分)已知：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以CD為直

徑作。O,。。與邊BC相交于點(diǎn)F,。。的切線DE與邊AB相交于點(diǎn)E,且AE=3EB.

(1)求證：△ADE^ACDF；

(2)當(dāng)CF：FB=1：2時，求。O與。ABCD的面積之比.

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出NA=/C,AD〃BC,求出NADE=NCDF,根據(jù)相

似三角形的判定推出即可；

(2)設(shè)CF=x,FB=2x,貝IJBC=3x,設(shè)EB=y,則AE=3y,AB=4y,根據(jù)相似得出絲衛(wèi),

_3x4y

求出x=2y,由勾股定理得求出DF=2ay,分別求出。0的面積和四邊形ABCD的面

積，即可求出答案.

解答：(1)證明：..七口是。。的直徑，

ZDFC=90°,

四邊形ABCD是平行四邊形，

/.ZA=ZC,AD〃BC,

ZADF=ZDFC=90°,

：DE為。O的切線，

，DE±DC,

ZEDC=90°,

二NADF=NEDC=90°,

ZADE=ZCDF,

VZA=ZC,

.".△ADE^ACDE；

(2)解：VCF：FB=1：2,

,設(shè)CF=x,FB=2x,則BC=3x,

：AE=3EB,

.,.設(shè)EB=y,則AE=3y,AB=4y,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD=BC=3x,AB=DC=4y,

VAADE^ACDF,

.ALCF

"AD-CD'

.3y_x

3x4y'

?.,x、y均為正數(shù)，

；.x=2y,

，BC=6y,CF=2y,

在RtADFC中，ZDFC=90\

由勾股定理得：DF=.D,2_pc(4y)~~~~(2y)~叁＞

；?。0的面積為(DC)2=n?DC2=n(4y)2=4ny2,

四邊形ABCD的面積為BC?DF=6y?2心=12心2,

二。0與四邊形ABCD的面積之比為4ny2：12后2=七3y.

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，主要考

查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力.

4.(2014?隨州，第24題10分)已知兩條平行線h、12之間的距離為6,截線CD分別交

h、b于C、D兩點(diǎn)，一直角的頂點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(點(diǎn)P不與點(diǎn)C、D重合)，直角的

兩邊分別交h、12與A、B兩點(diǎn).

(1)操作發(fā)現(xiàn)

如圖1,過點(diǎn)P作直線b〃h，作PELli，點(diǎn)E是垂足，過點(diǎn)B作BF，b，點(diǎn)F是垂足.此

時，小明認(rèn)為△PEAs/\PFB,你同意嗎？為什么？

(2)猜想論證

將直角/APB從圖1的位置開始，繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)，在這一過程中，試觀察、猜想：當(dāng)

AE滿足什么條件時，以點(diǎn)P、A、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？在圖2中畫出圖形，證

明你的猜想.

(3)延伸探究

在(2)的條件下，當(dāng)截線CD與直線h所夾的鈍角為150。時，設(shè)CP=x,試探究：是否存

在實(shí)數(shù)x,使4PAB的邊AB的長為4代？請說明理由.

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

分析：(1)根據(jù)題意得到：ZEPA+ZAPF=90°,ZFPB+ZAPF=90",從而得到/EPA=/FPB,

然后根據(jù)NPEA=NPFB=90°證得△PEAS/\PFB；

(2)根據(jù)NAPB=90。得到要使APAB為等腰三角形，只能是PA=PB,然后根據(jù)當(dāng)

AE=BF時，PA=PB,從而得到4PEA也△PFB,利用全等三角形的性質(zhì)證得結(jié)論即可；

(3)在RdPEC中，CP=x,/PCE=30。從而得至UPE=x,然后利用PE+BF=6,BF=AE

得到AE=6-x,然后利用勾股定理得到PE2+AE2=PA2,代入整理后得到一元二次方

程x2-12x-8=0,求得x的值后大于12,從而得到矛盾說明不存在滿足條件的x.

解答：解：(D如圖(1),由題意，得:ZEPA+ZAPF=90°,ZFPB+ZAPF=90°,

.,.ZEPA=ZFPB,

XVZPEA=ZPFB=90°,

/.△PEA^APFB；

(2)證明：如圖2,VZAPB=90°,

要使APAB為等腰三角形，只能是PA=PB,

當(dāng)AE=BF時，PA=PB,

VZEPA=ZFPB,ZPEA=ZPFB=90°,AE=BF,

.,.△PEA^APFB,

，PA=PB；

(3)如圖2,在RtZ\PEC中，CP=x,ZPCE=30°,

；.PE=x,

由題意，PE+BF=6,BF=AE,

...AE=6-x,

當(dāng)AB=4A用時，由題意得PA=2伍，

RtAPEA中，PE2+AE2=PA2,

即(-1丫)2+(6-x)2=40,

2K

整理得：x2-12x-8=0,

解得：x=6-2VlT<0(舍去)或x=6+2jiT，

：x=6+2VTT>6+6=12,又CD=12,

.?.點(diǎn)P在CD的延長線上，這與點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動相矛盾，

...不合題意，

綜上，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)X.

點(diǎn)評：本題是一道幾何變換的綜合題，題目中涉及到了全等三角形、勾股定理等知識，知識

網(wǎng)絡(luò)比較復(fù)雜，難度較大.

5、(2014?隨州，第25題12分)平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

(-3,4),點(diǎn)A在x軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OB,拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過C、

0、A三點(diǎn).

(1)直接寫出這條拋物線的解析式；

(2)如圖1,對于所求拋物線對稱軸上的一點(diǎn)E,設(shè)△EBO的面積為Si，菱形ABCD的面

積為S2，當(dāng)SiSS2時，求點(diǎn)E的縱坐標(biāo)n的取值范圍；

(3)如圖2,D(0,-)為y軸上一點(diǎn)，連接AD,動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以近個單位/秒

的速度沿OB方向運(yùn)動，1秒后，動點(diǎn)Q從O出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿折線O-A-B

方向運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t秒(0<t<6),是否存在實(shí)數(shù)t,使得以P、Q、B為頂點(diǎn)的

三角形與△ADO相似？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請說明理由.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

分析：(1)求得菱形的邊長，則A的坐標(biāo)可以求得，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的

解析式；

(2)首先求得菱形的面積，即可求得所的范圍，當(dāng)S1取得最大值時即可求得直線

的解析式，則n的值的范圍即可求得；

(3)分當(dāng)l<t<3.5時和3.54理6時兩種情況進(jìn)行討論，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的

比相等，即可列方程求解.

解答：，9a-3b+c=4

解：(1)根據(jù)題意得:'c=0

25a+5b+c=0

1

解得：b=T

6

c=0

2

則拋物線的解析式是:y=xX；

(2)設(shè)BC與y軸相交于點(diǎn)G,則S2=OG?BC=20,

/?Sj<5,

又OB所在直線的解析式是y=2x,OB=^OG2+GB2=2V5,

,當(dāng)Si=5時，△EBO的OB邊上的高是遍.

如圖1,設(shè)平行于OB的直線為y=2x+b,則它與y軸的交點(diǎn)為M(0,b),與拋物線

對稱軸x=交于點(diǎn)E(,n).

過點(diǎn)O作ON_LME,點(diǎn)N為垂足，若ON=7后，由△MNOS/^OGB,得OM=5,

/.y=2x-5,

'y=2x-5

由，5，

「百

解得：y=0，

即E的坐標(biāo)是(,0).

?.?與OB平行且到OB的距離是通的直線有兩條.

二由對稱性可得另一條直線的解析式是：y=2x+5.

則E'的坐標(biāo)是(,10).

(3)如圖2,動點(diǎn)P、Q按題意運(yùn)動時,

當(dāng)l<t<3.5時，

OP=醫(yī)，BP=2娓-四，OQ=2(t-1),

55

連接QP,當(dāng)QPJ_OP時，有里上，

0QV5

???PQ二4(t-1),

若里，則有取空，

PBPB0A

又；NQPB=NDOA=90°,

.,.△BPQ^AAOD,

止匕時，PB=2PQ,即275-叢=上(t-1),

5V5

10-t=8(t-1),

；.t=2；

當(dāng)3.5如6時,QB=10-2(t-1)=12-2t,連接QP.

若QPJ_BP,

則有NPBQ=NODA,

又：NQPB=NAOD=90。，

.,.△BPQ^ADOA,

此時，PB=V35B,即12-2t=粕(2代-漁)，12-2t=10-t,

5

At=2(不合題意，舍去).

若QP_LBQ,則△BPQS/^DAO,

止匕時，PB=、/^BQ,

即2代-醫(yī)=代(12-2t),2-t=12-2t,

5

解得：t=I2.

9

則t的值為2或型.

9

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面

積求法.在求有關(guān)動點(diǎn)問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果.

6、（2014衡陽，第28題10分）

己知某二次函數(shù)的圖象與X軸分別相交于點(diǎn)A（—3,0）和點(diǎn)8（1,0）,

與y軸相交于點(diǎn)。（0,-3加）（加＞0）,頂點(diǎn)為點(diǎn)。。

⑴求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含機(jī)的代數(shù)式表示）；

⑵如圖①，當(dāng)加=2時，點(diǎn)尸為第三象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，

設(shè)A4PC的面積為S，試求出5與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式

及S的最大值；

⑶如圖②，當(dāng)相取何值時，以A、。、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與AOBC相似?

【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式，三角形面積公式，梯形面積公式，相似三角形的

判定定理.

【解析】⑴:該二次函數(shù)的圖象與X軸分別相交于點(diǎn)4-3,0,和點(diǎn)&1O,

???設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=a，x+3“x-12

?/該二次函數(shù)的圖象與y軸相交于點(diǎn)C，0,-癡，，

a?3??-1?=~3w,故a=m

「?該二次函數(shù)的解析式為y=x+3tix-1'=.2+2wx-3w

⑵當(dāng)m=2時，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-6),該二次函數(shù)的解析式為y=2d+4x-6

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(—3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-6)

.?.直線AC的解析式為二+上=1,^yAC=-2x-6

—3—6

過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)尸

?.?點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x(-3<x<0)

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,2—+4x—6),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,0),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,—2x—6)

OAOC

2

=g(AE^+O￡OC+OEPE-OAOC)=；(AEPE+OEPE+OEOC-OAOC)

=；[(AE+OE).OC(OA—OE)卜;(04PE-OCA￡)=；mJ—6(3—⑷)]

33(3V77

=][——2(3+x)]=/(—2x?—4九+6—6—2x)=—3x2—9x=-3+5+其余略)

327

工當(dāng)工=一義時，S有最大值三

24

方法二

11a?3

S=-OAPF=-x3x(PE-EF)=-(|^|-|yF|)=-[(-j/J)-(-yF)]=-(yF-y?)

乙乙乙乙乙

=g[(-2x-6)-(2x2+4x-6)]=~^-2x-6-2x2-4x+6)--1(-2x2—6x^

=-3*2—9x=—3卜2+3%)=_3-2.=_3(*+目+與

327

...當(dāng)％=-三時，S有最大值匕；

24

另解：

112Q

22

S=^QAPF=^x3x|^-yF|=||(2x+4x-6)-(-2x-6)|=-1|2x+4^-6+2x+6|

=22》2+6x|=3產(chǎn)+3x|=3(x+1)

_

.—3<x<0,*<?—<XH—<一,，|xi—<一，??xH——<0,

222{2)4{2)4

99=-3卜+31227

+

44I2T

.??當(dāng)了二一三3時，§有最大值2三7

24

(3)Vy=m(x+3)(x-l)=m(x2+2x-3)=/w(x+l)~-4=m(x+l)**-4m,二點(diǎn)。的坐標(biāo)為

22222222

??.AC=(xA-xc)+(-yc)=(-3-0)+[0-(-3/n)]=(-3)+(3m)=9+9m

A￡>2=(x.—x。)2+(yA—y。)2=[—3—(-1)了+[0—(—4加)}=(—2)2+(4^)2=4+16/7?

2222

CD=(xc—xo)+(yc—yD)=[0-(一1)丁+[-3/n-(-4〃?)丁=1+m

,??△OBC是直角三角形，.?.欲使以A、D、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與AOBC相似，必有

RtMCD

①若在2L4CZ)中，ZACD=90',則4c?+82=月加，即

?9+9活2i+il+w21=4+16冽°

化簡整理得：冽2=1,?冽＞0,.,.冽=1（舍去負(fù)值）

此明黑稼福雪，條沁?嗡埸

?..//8=/。。3=90。且牝===3,，必(7。與枚?3(7相似，符合題意;

CDOB

②若在AACD中，ZADC=90,則A。？+CD?=AC?,即

(4+16m2)+(1+加2)=9+9m2

i歷

化簡整理得：m2=~,Vm>0,=—(舍去負(fù)值)

22

-A-D土--C--O

■CDOB

雖然NACO=NCOB=90,但是——豐—,二A4CO與AOBC不相似，應(yīng)舍去;

CDOB

綜上所述，只有當(dāng)施=1時，以A、。、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與AOBC相似。

【答案】⑴該二次函數(shù)的解析式為y=/w(x+3)(x—l)=+2mx-3m

327

⑵當(dāng)x=—士時，S有最大值三

24

⑶當(dāng)m=l時，以A、。、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與A08C

【點(diǎn)評】：本題綜合性強(qiáng)，難度大，是代數(shù)、幾何的綜合題，每一問難度逐漸上升，第一問

就是求二次函數(shù)表達(dá)式的一般問題，第二問雖然常見，但是在表示A4PC的面積時，難度

較大，計(jì)算量也大，一些學(xué)生會放棄，第三問分情況討論，雖然3種情況容易想到，但是還

是計(jì)算，往往造成會思路但不得分的情況.

7、(2014?寧夏，第26題10分)在RtAABC中，ZC=90°,P是BC邊上不同于B、C的一

動點(diǎn)，過P作PQJ_AB,垂足為Q,連接AP.

(1)試說明不論點(diǎn)P在BC邊上何處時，都有4PBQ與aABC相似；

(2)若AC=3,BC=4,當(dāng)BP為何值時，4AQP面積最大，并求出最大值；

(3)在R