2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(理)(北京卷)

本試卷共5頁，150分鐘?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效，考試結(jié)束后,

將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題40分)

一、選擇題共8題，每小題5分，共40分。在每小題列出的4個選項中，選出符合題目要求的一項

(1)已知復(fù)數(shù)2=1+2,則z?z=

(A)V3(B)V5

(03(D)5

(2)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為

(A)1

(B)2

(03

(D)4

(3)已知直線方程的參數(shù)方程為佇：(t為參數(shù))，則點(1,0)到直線1的距離是

(A)32

(B)7

(01(D)(

5

(4)已知橢圓5+9=1(a>b>0)的離心率為點則

a2bz

(A)a2=2b2(B)3a2=3

(C)a=2b(D)3a=4b

(5)若x,y滿足1x1Wl-y,且y2T,則3x+y的最大值為

(A)-7(B)1

(05(D)7

(6)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述。兩顆星的星等與亮度滿足m2-mi=|lg菅，其中星等為叫

的星的亮度為&(k=l,2)。已知太陽的星等是-26.7,天復(fù)星的星等是T.45,則太陽與天袋星的看度的比值為

(A)IO10-1(B)10.1

(C)IglO.1(D)1O-10'1

(7)設(shè)點A,B,C不共線，則“而與阮的夾角為銳角”是"IAB+ACI>I阮I(lǐng)”的

(A)充分不必要條件(B)必要而不充分條件

(0充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(8)數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意美好的曲線，曲線C:x2+y'l+|xIy就是其中之一(如圖)，給出下列三個結(jié)論:

①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)

②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過或

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3

其中，所有正確結(jié)論的序號是

(A)①⑻②

(C)①②(D)①②③

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

(9)函數(shù)/(x)=sin22x的最小正周期是。

(10)設(shè)等差數(shù)列｛&“｝的前〃項和為若生=-3,55=-10,則%=。5“的最小值為。

(11)某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示。如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,那

么該幾何體的體積為

(12)已知/，機(jī)是平面a外的兩條不同直線，給出下列三個論斷：

①/_Lm；②mHa；③/_La。

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：O

(13)設(shè)函數(shù)/(x)=e*+ae”(a為常數(shù))。若/(x)為奇函數(shù)，則。=；若/(x)是R上的增函數(shù)，則a的取

值范圍是。

(14)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草薄、京白梨、西瓜、桃。價格依次為60元/盒、

65元/盒，80元/盒、90元/盒，為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價達(dá)到120元,

顧客就少付X元，每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%。

①當(dāng)x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，要支付元；

②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額不低于促銷前總價的七折，則X的最大值為o

三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

(15)(本小題13分)

在A4BC中，。=3,b-c=2,cosB=--

2

(I)求〃，c的值;

(II)求sin(6-C)的值.

(16)(本小題14分)

如圖，在四棱錐P—AfiC￡>中，PAl^^ABCD,ADLCD,ADUBC,PA=AD=CD=2,BC=3。E

為P。的中點，點尸在PC上，且竺=,

PC3

(I)求證：CD，平面PA。：

(ID求二面角尸—AE—P的余弦值；

(III)設(shè)點G在PB上，且上=2.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由.

PB3

(17)(本小題13分)

改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變。近年來，移動支付己成為主要支付方式之一。為了解某校

學(xué)生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方

式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

支付方式(0,100。(100Q200(j大于2000

支付金額(元)

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

(I)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率;

(II)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元

的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(HI)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化，現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)

他們本月的支付金額都大于2000元。根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于

2000元的人數(shù)有變化？說明理由。

(18)(本小題14分)

已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(2,-1)

(I)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；

(II)設(shè)。為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線/交拋物線C于兩點M,N,直線y=-l分別

交直線OM,QV于點A和點B。求證：以為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點。

(19)(本小題13分)

已知函數(shù)/(x)=—x3-x2+Xo

(I)求曲線y=/(x)的斜率為/的切線方程；

(II)當(dāng)xe［-2,4］時，求證：x-6</(%)<X；

(HI)設(shè)E(x)=|/(x)—(x+a)|(aeR),F(x)在區(qū)間［-2,4］上的最大值為"(a)?當(dāng)M⑷最小時，求a的

值。

(20)(本小題13分)

已知數(shù)列｛%｝，從中選取第&項、第項、…第，”項?<?2<一<或)，若<4」則稱新數(shù)列”，

4,”為｛a“｝的長度為機(jī)的遞增子列。規(guī)定：數(shù)列｛a.｝的任意一項都是｛a“｝的長度為1的遞增子

列。

(I)寫出數(shù)列1,8,3,7,5,6,9的一個長度為4的遞增子列；

(II)已知數(shù)列｛。，｝的長度為p的遞增子列的末項的最小值為a,聞，長度為g的遞增子列的末項的最小值為

若P〈q，求證：“/<4。；

(III)設(shè)無窮數(shù)列｛a“｝的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等，若｛〃“｝的長度為s的遞增子列末項的最小

值為2.V-1,且長度為s末項為2.V-1的遞增子列恰有25-1個(s=1,2,...),求數(shù)列｛a,｝的通項公式。

2019北京高考數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題

題號12345678

答案DBDBCACC

二、填空題

(9)-；

2

(10)0；-10；

(11)40

(12)若l_Lm,l±a,則l_La(答案不唯一)

(13)-1；aWO；

(14)①130；②15；

三、解答題

(15)①COSB=a+c-b1

2

則9+C2-(C+2)2__1

6c2

解得b=7,c=5

@VcosB=-i

-'-sinB=T

a2+b2-c2_n

又cosC

2ab-14

5V3

AsinC

14

.*.sin(B—C)=sinBcosC—cosBsinC=

(16)?VPA±ffiABCD,且CDu面ABCD

APA±CD

又?.,CDJ_AD,且PAGAD二A

.'.CDlffiPAD

②如圖建立平面直角坐標(biāo)系

P(0,0,2),D(0,2,0),E(0,1,1),C(2,2,0),F(-,

333

故熊=(0,1,1),AF=(-,-)

v7333

由圖可知取面PAE法向量聲=(1,0,0)

設(shè)以二(x,y,z)是面AEF的法向量

.fc-AE=0(0+y+z=0(x=1

即2J工7=0,取y=i

"(n；.AF=O'l3X+3y+

3kZ=-1

.*.nj=(1,1,-1)

n7-njV3

Cos<ri7,nj>=-

I時?卮I3

經(jīng)檢驗，二面角F-AE-P的余弦值是日

2

③B(2,-1,0),P(0,0,2),G(g-)

33

I)

??日(1

由②知識=(1,1,-1)

AAG?記=0,即前_L記

又：Au面AEF

AAGc面AEF

(17)①0.4

②P(X=0)=0.24

P(X=l)=0.52

P(X=2)=0.24

故隨機(jī)變量X的分布列為:

X012

P0.240.520.24

E(X)0X0.24+1X0.52+2X0.24=1

③不能

樣本數(shù)量過小，不具有代表性

(18)①將(2,-1)代入拋物線方程,可得：4=2P,：.P=2,

拋物線C的方程為：x2=-4y,準(zhǔn)線方程為：y=l.

②證明：?.?拋物線的焦點為(0,-1)，，設(shè)過焦點的直線l:y=kx-l,(kWO)

聯(lián)立F1kx二I得到x2+4kx-4=0

(xz=-4y

設(shè)直線1與拋物線的交點為M[M，-竽)，N(XN，-不)

M

則X+XN=-4k,xMxN=-4

??,直線0M的方程為：y=-乎x,直線ON的方程為：y=-芋x

44

?**A(—,—1),B(—，—1)

XMXN

?.?](土+_4_\_2(XM+XN)=2k

XXX

,2\xMN7MN

；.A、B中點0'為(2k,-1)

AB______4際XpJ

XMXN

IxMxN|

22

=V(xM-xN)=7(xM+xN)-4xMxN

=V16k2+16=4Vk2+1

半徑r=2Vk2+1

2

???以AB為直徑的圓的方程為：(x-2k)+(y+l)2=4k2+4

222

當(dāng)x=0時，4k+(y+l)=4k+4,.\y1=l,y2=-3,

???圓與y軸交點為(0,1)與(0,-3),即過y軸上兩個定點

(19)①f'(x)=-x2—2x4-1,由題意f'(x)=1,

4

2

.\^x—2x+1=1,解得：Xj=0,x2=1

???f(0)=0,f(9二親.,?對應(yīng)的切點為(0,0)或0，.),

???切線方程為：y=x或y=x-:

②證明：設(shè)g(x)=f(x)-x,則g(x)」x3-x2,

4

Vg,(x)=-x2-2x,

4

...當(dāng)xG[-2,0)時g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)XG(0,|)時g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xG(|,4]時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增

■:g(-2)=-6,g(0)=0,g(1)=-第g(4)=0

；.XG[-2,4]時，g(x)e[-6,0],

即一6Wf(x)-xWO,1.x-