平根立根綜運(yùn)平方根方根的區(qū)別與聯(lián)系：定義

平方根如果一個(gè)數(shù)的平方等于a么這個(gè)做平方根。其中正數(shù)a正的平方根稱(chēng)算術(shù)平方

立方根如果一個(gè)數(shù)的立方等于a么這個(gè)數(shù)就稱(chēng)為立方根，例如x立方a就的立方根。（1平方根都有兩個(gè)，）任何數(shù)都有立方根，且它們互為相反數(shù)。

都只有一個(gè)立方根。性質(zhì)

（2的方根是它本身。（2數(shù)的立方根是正數(shù)，個(gè)數(shù)取值范圍

（3）負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。有2，并且互為相反數(shù)0的只有一個(gè)非負(fù)數(shù)

負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)的方根是0只有唯一一個(gè)所有實(shí)數(shù)記為“”讀根號(hào)作3，作根表示方法

其中a叫開(kāi)數(shù)叫數(shù)，通常省略不寫(xiě)。例如：

aa叫開(kāi)方數(shù)，叫根指數(shù)，省略，若省±

表示9的方根，

略表示平方。例如：

3

表表示是算術(shù)平方根。

示的立。運(yùn)算方式

開(kāi)方運(yùn)算算的逆運(yùn)開(kāi)方運(yùn)算算的逆運(yùn)算，可以通過(guò)平方來(lái)檢驗(yàn)。算可通立來(lái)驗(yàn)例1

的立方根是（）A.－8B.－4

C.－2D.存在解：根術(shù)平方根的定義求出答：：＝－8，∴－的立方根是2故選。

，再根據(jù)立方根的定義進(jìn)行計(jì)算點(diǎn)：題了立方根的定義、算術(shù)平方根的定義，先化簡(jiǎn)－

是解題的關(guān)鍵。例2（一模方根是

的根是±

立方根是；④2的方根是±

中，正確的結(jié)論有幾個(gè)（A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)解：據(jù)根、平方根的定義分別求出2的方根與立方根，可求得答案。答：：的平方根是±

，2立方根是，∴②③正確，①④錯(cuò)誤；∴正確的有2。故選。點(diǎn)：題考查了平方根與立方根的定義和性質(zhì)。注意熟記定是解此題的關(guān)鍵。滿訓(xùn)

判斷下列各式是否正確成立。＝2＝3＝4＝5判斷完以后，你有什么體會(huì)？你否得到更一般的結(jié)論？若能，請(qǐng)寫(xiě)出你的一般結(jié)論。解：過(guò)述式子的計(jì)算，可得出式子均正確，故可得出結(jié)論＝n答：：由已知

。

＝2＝3＝4＝5經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，上述的等式均滿足樣的規(guī)律：＝n故推廣后可得

，＝n點(diǎn)：題學(xué)生具有一定的觀察能力和總結(jié)規(guī)律的能力。1.如個(gè)有理數(shù)的根和方根相同，那么這個(gè)數(shù)是（）A.±1

B.0C.1

D.0和12.如A.2

是數(shù)a的立，－B.－2

是b的平方，則a×）C.1D.1

等于（）3.要

，則a的范圍是（）A.

a4

B.

a4

C.

a4

D.任4.下法的根－1平方根是1平方根是01的平只正數(shù)有立方根。其中正確的有（）A.1個(gè)

B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)5.（黃岡）下列說(shuō)法中正確的是）A.

是一個(gè)無(wú)理數(shù)B.函

的自變量x的范圍是＞18的立方根是±2若點(diǎn)P（－2，a和點(diǎn)Q（b，）于軸對(duì)則＋b的值為6.一然數(shù)算術(shù)平方根x，則a＋1的立是（）A.

B.C.D.若一個(gè)數(shù)的平方根為±8，則這數(shù)的立根____________。已知x＝是M立方根，是相反數(shù)，且＝3a－7么x平方根是。的平方根____________）的平方根____________一個(gè)數(shù)的立方根恰好等于這個(gè)數(shù)算術(shù)平方根的一半，求這個(gè)數(shù)。11.已x的方根是±2＋y的方根是，求＋y

的算術(shù)平方根。12.王有兩個(gè)棱長(zhǎng)為的方體紙箱，都裝滿了書(shū)，他現(xiàn)在把這些書(shū)都放入一個(gè)新制的正方體木箱中，正好裝滿那么這個(gè)木箱的棱長(zhǎng)大約是多少？想想看到0.01cm）1.B

解析：根據(jù)平方根和立方根的概可知，一個(gè)有理平方根和立方根相同，那么這個(gè)數(shù)是0所以，0的平根立根相同故選B2.B析：此題主要考查了立根的定義，求一個(gè)數(shù)的立方根，應(yīng)先找出所要求的這個(gè)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)的立方立方立方是互逆運(yùn)算方的方法求這個(gè)數(shù)的立方根意一個(gè)數(shù)的立方根與原數(shù)的性質(zhì)符相同。先根據(jù)立方根、平方根的定義求出a、b的，再代入所求代數(shù)式中計(jì)算即可求解由題意得a，b＝所以a×（）＝－2×）＝－23.C

解析：此題主要考開(kāi)立方。求個(gè)數(shù)的立方根，應(yīng)先找出所要求的這個(gè)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)的立方開(kāi)和立方互逆運(yùn)算立的方法求這個(gè)數(shù)的立方根意個(gè)數(shù)的立方根與原數(shù)的符號(hào)相同。由方根的定義可知，此時(shí)根式的值應(yīng)為，由題意可得－4＝4－a，此即可求出a的。故選C4.B析：此題主要考查了平根的定義，注意：一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根有兩個(gè)，一正一負(fù)。正值為算平方根。根據(jù)平方根的定義即可判定1平方根是±1，故說(shuō)法錯(cuò)誤；根據(jù)平方根的定義即可判定的方根是－1數(shù)有方法錯(cuò)誤；（3）根據(jù)平方根的定義即可判0的方根是0，故說(shuō)法正確；根據(jù)平方根的定義即可判定1的平根故法確利用立根的定義分析即可判定有正數(shù)才有立方根對(duì)數(shù)有立方根，故說(shuō)法錯(cuò)誤。故選。5.B析：判斷一個(gè)數(shù)是理數(shù)，應(yīng)先化簡(jiǎn)后判斷；二次根式有意義的條件是被開(kāi)方數(shù)大于或等于，有意的條件是分母不等于；掌握立方根的性質(zhì)和關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩的坐標(biāo)之間的關(guān)系。A.＝2，一個(gè)有理數(shù)，故A錯(cuò)正數(shù)有一個(gè)正的立方根，故C錯(cuò)兩點(diǎn)若關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則橫坐標(biāo)等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，得＝3，b－2則＋b＝1，D錯(cuò)B.根次根式和分式有意義條件得x，故正；故選。6.D析：此題考查了立方根算術(shù)平方根的知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根表示出這個(gè)數(shù)，難度一般。根據(jù)這數(shù)的算術(shù)平方根可得出這個(gè)繼而可得出下一個(gè)的立方根。由題意得這個(gè)數(shù)為x，故a＋1：＋1，a的方為：故選。

，7.4析：此題主要考查了立根、平方根的定義，求一個(gè)數(shù)的立方根，應(yīng)先找出所要求的這個(gè)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)的立方開(kāi)方立是逆算方法求這個(gè)數(shù)的立方根。∵（±8＝64∴64的立為4。解析：23解析：23故答案：8.±

由于＝

是的根，所以a＝3①

是x的相反數(shù)，所以M－－6M－7入M＝－－6－7＝－－6②，聯(lián)立①②解方程組即可求出a、b后就可以求出x的方。∵x＝是M的根，∴a＋b＝3①而是x的相，∴M＝－－6而M＝3a，代入＝－6得3a－7＝）②，聯(lián)立①②得：解之得：，∴M＝3a－7＝8∴x＝＝2∴x平方根是±故答案為：±

。9.±

，5解：根據(jù)立方根的定義出

的值，再根據(jù)平方根的定義進(jìn)行算即可求解；先求出（）∵7＝343，∴＝7

的值是，再根據(jù)算術(shù)平方根的義進(jìn)計(jì)算?！?/p>

的平方根是±

；∵（－5＝25又＝25，∴（－5

的算術(shù)平方根是5。故答案為：±，5。10.0或64：設(shè)這個(gè)數(shù)根據(jù)已知條件即可列出關(guān)于方程，先在方程的兩邊同時(shí)次方掉根號(hào)后，再解程即可。設(shè)這個(gè)數(shù)為x，則∴

，＝，∴x()20或x故這個(gè)數(shù)是0或。

。11.x的平方根為析：根據(jù)平方根方根的定義和已知條件可知x－2＝4，2x＋y＋7＝27，程解x、y最后代入代數(shù)式求解即可。解：∵x的平方根是±2，∴x－2＝4∴x＝6∵2x＋y的方根是3∴2x＋y＋7＝27把x的值代入解得：y＝8，∴x＋y

的算術(shù)平方根為10。12.50.