一、等差例1：下列圖形都是由幾個(gè)黑色和白色的正方形按一定規(guī)律組成，圖①中有個(gè)黑色正方形，圖②中有5個(gè)黑色正方形，圖③中有8個(gè)黑色正方形，圖④中有11個(gè)黑色正方形，?此規(guī)律，圖⑩中黑色正方形的個(gè)數(shù)是，第n個(gè)中黑色正方形個(gè)數(shù)為：練習(xí)：1、下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有個(gè)小圓圈，第②個(gè)圖形中一共有9個(gè)圓圈，第③個(gè)圖形中一共有12個(gè)小圓圈，?此規(guī)排列，則第⑦個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為122、觀察下列一組數(shù)：，，，，根據(jù)這組數(shù)的排列規(guī)律，可推出第10個(gè)數(shù)是_______.357二、高斯求和例2：古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)13，6，10，15，21，?作三角形數(shù)，其中是第1個(gè)三角形數(shù)，3是第2個(gè)三角形數(shù)，是第3個(gè)三角形數(shù)，?此類推，那么第個(gè)三角形數(shù)是

，2016是第

個(gè)三角形數(shù).練習(xí)：1、如圖是由等圓組成的一組圖，第①個(gè)圖由1個(gè)圓組成，第②個(gè)圖由5個(gè)圓組成，第③個(gè)圖由12個(gè)圓組成?規(guī)律排列下去，則第n個(gè)圖由個(gè)圓組成．2、觀察下列砌鋼管的橫截面圖：則第n個(gè)圖的鋼管數(shù)是（用含n的式子表示）

3、如圖，下列圖案均是長(zhǎng)度相同的火柴按一定的規(guī)律拼搭而成：第1個(gè)圖案需7根火，第2個(gè)圖案需13根火柴，?規(guī)律，第11個(gè)圖案需火柴根數(shù)為4、觀察下列一組圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中第1個(gè)圖中共有4個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖形中共有個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖形共有19個(gè)點(diǎn)，?此規(guī)律第個(gè)圖形中共有點(diǎn)的個(gè)數(shù)5、下面是某一種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)規(guī)律，第n（n＞3）行，第3個(gè)數(shù)是三、平方型例3：觀察下列各數(shù)：,4,,,，按你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算這列數(shù)的第n個(gè)數(shù)為練習(xí)：1、觀察下列各數(shù)315，按你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算這列數(shù)的第n個(gè)數(shù)為2、某體育館用大小相同的長(zhǎng)方形木塊鑲嵌地面，1次鋪2塊，如1；2次把第1次鋪的完全圍起來(lái)，如圖2；3次把第2次鋪的完全圍起來(lái)，如圖3；?方法，n次鋪完后，用字母n表示第n次鑲嵌所使用的木塊塊數(shù)為

n122四、乘方n122例4：下列式子按一定規(guī)律排列：

aaa,,,6

，則第2016個(gè)式子是________.練習(xí)：1、如圖，在第1個(gè)△A1BC，∠B=30°，A1B=CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D延長(zhǎng)CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2個(gè)△；在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長(zhǎng)A1A2到，使A2A3=A2E，得到3個(gè)A2A3E?法繼續(xù)下去n三角形中為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是)·75°

n-1·65°

C.

n-1

·75°

D.

n

·85°2、在平面直角坐標(biāo)系中，正方形CDDEEBCD、BC?1122223333如圖所示方式放置，其中點(diǎn)在y軸上，C、、C、EC?軸上，23已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠B°B∥∥B?方形12332015

2015

2015

2015

的邊長(zhǎng)是（）1A．（C．

1B．（D．五、周期例5：如圖，已知正方形，頂點(diǎn)A（，）,B（1，）,C（3，），規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”為一次變換，如此這樣，連續(xù)經(jīng)過(guò)次變換后，正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)M坐標(biāo)變?yōu)?)A.（-2014，2）B.（-2014，-2）C.（-2015，-2）D.（-2015，2）

練習(xí)：1、將一組數(shù)，，33，，?，按下面的方法進(jìn)行排列：，，323，；32，21；?3位置記為（，4）的位置記為（3），則這組數(shù)中最大的有理數(shù)的位置記為()2、在平面直角坐標(biāo)系中，孔明做走棋的游戲，其走法是：棋子從原點(diǎn)出發(fā)，第步向右走1個(gè)單位第2步向右走2個(gè)單位第3步向上走1個(gè)單位第4步向右走1單位?推，第n步的走法是：當(dāng)n能被整除時(shí)，則向上走1個(gè)單位；當(dāng)n被3除，余數(shù)為1時(shí)則向右走1個(gè)單位；當(dāng)n被3除，余數(shù)為時(shí)，則向右走2個(gè)單位，當(dāng)走完100時(shí)，棋子所處位置的坐標(biāo)是()3、如圖A點(diǎn)的初始位置位于數(shù)軸上的原點(diǎn)，現(xiàn)A點(diǎn)做如下移動(dòng)：第1次從原點(diǎn)向移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度至B點(diǎn)，2次從點(diǎn)向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度至C點(diǎn)，第3次從C點(diǎn)向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度至D點(diǎn)，第4次從D點(diǎn)向左移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度至E點(diǎn)，?此類推，這樣少移動(dòng)______次后該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于4、將連續(xù)正整數(shù)按如下規(guī)律排列：若正整數(shù)565位于第a行，第b列，則a+b=_______.5、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的半圓O1、O2O3，?條平滑的曲線點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)沿這條曲線向右運(yùn)動(dòng)速度為每秒秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）

個(gè)單位長(zhǎng)度則第

六、圖形的變換例：將一些相同的“○”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個(gè)“龜圖”中的“○”的個(gè)數(shù)，若第n個(gè)“龜圖”中有245“○”，則n=練習(xí)：1、如圖，將△ABC沿著過(guò)AB中D的直線折疊，使點(diǎn)落在BC邊上的A，稱為第1操作，折痕到BC的距離記為h1；還原紙片后，再將△沿著過(guò)AD中點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在DE邊上A處，稱為第2次操作，折痕DE到BC的距離記為；按上述方法不斷1操作下去?2015操作后得到的折痕2014

2014

到BC的距離記為h2015到BC的距離記為h2015．若h1=1，則的值為2、下列圖形是將正三角形按一定規(guī)律排列，則第個(gè)圖形中所有正三角形的個(gè)數(shù)有七、計(jì)算歸納例7：觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式：32-4×12=5①52-4×22=9②72-4×32=13③?根據(jù)上述規(guī)律解決下列問(wèn)題：（1）完成第四個(gè)等式：92-4()2=()；（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并驗(yàn)證其正確性.

練習(xí)：1、已知

111?227依據(jù)上述規(guī)律，計(jì)算

111112017

的結(jié)果為_(kāi)______2、觀察下列等式:32-12=8，52-12=24，72-12=48，92-12=80,?上規(guī)律可以得出第n個(gè)等式為_(kāi)________.八、函數(shù)例8：如圖，△A，△，，?22n

n

都是等腰直角三角形，其中，A，?A在x軸上，，，?在直線上，已=1，OAn12015

=________.練習(xí)：1如圖拋物線y=x2在第一象限內(nèi)經(jīng)過(guò)的整數(shù)（橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)依為，A2，A3??拋物線沿直線L：y=x上平移，得一系列拋物線，且滿足下列條件：①拋物線的頂點(diǎn)M1，M2，，??直線