※※※※※※※※※※ 2017屆學(xué)生 ※※畢業(yè)論文材料※※ （四） ※ ※※※※※※※※※學(xué)生畢業(yè)論文 課題名稱 調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系研究 姓名 學(xué)號 院系 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 專業(yè) 信息與計算科學(xué) 指導(dǎo)教師 湖南城市學(xué)院本科畢業(yè)論文誠信聲明本人鄭重聲明：所呈交的本科畢業(yè)論文，是本人在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下，獨立進行研究工作所取得的成果，成果不存在知識產(chǎn)權(quán)爭議，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。本科畢業(yè)論文作者簽名：二〇一五年五月二十二日目錄摘要1關(guān)鍵詞1ABSTRACT1KEYWORDS21.解析函數(shù)31.1解析函數(shù)的概念31.2函數(shù)解析的充要條件32.調(diào)和函數(shù)42.1調(diào)和函數(shù)的定義42.2共軛調(diào)和函數(shù)63.調(diào)和函數(shù)和解析函數(shù)之間的關(guān)系63.1從調(diào)和函數(shù)觀點研究解析函數(shù)的性質(zhì)6 3.1.1調(diào)和函數(shù)的性質(zhì) 63.1.2解析函數(shù)的性質(zhì)63.2解析函數(shù)的等價刻畫及應(yīng)用83.3由調(diào)和函數(shù)構(gòu)造相關(guān)解析函數(shù)的方法93.4調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系123.4.1解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系123.4.2調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)的關(guān)系123.4.3解析函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)的關(guān)系12結(jié)論12參考文獻13致謝13 調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系研究摘要：解析函數(shù)作為復(fù)變函數(shù)研究的主要對象，與調(diào)和函數(shù)有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系.主要論述了解析函數(shù)、調(diào)和函數(shù)的定義；通過引入共軛調(diào)和函數(shù)的概念，將解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)聯(lián)系在一起；從調(diào)和函數(shù)的觀點出發(fā)，探討了解析函數(shù)的某些性質(zhì)并由具體實例做其等價刻畫；在此基礎(chǔ)上通過實際問題介紹了四種由調(diào)和函數(shù)構(gòu)造解析函數(shù)的方法，分別是偏積分法、線積分法、不定積分法和變量替換法.關(guān)鍵詞：解析函數(shù)、調(diào)和函數(shù)、共軛調(diào)和函數(shù)StudyontherelationshipbetweentheHarmonicfunctionandtheAnalyticfunctionAbstract:AsthemainobjectoftheComplexVariableFunction,AnalyticFunctionshasaprofoundconnectionwiththeHarmonicFunctions.itmainlydiscussesthedefinitiofntheAnalyticFunctionsandtheHarmonicFunctions;byintroducingtheconceptoftheConjugateHarmonicFunctions,contacttheAnalyticFunctionswiththeHarmonicFunctions;fromthepointofviewoftheHarmonicFunctions,discussessomepropertiesoftheAnalyticFunctions,andmeanwhile,doesitsequivalentdescriptionsbytheconcreteexamples;onthebasisoftheactualproblemintroducesfourkindsofmethodofconstructingtheHarmonicFunctionbytheAnalyticFunctions,whicharethemethodsofPartialIntegration,LinerIntegration,IndefiniteIntegrationandVariableReplacement.Keywords:AnalyticFunctions,HarmonicFunctions,ConjugateHarmonicFunctions解析函數(shù)作為復(fù)變函數(shù)的主要研究對象，有著許多性質(zhì)，歸納出解析函數(shù)、調(diào)和函數(shù)及共軛調(diào)和函數(shù)三者之間的推導(dǎo)關(guān)系.1.解析函數(shù)1.1解析函數(shù)的概念解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)研究中最重要的基礎(chǔ)定理，先引入復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念再來討論解析函數(shù).下面給出導(dǎo)數(shù)定義：定義1.1.1設(shè)函數(shù)f(z)在點z的某鄰域內(nèi)有定義，zz是鄰域內(nèi) 0 0任一點，f(zz)f(z)，如果 0 0f(zz)f(z)limlim00 z0zz0 zd存在有限的極限值A(chǔ)，則稱f(z)在z處可導(dǎo)，A記作f(z)或，即 0 0 dzzz0f(zz)f(z) f(z)lim 0 0,0 z0 z或f(z)z(z)(z0),0也稱df(z)f(z)z或f(z)dz為f(z)在z處的微分，故也稱f(z)在z處可 0 0 0 0 0微.由定義可知，如果f(z)在z處可導(dǎo)(或可微)，則f(z)在z處連續(xù).下面給0 0出解析函數(shù)的概念：定義1.1.2如果f(z)在z及z的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在z處解 0 0 0析；如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點解析，則稱f(z)在D內(nèi)解析，或說f(z)是D內(nèi)的解析函數(shù)；如果f(z)在z處不解析，則稱z為f(z)的奇點. 0 01.2函數(shù)解析的充要條件一般地，作為解析函數(shù)的實部和虛部都是二元函數(shù)，而研究他們的特性要基于柯西-黎曼(CauchyRiemann)方程（簡稱CR方程），有以下定理：定理1.2.1函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在zxiy處可導(dǎo)的充要條件是u(x,y)，v(x,y)在點(x,y)處可微，而且滿足柯西-黎曼(CauchyRiemann)方程（簡稱CR方程）：uvuv，.xyyx定理1.2.2函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析（即在D內(nèi)可導(dǎo)）的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)處處可微，而且滿足CR方程.推論函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有定義，如果在D內(nèi)u(x,y)和v(x,y)的四個偏導(dǎo)數(shù)u，u，v，v存在且連續(xù)，并且滿足CR方程，則 x y x yf(z)在D內(nèi)解析.由上述定義可知函數(shù)的解析與可導(dǎo)存在密切聯(lián)系，而可導(dǎo)又與連續(xù)密切相關(guān)，其三者之間的關(guān)系可由下圖清晰表出： f(z)在D內(nèi)解析 f(z)在D內(nèi)可導(dǎo) f(z)在點z解析(zD)f(z)在點z可導(dǎo)(zD) 0 00 0 f(z)在點z連續(xù)(zD) 0 02.調(diào)和函數(shù)2.1調(diào)和函數(shù)的定義定義2.1.1如果二元實函數(shù)（x,y）在區(qū)域D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足二維拉普拉斯(Laplace)方程22 0，x2y2則稱（x,y）為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，或說函數(shù)（x,y）在區(qū)域D內(nèi)調(diào)和.定理2.1.2設(shè)函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)的實部u(x,y)和虛部v(x,y)都是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).證明：因f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，所以u，v在D內(nèi)滿足CR方程uvuv，.xyyx當(dāng)f(z)解析時u，v有任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).在上述二式中分別對y和x求偏導(dǎo)數(shù)，得 2u2v 2u 2v ，. xyy2 yx x22u 2u因 ，于是xyyx 2v2v2u 2u 0.x2y2xyyx這就是說，v(x,y)是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).同理，u(x,y)也是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).另證定理2.1.2的逆不真.即證：若f(z)u(x,y)iv(x,y)的實部u(x,y)和虛部v(x,y)都是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)不一定解析.y反例：u(x,y)x2y2，v(x,y)均為調(diào)和函數(shù)，x2y2y但f(z)u(x,y)iv(x,y)(x2y2)i不解析.x2y2 u u v 2xy v x2y2由于2x，2y，， x y x (x2y2)2 y(x2y2)2 uv u v而，xyyx即f(z)不滿足CR方程.2.2共軛調(diào)和函數(shù)的引入 定義2.2.1設(shè)函數(shù)（x,y）及（x,y）均為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且滿足CR方程，.xy y x則稱(x,y)是(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).定理2.2.2復(fù)變函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件是在區(qū)域D內(nèi)，f(z)的虛部v(x,y)是實部u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).3.調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)之間的關(guān)系由上知解析函數(shù)的實部和虛部都是調(diào)和函數(shù)，而給出一個調(diào)和函數(shù)，如果該函數(shù)的定義域是單連通的，則存在一個解析函數(shù)以該調(diào)和函數(shù)為其實部或虛部，所以說解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)有非常密切的聯(lián)系.3.1從調(diào)和函數(shù)觀點研究解析函數(shù)的性質(zhì)調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的性質(zhì)有著很多相似之處，比方說它們都有極值原理、Liouville定理等，現(xiàn)從調(diào)和函數(shù)的觀點來研究解析函數(shù)的這兩個性質(zhì).3.1.1調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)定理3.1.1.1(極值原理)非常數(shù)的調(diào)和函數(shù)區(qū)域D內(nèi)不能達(dá)到極大值和極小值.定理3.1.1.2(Liouville定理)R2上的有界調(diào)和函數(shù)必要為常數(shù).3.1.2解析函數(shù)的性質(zhì)首先給出調(diào)和函數(shù)和解析函數(shù)之間的關(guān)系：定理3.1.2.1設(shè)f(z)u(x,y)iv(x,y)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則u(x,y)和v(x,y)都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).反之，有定理3.1.2.2設(shè)D是單連通的區(qū)域，則對D上的任意調(diào)和函數(shù)u(x,y)，必存在調(diào)和函數(shù)v(x,y)，使得f(z)u(x,y)iv(x,y)是D內(nèi)的解析函數(shù)函數(shù).下面從調(diào)和函數(shù)的觀點來看解析函數(shù)的極值原理和Liouville定理.定理3.1.2.3(極值原理)設(shè)f(z)為在區(qū)域D內(nèi)非常數(shù)的解析函數(shù)，則f(z)在D內(nèi)無極大值點.證明（方法1）：設(shè)f(z)u(x,y)iv(x,y)，則u(x,y)和v(x,y)都是R2上的調(diào)和函數(shù)，有f(z)2（u2v2）2u22uu2v22uv0.這說明f(z)2是一個下調(diào)和函數(shù)，由下調(diào)和函數(shù)的極值原理知，f(z)2在D內(nèi)無極大值點，從而f(z)在D內(nèi)無極大值點.證明（方法2）：設(shè)f(z)u(x,y)iv(x,y)，則u(x,y)和v(x,y)都是R2上的調(diào)和函數(shù)，因此u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)既無極大值也無極小值，從而f(z)2u2v2在D內(nèi)無極大值點，所以f(z)在D內(nèi)無極大值點.定理3.1.2.4(Liouville定理)設(shè)f(z)是復(fù)平面C有界的解析函數(shù)，則f(z)在C內(nèi)為常數(shù).證明：設(shè)f(z)u(x,y)iv(x,y)，則u(x,y)和v(x,y)都是R2上的調(diào)和函數(shù)，因為f(z)在區(qū)域C內(nèi)有界，所以u(x,y)和v(x,y)在C內(nèi)也有界，這樣由調(diào)和函數(shù)的Liouville定理得出f(z)在C內(nèi)為常數(shù).注：除了上述兩個定理之外，解析函數(shù)還有一些性質(zhì)與調(diào)和函數(shù)性質(zhì)是相應(yīng)的，比如平均值定理等.3.2解析函數(shù)的等價刻畫及應(yīng)用定理3.2.1設(shè)u(x,y)是在單連通區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)存在由下式v(x,y)(x,y)udxudyc， (x,y)y x00所確定的函數(shù)v(x,y)，使f(z)uiv是D內(nèi)的解析函數(shù).定理2.2.2刻畫解析函數(shù)又一等價條件.由于任一二元調(diào)和函數(shù)都可作解析函數(shù)的實部（或虛部），由解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)仍解析知，任意二元調(diào)和函數(shù)的任意階偏導(dǎo)數(shù)也是調(diào)和函數(shù).下面通過具體實例體現(xiàn)解析函數(shù)之應(yīng)用：例1證明xy2不能作為解析函數(shù)的實部.證明：設(shè)u(x,y)xy2，u 2u u 2u由于y2，0，2xy，2x. x x2 y y2故當(dāng)x0，u(x,y)不是調(diào)和函數(shù)，雖然在直線x0上滿足Laplace方程，但直線不是區(qū)域，即在z平面的任一區(qū)域，xy2不能作為解析函數(shù)的實部.y例2證明u(x,y)x2y2，v(x,y)都是調(diào)和函數(shù)，f(z)u(x,y)x2y2iv(x,y)不是解析函數(shù).u 2u u 2u證明：由于2x，2，2y，2. x x2 y y2 v 2xy v x2y2 , , x(x2y2)2 y(x2y2) 2v6x2y2y3 2v6x2y2y3 , x2 (x2y1)3 y2 (x2y1)3 2u2u 2v2v從而0，0x2y2x2y2即u(x,y)是z平面上的調(diào)和函數(shù)，v(x,y)是C0上的調(diào)和函數(shù).uv但，xy從而在C0上u與v不滿足CR方程，故v不是u的共軛調(diào)和函數(shù)，即f(z)u(x,y)iv(x,y)不是解析函數(shù).3.3由調(diào)和函數(shù)構(gòu)造相關(guān)解析函數(shù)的方法現(xiàn)通過舉例來說明如何由已給調(diào)和函數(shù)來確定與之相關(guān)的解析函數(shù)的四種不同的方法：偏積分法、線積分法、不定積分法、變量替換法.為了敘述方便起見，下面僅討論由已給調(diào)和函數(shù)來確定以之為實部的解析函數(shù)的問題.例3已知u(x,y)y33x2y，證明u(x,y)為調(diào)和函數(shù)并求以之為實部的解析函數(shù)f(z)，使得f(0)i.解由u(x,y)y33x2y，可得 u u 2u 2u6xy，3y23x2，6y，6y， x y x2 y22u2u 于是 0，即u(x,y)為調(diào)和函數(shù).x2y2下面我們用四種不同的方法來求以u(x,y)為實部的解析函數(shù)f(z).方法I偏積分法一般原理：已知u(x,y)為區(qū)域DC內(nèi)某解析函數(shù)f(z)的實部，由C-R條uv件：，可得xyv(x,y)udy(x,y)g(x)y v u u再由，可得(x,y)g(x).于是 x y x yg(x)(u(x,y))dx y x從而得以u（x,y）為實部的解析函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y). uv -6xydy3xy2g(x)由例3得：由6xy，可得v(x,y)xy v u v再由，可得3y2g(x)， x y x于是3y2g(x)3y23x2，于是g(x)3x2dxx3c，因此v(x,y)x33xy2c，故f(z)u(x,y)iv(x,y)y33x2yi(x33xy2c)i(z3c)由f(0)i，得c1，由此得所求解析函數(shù)為f(z)i(z31).方法II線積分法一般原理：已知u(x,y)為區(qū)域DC內(nèi)解析函數(shù)f(z)的實部，由于u(x,y) 2u2u u u為調(diào)和函數(shù)，則 0.即()()， x2y2 yy xx u u由此可知-dxdy必為某一個二元函數(shù)v的全微分： y x u u v vdvdxdydxdy. y x x y v u uv于是有，.從而uiv必為一解析函數(shù)，xyxy而v(x,y)udxudyc (x,y)y x 0 0其中c為常數(shù)，(x,y)為D內(nèi)某一點. 0 0由例3得：由u(x,y)y33x2y，全微分定義及C-R條件可得 u u v vdv-dxdy(3y23x2)dx6xydydxdy y x x y則v(x,y)(x,y)(3y23x2)dx6xydyc(0,0)(x,0)(3y23x2)dx6xydy(x,y)(3y23x2)dx6xydyc (0,0) (x,0)x3x2dxy6xydycx33xy2c 0 0后面同方法I.方法III不定積分法一般原理：解析函數(shù)的無窮可微性告訴我們，解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)函數(shù)f(z)仍是解析函數(shù),若已知調(diào)和函數(shù)u,則由導(dǎo)函數(shù)公式,可得f(z)的 u u實部與虛部()，并且可把f(z)還原成z的函數(shù),即有 x yuuf(z)iU(z),xy于是有f(z)U(z)dzc,其中c為純虛常數(shù).由例3得：由u(x,y)y33x2y，可得uuf(z)i-6xyi(3y23x2)3i(x22xyiy2)3iz2，xy故f(z)3iz2dzciz3c，再由f(0)i，得c1，由此得所求解析函數(shù)為f(z)i(z31).方法IV變量替換法一般原理：由解析函數(shù)唯一性定理，可知在含有實軸一段的區(qū)域D內(nèi)，如果u(x,y)iv(x,y)與u(z,0)iv(z,0)都解析，則在D內(nèi)u(x,y)iv(x,y)u(z,0)iv(z,0)，zxiy.在含有虛軸一段的區(qū)域D內(nèi)，如果u(x,y)iv(x,y)與u(0,-iz)iv(0,iz)都解析，則在D內(nèi)u(x,y)iv(x,y)u(0,iz)iv(0,iz)，zxiy.由例3得：由u(x,y)y33x2y，zxiyC，可得uuf(z)i6xyi(3y23x2)xz,y03iz2xyuu或f(z)i6xyi(3y23x2)x0，yiz3iz2xy故f(z)3iz2dzciz3c，再由f(0)i，得c1，由此得所求解析函數(shù)為f(z)i(z31).注意：1.在含有實軸一段的區(qū)域D內(nèi)，或在含有虛軸一段的區(qū)域D內(nèi).不難看出，方法IV給出了方法III如何“把f(z)還原成z的函數(shù)”的一個簡便方法，因此方法IV是方法III的補充和完善.2．從形式上看，方法IV是通過變量替換“xz,y0”或“x0，yiz”實現(xiàn)的，但本質(zhì)上是依據(jù)解析函數(shù)唯一性定理.而且重要的是此唯一性定理的如下重要推論“一切在實軸上成立的恒等式，在復(fù)平面上也成立.只要這個恒等式的等號兩邊的函數(shù)在復(fù)平面上都是解析的”.3.4總結(jié)調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系3.4.1解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系由定理2.1.2得任何在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)，它的實部和虛部都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).3.4.2調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)的關(guān)系由定義2.1.1得設(shè)函數(shù)（x,y）及（x,y）均為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，uvuv且滿足CR方程，.則稱是的共軛調(diào)和函數(shù). xy y x3.4.3解析函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)的關(guān)系由定理2.2.2得復(fù)變函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件是在區(qū)域D內(nèi)，f(z)的虛部v(x,y)是實部u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).結(jié)論通過以上研究可以看出，解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系可以通過復(fù)變函數(shù)的實部和虛部兩個二元函數(shù)來刻畫，而共軛調(diào)和函數(shù)的引入，可成為二者的過渡，正是由于這