第2章力守恒定律

2.1牛頓運動定律

2.2動量守恒

2.3能量守恒2.1牛頓運動定律2.1.1牛頓三定律牛頓第一定律表述為:任何物體都保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)，直至其他物體所作用的力迫使它改變這種狀態(tài)為止。用數(shù)學等式表示為:F=0v=恒矢量牛頓第一定律闡明任何物體都具有保持靜止或勻速直線運動的性質(zhì)，稱為慣性。因此，牛頓第一定律也稱為慣性定律。牛頓第一定律還闡明力的作用是迫使物體運動狀態(tài)改變，而物體的慣性企面保持物體的運動狀態(tài)不變。力是物體之間相互作用，是改變運動狀態(tài)的原因。下一頁返回2.1牛頓運動定律

2.牛頓第二定律牛頓第二定律的內(nèi)容:物體的加速度與物體所受的合外力成正比，與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與合外力的方向一致在國際單位制中，牛頓第二定律的數(shù)學表達式為

F=ma(2-2)

式(2-2)是矢量式。F為合外力，合外力產(chǎn)生的加速度等于各分力產(chǎn)生的加速度的矢量和。F與a的關(guān)系為瞬時關(guān)系。正確理解牛頓第二定律應注意以下幾點:(1)力是產(chǎn)生加速度的原因，兩者間存在因果關(guān)系

(2)力的方向就是加速度的方向，兩者間存在矢量對應關(guān)系。

(3)若力是變化的，則產(chǎn)生的加速度也是變化的，兩者間存在瞬時對應關(guān)系。下一頁返回上一頁2.1牛頓運動定律

(4)牛頓第二定律只適用于研究宏觀物體、低速運動問題，同時所用參照系應該是相對于地面靜止或勻速直線運動的物體，a是相對地面的加速度。

(5)牛頓第二定律是動力學的核心規(guī)律，是本章重點和中心內(nèi)容，在力學中占有重要的地位。

3.牛頓第三定律力是物體對物體的作用，當甲物對乙物施加力的作用的同時，也受到乙物對它施加的方向相反的作用，因此，物體間的作用總是相互的，成對出現(xiàn)的。我們把兩個物體間相互作用的這對相反的力叫做作用力和反作用力。它們遵從的規(guī)律就是牛頓第三定律，又叫作用力和反作用力定律

下一頁返回上一頁2.1牛頓運動定律牛頓第三定律的內(nèi)容:兩個物體之間的作用力和反作用力總是大小相等，方向相反，作用在一條直線上。其數(shù)學表達式為下一頁返回上一頁2.1牛頓運動定律2.1.2常見力和基本力

1.重力地球表面附近的物體都受到地球的吸引作用，這種因地球吸引而使物體受到的力叫做重力。在重力作用下，任何物體產(chǎn)生的加速度都是重力加速度。重力的方向和重力加速度的方向相同，都是豎直向下的。

2.彈力發(fā)生形變的物體，由于要恢復原狀，對與它接觸的物體會產(chǎn)生力的作用，這種力叫彈力。所以，彈力是產(chǎn)生在直接接觸的物體之間并以物體的形變?yōu)橄葲Q條件的。下一頁返回上一頁2.1牛頓運動定律

3.摩擦力兩個相互接觸的物體在沿接觸面相對運動時，或者有相對運動的趨勢時，在接觸面之間產(chǎn)生一對阻止相對運動的力，叫做摩擦力。相互接觸的兩個物體在外力作用下，雖有相對運動的趨勢，但并不產(chǎn)生相對運動，這時的摩擦力叫靜摩擦力。所謂相對運動的趨勢指的是，假如沒有靜摩擦，物體將發(fā)生相對滑動。正是靜摩擦的存在，阻止了物體相對滑動的出現(xiàn)值得注意的是，每個物體所受靜摩擦力的方向與該物體相對于另一物體的運動趨勢的方向相反。下一頁返回上一頁2.1牛頓運動定律4.萬有引力這是存在于任何兩個物體之間的吸引力。它的規(guī)律是胡克、牛頓等人發(fā)現(xiàn)的。按牛頓萬有引力定律，質(zhì)量分別為m1和m2的兩個質(zhì)點，相距為r時，它們之間的引力大小為式中的G0叫做萬有引力恒量，在國際單位制中，它的大小經(jīng)測定為下一頁返回上一頁2.1牛頓運動定律5.電磁力存在于靜止電荷之間的電性力以及存在于運動電荷之間的電性力和磁性力，由于它們在本質(zhì)上相互聯(lián)系，總稱為電磁力。2.1.3慣性參考系我們把適用牛頓運動定律的參考系叫做慣性參考系，簡稱慣性系;反之，就叫非慣性系。要確定一個參考系是不是慣性系，只能依靠觀察和實驗。地球這個參考系能否看作是慣性系呢?生活實踐和實驗表明，地球可視為慣性系，但考慮到地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，所以地球又不是一個嚴格的慣性系。然而，一般在研究地面上物體的運動時，由于地球?qū)μ柕南蛐募铀俣群偷孛嫔系奈矬w對地心的向心加速度都比較小，所以，地球仍可近似地看成是慣性系。下一頁返回上一頁2.1牛頓運動定律2.1.4力學相對性原理牛頓定律適用于慣性系，從一慣性系變換為另一慣性系時，牛頓第二定律形式將不變，即因此，對于任何慣性參考系牛頓第二定律都成立。即:任何慣性參考系在牛頓力學規(guī)律面前都是平等的。下一頁返回上一頁2.1牛頓運動定律2.1.5牛頓定律的應用1.應用牛頓定律解題步驟

(1)選定研究對象，正確隔離物體

(2)作受力分析，畫出隔離圖第一，分析力要全面，不應有遺漏?？蓮膬煞矫婵紤]:一方面為非接觸力，例如重力、電磁力等;另一方面考慮隔離體所處環(huán)境有哪些物體與它接觸，由此找出摩擦力、彈性力等接觸力。第二，對選定的研究對象畫出隔離圖，在圖中標出各個力的方向和質(zhì)點的加速度方向。這樣可以避免由于疏漏而引起的錯誤，而且圖形可以使我們對各物體之間的互相聯(lián)系以及可能的運動一目了然。

下一頁返回上一頁2.1牛頓運動定律(3)選定參考系和建立坐標系。牛頓第二定律只適用慣性系，在選定的慣性參考系上還要建立起相應的坐標系。如能知加速度方向，則令坐標軸與加速度平行或垂直，這樣可給計算帶來方便。

(4)建立運動方程并求解根據(jù)上述各項分析的結(jié)果，建立牛頓第二定律的矢量方程，并向選定的坐標系投影，表示成分量形式，以便于運算求解。最后是解方程，必要時再對結(jié)果加以討論。返回上一頁2.2動量守恒2.2.1動量定理1.沖量質(zhì)點的動量定理由牛頓第二定律得上式的積分為（2-12）下一頁返回2.2動量守恒式(2一12)的物理意義是:在給定時間間隔內(nèi)，合外力作用在質(zhì)點上的沖量，等于質(zhì)點在此時間內(nèi)動量的增量。這就是質(zhì)點的動量定理。式(2一12)是質(zhì)點動量定理的矢量表達式，在直角坐標系中，其分量式為（2-13）下一頁返回上一頁2.2動量守恒2.質(zhì)點系的動量定理我們先來研究兩個質(zhì)量分別為m1和m2的物體組成的系統(tǒng)。設(shè)這兩個物體在時刻t1開始相互作用，其速度分別為v10、v20;在時刻t2，相互作用結(jié)束時，速度分別為v1,v2。在相互作用的時間△t=t2-t1內(nèi)，這兩個物體可視作一個系統(tǒng)，它們除相互作用的內(nèi)力F1和F2，外，還分別受有合外力F1和F2的作用。對系統(tǒng)內(nèi)每一物體應用質(zhì)點動量定理，得下一頁返回上一頁2.2動量守恒將上兩式相加，有由牛頓第三定律，系統(tǒng)內(nèi)力F12=-F21，對整個系統(tǒng)而言:F12+F21=0于是，上式成為上式表明，作用于兩質(zhì)點組成系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)內(nèi)兩質(zhì)點動量之和的增量，亦即系統(tǒng)的動量增量上式不難推廣到由n個質(zhì)點所組成的系統(tǒng)?？紤]到內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，且大小相等、方向相反，故其矢量和必為零，這時有下一頁返回上一頁2.2動量守恒或?qū)懽髟O(shè)系統(tǒng)的初動量和末動量各為P0和P,則（12-15b）下一頁返回上一頁2.2動量守恒式(12-15b)表明，作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量。這就是質(zhì)點系的動量定理。對于在無限小的時間間隔內(nèi)，質(zhì)點系的動量定理可寫成上式表明，作用于質(zhì)點系的合外力等于質(zhì)點系的動量隨時間的變化率。下一頁返回上一頁2.2動量守恒2.2.2動量守恒定律1.動量守恒定律從式(2一15)可以看出，當系統(tǒng)所受合外力為零，即Fex=0時，系統(tǒng)的總動量的增量亦為零，即p–p0=0。這時系統(tǒng)的總動量保持不變，即

(2一16a)

這就是動量守恒定律，它的表述為:當系統(tǒng)所受合外力為零時，系統(tǒng)的總動量將保持不變。式(2一16a)是動量守恒定律的矢量式。在直角坐標系中，其分量式為下一頁返回上一頁2.2動量守恒下一頁返回上一頁2.2動量守恒關(guān)于動量守恒定律，要注意以下幾點:(1)動量是與慣性系選取有關(guān)的物理量，因此在計算系統(tǒng)動量時，各質(zhì)點的動量必須取同一個慣性系;動量定理和動量守恒定律都只在慣性系中才成立。

(2)動量守恒是有條件的:當系統(tǒng)不受外力或所受外力之矢量和為零，或者在所考慮的時間內(nèi)，所受外力與系統(tǒng)的內(nèi)力相比甚小而可忽略不計(如某些碰撞問題)時，系統(tǒng)的總動量守恒。

(3)當系統(tǒng)所受合外力不為零時，雖然不滿足動量守恒條件，但若外力在某一方向例如、軸方向)的分量之代數(shù)和為零，則系統(tǒng)的動量不守恒，但系統(tǒng)動量在該方向(x方向)的分量卻是守恒的下一頁返回上一頁2.2動量守恒

(4)動量是矢量，系統(tǒng)的動量是指系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點的動量之矢量和，而一般不指代數(shù)和。注意系統(tǒng)不受外力的情況下，盡管系統(tǒng)的動量恒定不變，但系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的動量卻可能各自不斷地改變。

(5)動量守恒定律是物理學中最普遍、最基本的定律之一。下一頁返回上一頁2.2動量守恒2.2.3碰撞1.碰撞分類設(shè)兩個質(zhì)量分別是m1和m2的球體，碰撞前的速度分別為v10和v20，且v10>v20。當?shù)谝粋€球追上第二個球后，二者相互擠壓，后球推動前球使其加速，前球阻擋后球使其減速，直到兩球速度相等，形變達到最大，這是碰撞過程的壓縮階段;此后開始恢復階段，后球以彈性力作用于前球使其進一步加速，前球以彈性力作用于后球使其進一步減速，直到分開，如圖2一13所示下一頁返回上一頁2.2動量守恒

(1)完全彈性碰撞。如果碰撞后兩個球體能夠完全恢復原來狀態(tài)，即在恢復階段，系統(tǒng)按相反的次序經(jīng)歷了壓縮階段的所有狀態(tài)，這一類碰撞稱為完全彈性碰撞。

(2)非彈性碰撞。如果碰撞后兩個球體并不能完全恢復原來狀態(tài)，即在恢復階段，系統(tǒng)不能按照相反次序經(jīng)歷壓縮階段的所有狀態(tài)，這一類碰撞稱為非彈性碰撞。一般的碰撞均屬于這一類。

(3)完全非彈性碰撞。在碰撞過程中，如果只有壓縮階段而不存在恢復階段，即碰撞后兩球連為一體，這一類碰撞稱為完全非彈性碰撞。下一頁返回上一頁2.2動量守恒

2.恢復系數(shù)關(guān)于對心碰撞，碰撞后兩球的分離速度v2-v1與碰撞前兩球的接近速度:v10-v20。的比值由兩球的材質(zhì)決定。其數(shù)學表達式為式中e稱為恢復系數(shù)，它滿足。0≤e≤1顯然，撞前兩球的接近速度，兩球作完全彈性碰撞;當e=0時，碰撞后兩球以相同速度運動并不分開，兩球作完全非彈性碰撞。一般情況下，0<e<1時，兩球作非彈性碰撞。下一頁返回上一頁2.2動量守恒如在完全彈性碰撞過程中v2-v1=v10-v20，可得碰撞后兩球的速度為在碰撞前后系統(tǒng)動能的增量為此式說明，在完全彈性碰撞前后，系統(tǒng)的動能守恒。返回上一頁2.3能量守恒2.3.1功動能定理1.功如有一質(zhì)點在力F的作用下，沿圖2一14所示的路徑AB運動。設(shè)在時刻t、質(zhì)點位于A，經(jīng)過時間間隔dt，質(zhì)點的位移為，dt。力F與質(zhì)點位移之間的夾角為θ

在物理學中，功的定義是:力對質(zhì)點所做的功為力在質(zhì)點位移方向的分矢量與位移大小的乘積。按此定義，該力所作的元功為下一頁返回2.3能量守恒從上式可以看出，當0°≤

θ<90°時，功為正值，即力對質(zhì)點做正功;當90°<

θ

≤180°時，功為負值，即力對質(zhì)點作了負功。由于力F與位移，dr均為矢量，從矢量的標積定義知，上式等號右邊為F與dr的標積，即質(zhì)點由點A運動到點B，在這過程中作用在質(zhì)點上的力的大小和方向都可能在改變。為求得在這過程中變力所做的功。我們把路徑分成很多段的多個位移元，使得在這些位移元內(nèi)，力可近似地看成是不變的。于是，質(zhì)點從點A移到點B時，變力所做的功應等于力在每段位移元上所作元功的代數(shù)和，即下一頁返回上一頁2.3能量守恒2.動能定理(1)質(zhì)點的動能定理如圖2一15所示:

由牛頓第二定律及切向加速度(有關(guān)切向加速度的定義，(見第三章3.1.2)的定義，有故可得下一頁返回上一頁2.3能量守恒于是，質(zhì)點自點a移動至點b這一過程中，合外力所作的總功為我們把mv2/2叫做質(zhì)點的動能，用Ek表示，即則Ek1Ek2分別表示質(zhì)點在起始和終了位置時的動能，合外力所作總功可表示為：

下一頁返回上一頁2.3能量守恒

(2)關(guān)于質(zhì)點動能定理的幾點說明:①按照質(zhì)點動能定理的表達式可知，在合外力對物體做正功(W>0)的過程中，物體在末態(tài)的動能(mv22/2)大于始態(tài)的動能(mv12/2)，反之，在合外力對物體做負功(W<0)的過程中，物體在末態(tài)的動能小于始態(tài)的動能，這時物體反抗合外力做功，或者說，物體克服施力物體的作用力作了正功，使物體減少或損失動能。所以，物體動能的改變可用功來量度。動能是運動物體所具有的做功本領(lǐng)。下一頁返回上一頁2.3能量守恒②從物理意義上來說，不能把功與動能混為一談。只有合外力對質(zhì)點做功，才能使質(zhì)點的動能發(fā)生變化。功是能量變化的量度，功涉及力所經(jīng)歷的位移過程，它是一個與空間過程有關(guān)的過程量。而質(zhì)點的運動狀態(tài)一旦確定，即m，v確定，則動能就唯一地確定。故動能是決定于質(zhì)點的運動狀態(tài)的，它是運動狀態(tài)的函數(shù)。③功和動能與參考系有關(guān)。與牛頓第二定律一樣，動能定理也僅適用于慣性系。此外，在不同的慣性系中，質(zhì)點的位移和速度是不同的，因此，功和動能依賴于慣性系的選擇。④功和動能是標量，兩者的單位相同，都是J(焦耳)下一頁返回上一頁2.3能量守恒2.3.2保守力與非保守力勢能

1.重力、彈性力做功的特點

(1)重力做功如圖2一17所示，一個質(zhì)量為m的質(zhì)點，在重力P作用下從點a沿，acb路徑至點b，點a和點b距地面的高度分別為y1和y2，因為質(zhì)點運動的路徑為一曲線，所以重力和質(zhì)點運動方向之間的夾角是不斷變化的。我們把路徑acb分成許多位移元，在位移元dr中，重力P所做的功為下一頁返回上一頁2.3能量守恒若質(zhì)點在平面內(nèi)運動，按圖2一17所選坐標，并取地面上某一點為坐標原點0，有且于是質(zhì)點由點a移至點b的過程中，重力作的總功為下一頁返回上一頁2.3能量守恒上式表明，重力做功只與質(zhì)點的起始和終了位置有關(guān)，而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)，這是重力做功的一個重要特點。(2)彈性力做功

圖2一18所示是一放置在光滑平面上的彈簧，彈簧的一端固定，另一端與一質(zhì)量為m的物體相連接。當彈簧在水平方向不受外力作用時，它將不發(fā)生形變，此時物體位于點0(即位于x=0處)，這個位置叫做平衡位置現(xiàn)以平衡位置0為坐標原點，向右為0x軸正向，計算使彈簧的伸長量由x1變到x2時，彈性力對物體做的功。

（2-23）下一頁返回上一頁2.3能量守恒從式(2-23)可以看出，對在彈性限度內(nèi)具有給定勁度系數(shù)的彈簧來說，彈性力作的功只由彈簧起始和終了的位置(x1和x2)決定，而與彈性形變的過程即與物體移動的具體路徑無關(guān)。

2.保守力與非保守力從上述對重力和彈性力做功的討論中可以看出，它們所做的功只與物體(或彈簧)的始、末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)，這是它們做功的一個共同特點。我們把具有這種特點的力叫做保守力。除了上面所講的重力、彈性力和萬有引力是保守力外，電荷間相互作用的庫侖力和原子間相互作用的分子力也是保守力。保守力做功與路徑無關(guān)的特性還可以用另一種方式來表示:物體沿任意閉合路徑運動一周時，保守力對它做功為零，即下一頁返回上一頁2.3能量守恒然而，在物理學中并非所有的力都具有做功與路徑無關(guān)這一特點，例如常見的摩擦力，它所做的功就與路徑有關(guān)，路徑越長，摩擦力做的功也越大。顯然，摩擦力就不具有保守力做功的特點，所有這些力都統(tǒng)稱為非保守力。3.勢能與物體位置有關(guān)的能量稱作物體的勢能，用符號EP表示即保守力對物體做的功等于物體勢能增量的負值下一頁返回上一頁2.3能量守恒于是，三種勢能分別為重力勢能引力勢能彈性勢能下一頁返回上一頁2.3能量守恒勢能是狀態(tài)的函數(shù)。在保守力作用下，只要物體的起始和終了位置確定了，保守力所做的功也就確定了，而與所經(jīng)過的路徑是無關(guān)的。所以說，勢能是坐標函數(shù)，亦即是狀態(tài)的函數(shù)，即Ep=Ep(x,y,z)。前面還說過，動能亦是狀態(tài)的函數(shù)，即Ek=Ek(x,y,z)

勢能的值與勢能零點的選取有關(guān)。一般選地面的重力勢能為零，引力勢能的零點取在無限遠處，而水平放置的彈簧處于平衡位置時，其彈性勢能為零。當然，勢能零點也可以任意選取，選取不同的勢能零點，物體的勢能就將具有不同的值。勢能可正可負，勢能為負只不過表明其勢能比選作零點的勢能小。所以，通常說勢能具有相對意義。但也應當注意，任意兩點間的勢能之差卻是具有絕對性的。勢能是屬于系統(tǒng)的。勢能是由于系統(tǒng)內(nèi)各物體間具有保守力作用而產(chǎn)生的。因而它是屬于系統(tǒng)的。單獨談單個物體的勢能是沒有意義的。下一頁返回上一頁2.3能量守恒2.3.3功能原理

1.內(nèi)力的功所謂系統(tǒng)，乃是指互有聯(lián)系的一組物體將其作為一個整體來加以研究。其中系統(tǒng)內(nèi)各個物體之間的相互作用力稱為系統(tǒng)的內(nèi)力，系統(tǒng)外的物體對其中任一物體的作用力稱為系統(tǒng)的外力。要注意:系統(tǒng)的外力和內(nèi)力的區(qū)分，視所取系統(tǒng)而異。

值得指出，系統(tǒng)的內(nèi)力是以作用力與反作用力的形式成對地出現(xiàn)的，它們等值、反向、共線，對整個系統(tǒng)而言，所有內(nèi)力的矢量和為零即∑F內(nèi)i=0但是，從做功過程來說，所有內(nèi)力做功的代數(shù)和卻不一定為零，即可能是∑W內(nèi)i≠0可證明如下:下一頁返回上一頁2.3能量守恒設(shè)一系統(tǒng)由兩物體B1,B2構(gòu)成，如圖2一19所示，它們之間相互作用的內(nèi)力為F'和F，且F=-F‘。當物體B1,B2相向地、各自發(fā)生位移元△r1、△r2時，內(nèi)力F對物體B1做正功，即與此同時，內(nèi)力F‘(F’和F大小相等)對物體B2也做正功，所以或下一頁返回上一頁2.3能量守恒從證明過程可知，組成系統(tǒng)的兩物體之間一對內(nèi)力所做元功之代數(shù)和等于作用于其中一個物體的內(nèi)力在該物體相對于另一物體(視作不動)發(fā)生位移元時所做的功。

2.質(zhì)點系的動能定理設(shè)系統(tǒng)由質(zhì)量分別為m1,m2……mn-1,mn的n個物體(質(zhì)點