課時(shí)追蹤檢測(cè)（五十）雙曲線(xiàn)一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快x2－y2＝1的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為_(kāi)_______．1．雙曲線(xiàn)412分析：由題意知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y＝±3x，焦點(diǎn)為(±4,0)，故焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離d＝23.答案：232．已知雙曲線(xiàn)x2＋my2＝1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則實(shí)數(shù)m的值是________．分析：依題意得m＜0，雙曲線(xiàn)方程是2－y2－1＝1x＝1，于是有2×1，m＝－.－1m4m答案：－1422xy3．雙曲線(xiàn)a2－b2＝1的兩條漸近線(xiàn)相互垂直，那么它的離心率為_(kāi)_______．分析：由漸近線(xiàn)相互垂直可知e＝2.答案：24．已知雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)F(0，5)，它的漸近線(xiàn)方程為y＝±2x，則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________．分析：設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2x2a2－b2＝1，由題意得c＝5，a2＋b2＝5，?a2＝4，a＝2?a＝2bb2＝1，by22因此雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為4－x＝1.答案：y224－x＝12y25．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)x－b2＝1的左、右焦點(diǎn)，A是雙曲線(xiàn)上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延伸AF2交雙曲線(xiàn)右支于點(diǎn)B，則△F1AB的面積等于______．分析：由題意可得|AF2|＝2，|AF1|＝4，則|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|＝|BF1|.又∠F1AF2＝45°，因此△ABF1是以AF1為斜邊的等腰直角三角形，因此其面積為1×4×2＝4.2答案：4二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)x2y21．若雙曲線(xiàn)E：9－16＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)E上，且|PF1|3，則|PF2|等于________．分析：由雙曲線(xiàn)的定義有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.答案：9x222．已知雙曲線(xiàn)a2－y＝1(a＞0)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)2x－y＋3＝0垂直，則該雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是________．分析：雙曲線(xiàn)x2212x－y＋3＝0垂直，2－y＝1(a＞0)的漸近線(xiàn)為y＝±x，若此中一條與直線(xiàn)aa1x22的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝±445則有－×2＝－1，解得a＝2，∴雙曲線(xiàn)－y＝14＋1＝±5.a445答案：x＝±5x2y23．已知雙曲線(xiàn)C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的離心率e＝2，且它的一個(gè)極點(diǎn)到相應(yīng)焦點(diǎn)的距離為1，則雙曲線(xiàn)C的方程為_(kāi)_____________________．c－a＝1，a＝1，2y2c＝2，分析：由題意得解得c＝2，則b＝3，故所求方程為x－3＝1.a2答案：x2－y＝13x2－y2＝1的兩條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)x＝1圍成的三角形的面積為_(kāi)_____．4．雙曲線(xiàn)412分析：由題知，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y＝±3x，故所求三角形的面積為12×23×1＝3.答案：3x2y25．(2016無(wú)·錫調(diào)研)若雙曲線(xiàn)a2－b2＝1(a>0，b>0)上存在一點(diǎn)P知足以|OP|為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于2ab(此中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是________．分析：由條件，得22|OP|＝2ab，又P為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，進(jìn)而|OP|≥a，∴2ab≥a，∴2b≥a，2又∵c2＝a2＋b22＋a＝52，∴e＝c5≥a44aa≥2.答案：5，＋∞222，F(xiàn)分別是雙曲線(xiàn)x2y26．(2016淮·安模擬)設(shè)F12a－b＝1的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______．分析：由于∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|2＝2a，故10a2＝4c2，故ca2＝52，故e＝ca＝210.答案：1027．若雙曲線(xiàn)x2y212－2＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離等于焦距的，則該ab4雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____．分析：雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為bx－ay＝0，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0)．依據(jù)題意知|bc－a×0|＝1×2c，因此c＝2b，a＝c2－b2＝3b，因此e＝c＝2＝23.b2＋a24a33答案：233x2y28．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)a2－b2＝1(a＞0，b＞0且a≠b)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)右支上異于極點(diǎn)的隨意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．給出下邊四個(gè)命題：①△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線(xiàn)x＝a上；②△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線(xiàn)x＝b上；③△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線(xiàn)OP上；④△PF1F2的內(nèi)切圓必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,0)．此中全部真命題的序號(hào)是______．分析：設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓分別與PF1，PF2切于A，B，與F1F2切于M，則|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|，又點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上，因此|PF1|－|PF2|＝2a，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,0)，則由|PF1|－|PF2|＝2a，可得(x＋c)－(c－x)＝2a，解得x＝a，明顯內(nèi)切圓的圓心與點(diǎn)M的連線(xiàn)垂直于x軸．由以上剖析易知，①④正確，②③錯(cuò)誤．答案：①④x2y29．雙曲線(xiàn)a2－b2＝1(a>1，b>0)的焦距為2c，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(a,0)，(0，b)，且點(diǎn)(1,0)到直線(xiàn)4l的距離與點(diǎn)(－1,0)到直線(xiàn)l的距離之和s≥c，求雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍．5解：直線(xiàn)l的方程為x＋y＝1，即bx＋ay－ab＝0.ab由(1,0)到l的距離d＝b－，同原因(－1,0)到l的距離d＝＋，因此s＝d1a2＋b22a2＋b21＋d2＝2ab＝2abc.a2＋b242ab4222由s≥≥－a，5c，得c5c，即5ac于是有2242＋25≤0，5e－1≥2e，即4e－25e解得5254≤e≤5，由e>1得2≤e≤5.故雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍為5，5.210．已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在座標(biāo)軸上，離心率為2，且過(guò)點(diǎn)(4，－10)．點(diǎn)M(3，m)在雙曲線(xiàn)上．(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)求證：MF1·MPF2＝0；(3)求△F1MF2的面積．解：(1)∵e＝2，則雙曲線(xiàn)的實(shí)軸、虛軸相等．∴可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x2－y2＝λ.∵雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴雙曲線(xiàn)方程為x2－y2＝6.(2)證明：設(shè)MF1＝(－23－3，－m)，MPF2＝(23－3，－m)．22∴MF1·MF2＝(3＋23)×(3－23)＋m＝－3＋m，∴MF1·MF2＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝43.由(2)知m＝±3.∴△F1MF2的高h(yuǎn)＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝1×43×3＝6.2三登臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．(2016常·州調(diào)研)設(shè)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，假如直線(xiàn)FB與該雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)垂直，那么此雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______．分析：設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x2y2a2－b2＝1(a，b>0)，不如設(shè)一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0)，虛軸端點(diǎn)為B(0，bb)，則kFB＝－.cb又漸近線(xiàn)的斜率為±，a因此由直線(xiàn)垂直關(guān)系得－bbb2222·＝－1－明顯不切合，即b＝ac，又c－a＝b，caa故c2－a2＝ac，兩邊同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝5＋1(舍負(fù))．2答案：5＋12x2y252．已知P是雙曲線(xiàn)a2－b2＝1(a>0，b>0)上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的離心率是4，且PF1·PPF2＝0，若△PF1F2的面積為9，則a＋b＝________.分析：由于c54223e＝＝，因此a＝c，b＝c－a＝c.a455由于PF1·PF2＝0(即PF1⊥PF2)，S△PF1F2＝9，因此|PF1|·|PF2|＝18.||PF1|－|PF2||＝2a，由于|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF·2|＝4a2，因此222|PF1|＋|PF2|＝4c，兩式相減得，2|PF1|·|PF2|＝4b2，因此b2＝9，因此b＝3，因此c＝5，a＝4，因此a＋b＝7.答案：722xy3．已知P(x，y)是雙曲線(xiàn)a2－b2＝1(a>0，b>0)上隨意一點(diǎn)，F(xiàn)2(c,0)是雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)，求PF2的最小值及獲得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：由于P(x，y)是雙曲