真諦唯一靠譜的標(biāo)準(zhǔn)就是永久自相切合。土地是以它的肥饒和收獲而被估價(jià)的；才能也是土地，可是它生產(chǎn)的不是糧食，而是真諦。假如只好滋長瞑想和想象的話，即便再大的才能也不過砂地或鹽池，那上邊連小草也長不出來的。高中數(shù)學(xué)正弦定理的五種證明方法——王彥文青銅峽一中利用三角形的高證明正弦定理（1）當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有CDasinB,CDbsinA。C由此，得ab同理可得cbbasinAsinCsinB，sinB，abcADB故有sinAsinBsinC.進(jìn)而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立.（2）當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，過點(diǎn)C作AB邊上的高，交AB的延伸線于點(diǎn)D，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有CDasinCBDasinABCbsinA。由此，，CD得ab同理可得cbCsinCsinABCsinAsinABC，故有abcbasinAsinABCsinC.AabcBD由(1)(2)ABC中，成立.可知，在sinBsinCsinA進(jìn)而獲得：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，即abcsinAsiBnsinC.利用三角形面積證明正弦定理已知△ABC,設(shè)BC＝a,CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足為則Rt△ADB中,sinBADAAB1a1acsinB1ab1bcsinA∴S=AD同理,可證S=sinC△ABC△ABC2222∴S△ABC1absinC1bcsinA1acsinBCBD=222在等式兩頭同除以ABC,可得sinCsinAsinB即abc.cabsinAsinBsinC向量法證明正弦定理△ABC為銳角三角形,過點(diǎn)A作單位向量j垂直于AC,則j與AB的夾角為90°-A,j與CB的夾角為90°-C由向量的加法原則可得人生的劫難是好多的，所以我們不行對于每一件稍微的損害都過于敏感。在生活劫難眼前，精神上的堅(jiān)毅和漠不關(guān)心是我們抵擋罪惡和人買賣外的最好武器。真諦唯一靠譜的標(biāo)準(zhǔn)就是永久自相切合。土地是以它的肥饒和收獲而被估價(jià)的；才能也是土地，可是它生產(chǎn)的不是糧食，而是真諦。假如只好滋長瞑想和想象的話，即便再大的才能也不過砂地或鹽池，那上邊連小草也長不出來的。ACCBAB為了與圖中相關(guān)角的三角函數(shù)成立聯(lián)系,我們在上邊向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)目積運(yùn)算,獲得j(ACCB)jAB由分派律可得ACjCBjABB∴|j|ACCos90°+|j|CBCos(90°-C)=|j|ABCos(90°-AjacA∴asinC=csinAsinC此外,過點(diǎn)C作與CB垂直的單位向量j,則j與AC的夾角為90°+C,j與AB的夾角為B可得cb90°+,sinCsinB(此處應(yīng)重申學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提,防備誤會為j與AC的夾角為°C與AB的夾角為90°-Babc90-,jsinAsinBsinC△ABC為鈍角三角形,不如設(shè)A＞90°,過點(diǎn)A作與AC垂直的單位向量j,則j與AB的夾角為A-90°,j與CB的夾角為90°-CC由ACCBAB,得j·ACj·CB=j·ABjA即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-asinC=cacsinAsinCA此外,過點(diǎn)C作與CB垂直的單位向量j,則j與AC的夾角為90°+C,j與AB夾角為B.同理,可得bcabcsinBsinCsimAsinBsinC外接圓證明正弦定理在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圓,O為圓心,連接BO并延伸交圓于B′,設(shè)BB′=2R.則依據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等能夠獲得∠BAB′°，∠C∠B′，=90=人生的劫難是好多的，所以我們不行對于每一件稍微的損害都過于敏感。在生活劫難眼前，精神上的堅(jiān)毅和漠不關(guān)心是我們抵擋罪惡和人買賣外的最好武器。

CB真諦唯一靠譜的標(biāo)準(zhǔn)就是永久自相切合。土地是以它的肥饒和收獲而被估價(jià)的；才能也是土地，可是它生產(chǎn)的不是糧食，而是真諦。假如只好滋長瞑想和想象的話，即便再大的才能也不過砂地或鹽池，那上邊連小草也長不出來的。CB′=sinCcc2RsinC2R同理,可得a2R,babc2RsinAsinB2RsinAsinBsinC這就是說,對于隨意的三角形,我們獲得等式abcsinAsinBsinC法一(平面幾何)：在△ABC中，已知ACb,BCa,及C，求c。

A過A作ADBC于D，是AD＝ACsinCBCsinC，CDACcosbcosc,BC在RtABD中，AB2AD2BD2(bsinc)2(abcosc)2a2b22abcosc，法二（平面向量）：ABAB(ACBC)(AC2BC2AC22|AC||BC|BC)AC2ACBCcos(180B)BC222abcosBa2，即：c2a2b22abcoscb法三（分析幾何）：把極點(diǎn)C置于原點(diǎn)，CA落在x軸的正半軸上，因?yàn)锳BC的AC=b，CB=a，AB=c，則A，B，C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2－2abcosC，222即c=a+b－2abcosC．.法五（用訂交弦定理證明余弦定理）:如圖，在三角形ABC中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c。此刻以B為圓心，以長邊AB為半徑做圓，這里要用長邊的道理在于，這樣能保證C點(diǎn)在圓內(nèi)。BC的延伸線交圓B于點(diǎn)D和E這樣以來，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因?yàn)锳G=2acosα，所以CG=2acosα-c。依據(jù)訂交弦定理有：DC×CE=AC×CG，帶入此后就是人生的劫難是好多的，所以我們不行對于每一件稍微的損害都過于敏感。在生活劫難眼前，精神上的堅(jiān)毅和漠不關(guān)心是我們抵擋罪惡和人買賣外的最好武器。真諦唯一靠譜的標(biāo)準(zhǔn)就是永久自相切合。土地是以它的肥饒和收獲而被估價(jià)的；才能也是土地，可是它生產(chǎn)的不是糧食，而是真諦。假如只好滋長瞑想和想象的話，即便再大的才能也不過砂地或鹽池，那上邊連小草也長不出來的。(a-b)(a+b)=c(2acosα-c)化簡此后就得b2=a2+c2+2accosα。也就是我們的余弦定理。如圖，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，角均分線AD＝2cm，求此三角形面積.1剖析：因?yàn)轭}設(shè)條件中已知兩邊長，故而聯(lián)想面積公式S△ABC＝21AB·AC·sinA，需求出sinA，而△ABC面積能夠轉(zhuǎn)變?yōu)镾△ADC＋S△ADB，而S△ADC＝2A

1

AAC·ADsin2

，S△ADB＝2

AB·AD·sin

2

，所以經(jīng)過

S△ABC＝S

＋S

成立對于含有sinA，sin

A2

的方程，而

AsinA＝2sin2cos

A2

，sin

2A2

＋

2A2

＝1，故

sinA可求，進(jìn)而三角形面積可求

.解：在△ABC中，S△ABC＝S△ADB＋S△ADC，11∴2AB·ACsinA＝2

·AC·AD·sin

A1＋·AB·ADsin22

A211∴2·4·3sinA＝2·3·2sin

A2

，∴6sinA＝7sin

A2AAA12sin2cos2＝7sin2AA7Aπ∵sin2≠0，∴cos2＝12，又0＜A＜π，∴0＜2＜2∴sinA＝1－cos2A＝95，2212A795sinA＝2sin2cos2＝72，17952∴S△ABC＝2·4·3sinA＝12（cm）.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D為BC中點(diǎn)，且AD＝4，求BC邊長.x解：設(shè)BC邊為x，則由D為BC中點(diǎn)，可得BD＝DC＝2，人生的劫難是好多的，所以我們不行對于每一件稍微的損害都過于敏感。在生活劫難眼前，精神上的堅(jiān)毅和漠不關(guān)心是我們抵擋罪惡和人買賣外的最好武器。真諦唯一靠譜的標(biāo)準(zhǔn)就是永久自相切合。土地是以它的肥饒和收獲而被估價(jià)的；才能也是土地，可是它生產(chǎn)的不是糧食，而是真諦。假如只好滋長瞑想和想象的話，即便再大的才能也不過砂地或鹽池，那上邊連小草也長不出來的。2x222＋2－24＋（2）－5在△ADB中，cosADB＝AD·BD＝x22×4×22x222＋2－24＋（2）－3在△ADC中，cosADC＝AD·DC＝x22×4×2又∠ADB＋∠ADC＝180°cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC.2x222x224＋（2）－54＋（2）－3∴x＝－x2×4×22×4×2解得，x＝2所以，BC邊長為2.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC邊上一點(diǎn)，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB.解：在△ADC中，22222211AC＋DC－AD7＋3－5cosC＝ACDC＝2×7×3＝，2·143又0＜C＜180°，∴sinC＝14ACAB在△ABC中，sinB＝sinCsinC5356∴AB＝sinBAC＝14·2·7＝2.3.在△ABC中，已知cosA＝35，sinB＝，求cosC的值.51332解：∵cosA＝5＜2＝cos45°，0＜A＜π人生的劫難是好多的，所以我們不行對于每一件稍微的損害都過于敏感。在生活劫難眼前，精神上的堅(jiān)毅和漠不關(guān)心是我們抵擋罪惡和人買賣外的最好武器。真諦唯一靠譜的標(biāo)準(zhǔn)就是永久自相切合。土地是以它的肥饒和收獲而被估價(jià)的；才能也是土地，可是它生產(chǎn)的不是糧食，而是真諦。假如只好滋長瞑想和想象的話，即便再大的才能也不過砂地或鹽池，那上邊連小草也長不出來的。4∴45°＜A＜90°，∴sinA＝51sinB＝13＜2＝sin30°，0＜B＜π∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°若B