2007年《高等數(shù)學(xué)(一)》最新模擬試題及答案

一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題2分，共10分)

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫

在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。

1.設(shè)f(x)=lnx,且函數(shù)夕(x)的反函數(shù)9T(X)=2”,貝ljf［°(x)］=()

1-cosx

3.設(shè)△），=/（%+-）—/（%）且函數(shù)/*）在x=x0處可導(dǎo)，則必有（）

A.limAy=0BAy-0C.dy=0DAy-dy

設(shè)函數(shù)f(x)=，則f(x)在點X=1處(

3x-l,x>1

A.不連續(xù)B.連續(xù)但左、右導(dǎo)數(shù)不存在C.連續(xù)但不可導(dǎo)D.

可導(dǎo)

5.設(shè)卜f(x)dx=e-*+C,則f(x)=()

A.x//B.-Xi/C.2e&D.-2e^

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

6.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上有定義，則函數(shù)f(x+')+f(x1)的定義域是.

7?lim^a+aq+aq2+…+ng”）（同<1）

9.已知某產(chǎn)品產(chǎn)量為g時，總成本是C(g)=9+與，則生產(chǎn)100件產(chǎn)品時的邊際

成本MCI.。。

10.函數(shù)/(x)=V+2x在區(qū)間［0,1］上滿足拉格朗日中值定理的點&是

11.函數(shù)y=2x3-9x2+12x-9的單調(diào)減少區(qū)間是.

12.微分方程xy,-y=1+xi的通解是.

13.設(shè)fi\nf2]---d--t----=—71，則?4i=

14.設(shè)Z=竺二則dz=.

y

15.設(shè)D={(x,y)[0<x<1,0<y<1},則^xe~lydxdy=.

三、計算題（一）（本大題共5小題，每小題5分，共25分）

/1Y

16.設(shè)y=—，求dy.

17.求極限

io+Inx

18.求不定積分-------_dx.

J(5x+1)Jln(5x+1)

19.計算定積分1=￡J/_、2dx.

20.設(shè)方程x2y-2xz+ez=1確定隱函數(shù)z=z(x,y),求z]z',。

四、計算題（二）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）

21.要做一個容積為v的圓柱形容器，問此圓柱形的底面半徑r和高h(yuǎn)分別為多少時，所用

材料最?。?/p>

n

22.計算定積分jxsin2xdx

23.將二次積分I=（dx，包應(yīng)_dy化為先對x積分的二次積分并計算其值。

五、應(yīng)用題（本題9分）

24.已知曲線y=》2,求

（1）曲線上當(dāng)x=l時的切線方程；

（2）求曲線y=V與此切線及x軸所圍成的平面圖形的面枳，以及其繞x軸旋轉(zhuǎn)而成

的旋轉(zhuǎn)體的體積V,.

六、證明題（本題5分）

25.證明：當(dāng)x>0時，xln（x+A/1+X2）>Vl+x2-1

高等數(shù)學(xué)（一）模擬試題參考答案

一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）

1.答案：B

2.答案：A

3.答案：A

4.答案:C

5.答案：D

二、填空題（本大題共10小題，每空3分，共30分）

j_3

6.答案:

454

a

7.答案:

i-q

8.答案:0

]_

9.答案:

4

1

10.答案:

耳

11.答案：（1,2）

x

12.答案：一一1+Cx

2

13.答案：a=ln2

1（cos?X、

14.答案：一一sin2xdx+----dy

八VJ

15.答案：—（1—e-2j

三、計算題（一）（本大題共5小題，每小題5分，共25分）

_(lnx+l)ddx

16.答案：

17.答案:-1

)_______

18.答案：-Jln(5x+1)+C

冗

19.答案：-a2

4

2xy-2zx2

20.答案:/7.—----------,z7=---------

2x-ezy2x-ez

四、計算題（二）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）

V

21.田答田案：丁',%=V—r=4:V——

N2兀7rrQY%

乃2

22.答案：—

4

23.答案：1

五、應(yīng)用題（本題9分）

1%

24.答案：（1）y=2x—1（2）—,—

1230

（2）所求面積S=（（當(dāng)-4協(xié)=；（y+l）2—=5

LJo

所求體積匕=71（一『公一二7.12，=工一工=二

*'325630

六、證明題（本題5分）

25.證明：

f(x)=xln(x+Vl+x2)-Vl+x2+1

12x

1H--/i

/*(x)=ln(x+Jl+/)+x—2,'+，-----x“

%+Jl+%2Jl+X2

=ln(x+yj\+x2)H—/x—/—

=ln(x+Jl+f)

*/x>0

X+Jl+x->1

.1./'(x)=ln(x+Vl+x2)>0

故當(dāng)x>0時/(x)單調(diào)遞增，則/(x)>/(0),即

xln(x+Vl+x2)>Vl+x2-1

高等數(shù)學(xué)(上)試題及答案

一、填空題(每小題3分，本題共15分)

2

1、lim(l+3x)v=

x—>0

eAx<0

2、當(dāng)k時，/(x)=\,在x=0處連續(xù).

x~+kx〉0

dx

3、設(shè)丁=工+111%,則一=_______

dy

4、曲線y=在點(0,1)處的切線方程是

5、若J/(x)dx=sin2x+C,C為常數(shù),則/(x)=。

二、單項選擇題(每小題3分，本題共15分)

1、若函數(shù)〃x)=U1x1,則lim/(x)=()

X2°

A、0B、-1C、1D、不存在

2、下列變量中，是無窮小量的為()

A.In—(x—>0+)B.lnx(x—>1)C.cosx(x->0)D.

X

x-4

3、滿足方程/'(x)=0的x是函數(shù)y=/(x)的().

A.極大值點B.極小值點C.駐點D.間斷點

4、下列無窮積分收斂的是（）

A、(sinxdxB、「e~2X(lxC、

5、設(shè)空間三點的坐標(biāo)分別為M1,1,1)、A(2,2,1)、B(2,1,2)。則=

D、TC

三、計算題（每小題7分，本題共56分）

1、求極限lim^^~2。

—osin2x

2、求極限limp———）

A。xex-1

co]sxe~'2dt

3、求極限—

4、設(shè)y=/+ln(x+Jl+x?),求y

5、設(shè)/=）3由已知卜二呼+中，求咤

y=arctantdx

2

6、求不定積分sin(—+3)dx

x

7、求不定積分^excosxiv

------7%<0,

8、設(shè)，求￡/(x-l)(k

四、應(yīng)用題（本題7分）

求曲線y=/與％=y2所圍成圖形的面積A以及A饒），軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體

積。

五、證明題（本題7分）

若“X）在［0,1］上連續(xù)，在。1）內(nèi)可導(dǎo)，且〃0）=〃1）=0,/（；）=1，證明:

在（0,1）內(nèi)至少有一點使/&）=1。

參考答案

一。填空題（每小題3分，本題共15分）

1、e62、k=1.3、X4、y-15、/（x）=2cos2x

1+x

二.單項選擇題（每小題3分，本題共15分）

1、D2、B3、C4、B5、A

三.計算題（本題共56分，每小題7分）

、一2x12x1々八

l.W：lim-；------=lim--------,----=—lrim--------,----=—7分

sin2x…sin2x(v4+x+2)2…sin2x(,4+x+2)8

大..11..1-x..e'—1..ex1

2.解：lim(-------)x=lira---------=lim------------=hm-------------=—

xxxxxxx

ioxe-1x(e-I)A-^Oe-1+xee+e+xe2

7分

cosx

[e^dt,

J-cinwex1

3、解：lim——-——=lim-------------=----7

iox2x2e

分

4、解：yr=---」(1+11)..............................4分

i

.7分

-Ji+%2

1

解:先受得

5、（4分）

1+戶

（7分）

[01o91o

6、解：j—sin(-+3)Jx=一一jsin(-+3)J(-+3)=-cos(-+3)+C（7分）

xx2x32x

7、解：Je'cosxdx=Jcosxde"

=excosx+Jexsinxdx..............2分

=excosx+Jsinxdex..............3分

=/cosx+e"sinx-fe'cosxdx.....5分

=ex(sinx+cosx)+C................…7分

8、解

p(x-l)dx=fJ(x)ck=￡/(x)ck+(x)dr...…2分

=「旦+金

L1+/」)1+x

3分

=fi(1-T77)dx+ln(1+x)l?

5分

|0

=l-ln（l+e'）1+ln2.............

...6分

=l+ln（l+e-'）=ln（l+e）……

……7分

四.應(yīng)用題（本題7分）

解：曲線），=/與x=V的交點為（1,1）

1分

于是曲線y=/與3=V所圍成圖形的面積A為

?23121

A='4-/）公=[尸--x]'o=3

4分

A繞y軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積為：

7分

五、證明題（本題7分）

證明：設(shè)

F(x)=f(x)-x,...............................................2分

顯然F（x）在gj上連續(xù)，在（；,1）內(nèi)可導(dǎo),

且尸(；)=；>0'F(D=—1<0.

由零點定理知存在x,e[1,l],使

F(x,)=O..................4分

由尸(0)=0,在［0,x』上應(yīng)用羅爾定理知，至少存在一點

穴(0,xJu(0,l),使尸(4)=/&)—1=0,即

/&)=「??…7分

高等數(shù)學(xué)試題

一、單項選擇題(每小題1分，共30分)

1、函數(shù)f(x尸的定義域是

A、[—1)1]B、(-2,2)

C、(一8,-1)U(1,+8)

D、(-8,+oo)

2、下列函數(shù)中既是有界函數(shù)又是偶函數(shù)的是

A、xarcsinxB、arctgx

C、x2+1D、sinx+cosx

3、函數(shù)尸ex—1的反函數(shù)是

ANy=lnx+lB>y=ln(x—1)

C、y=lnx—1D、y=ln(x+1)

4、xsin=

A、8B、0C、1D、不存在

5、某商品的需要量Q是價格P的函數(shù)Q=a—bP(a>0,b>0),則需求量Q對價格P的彈性是

A、bB、

C、D、

6、曲線在40處的切線方程是

A、

B、

C、y—l=2(x—2)

D>y—1=—2(x—2)

7、函數(shù)月sinx|在x=0處是

A、無定義B、有定義，但不連續(xù)

C、連續(xù)，但不可導(dǎo)D、連續(xù)且可導(dǎo)

8^設(shè)y=lnx,則y〃=

A、B、

C、D、

9、設(shè)f(x)=arctgex,則df(x)=

A、B、

C、D、

10、=

A、-1B、0C、1D、8

11、函數(shù)產(chǎn)ax2+c在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)增加，則a,c應(yīng)滿足

A、a<0,c=0B、a>0,c任意

C^a<0,cWOD^a<0,c任意

12>若ln|x|是函數(shù)f(x)的原函數(shù)，aWO,那么下列函數(shù)中，f(x)的原函數(shù)是

A、ln|ax|B、

C、ln|x+a|D^

13、設(shè)aWO,貝/(ax+b)100dx=

A、

B、

C、

D、100a(ax+b)99

14>fxsinxdx=

A、xcosx-sinx+c

B、xcosx+sinx+c

C、—xcosx+sinx+c

D^—xcosx-sinx+c

15、函數(shù)f(x)=x2在［0,2］區(qū)間上的平均值是

A、B、1C、2D、

16、=

A、+8B、0C、D、1

17、下列廣義積分中收斂的是

A、B、

C、D、

18、方程x2+y2+z2+2x—4產(chǎn)1表示的空間圖形為

A、平面B、直線

C、柱面D、球面

19、函數(shù)z=arcsin(x2+y2)的定義域為

ANx2+y2<lB>x2+y2Wl

C、x2+y221

D、|x|WL|y|Wl

20、極限=

A、1B、2C、0D、8

21、函數(shù)f(x,y)=

在原點

A、連續(xù)B、間斷

C、取極小值D、取極大值

22、已知f(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在,且f'x(x,y)>0,fy(x,y)<0,則

A、當(dāng)y不變時，f(x,y)隨x的增加而增加

B、當(dāng)y不變時，f(x,y)隨x的增加而減少

C、當(dāng)x不變時，f(x,y)隨y的增加而增加

D、上述論斷均不正確

23、設(shè)z=exsiny,則dz=

A、ex(sinydx+cosydy)B、exsinydx

C、excosydyD、excosy(dx+dy)

24、已知幾何級數(shù)收斂，則

A、|q|Wl,其和為

B、|q|vl,其和為

C.|q|<l,其和為

D、|q|vl,其和為aq

25、是級數(shù)收斂的

A、必要條件B、充分條件

C、充分必要條件D、無關(guān)條件

26、下列級數(shù)中絕對收斂的是

A、B、

C、D、

27、塞級數(shù)的收斂半徑為

A、1B、C、2D、0

28、微分方程y3+(y')6+xy3+x4y2=l的階數(shù)是

A、1B、2C、3D、6

29、微分方程的通解為

A、y=±1B、y=sinx+c

C、y=cos(x+c)D、y=sin(x+c)

30、微分方程滿足初始條件y(0)=0的特解為

A、y=cosx—1B、y=cosx

c、y=sinxD、y=-cosx+1

二、填空題(每空2分，共20分)

1、a,b為常數(shù)，要使

，則b=(1)o

2、設(shè)山產(chǎn)sin(x+y)確定隱函數(shù)y=y(x),貝ljdy=(2)。

3、設(shè)當(dāng)x-0時與ax是等價無窮小，則常數(shù)a=(3)。

4、=(4)。

5、=(5)o

6、設(shè)f(x,y尸，則f'x(l,2)=(6)o

7、交換積分順序

=(7)。

8、函數(shù)e—2x的麥克勞林級數(shù)中xn的系數(shù)為(8)。

9、微分方程y〃-2y'+5y=0的通解為(9)。

10、函數(shù)y=lnx在區(qū)間［l,e］上滿足拉格朗日中值定理條件的，=(10)。

三、解答題(每小題5分，共30分)

1、求.

2、設(shè)y=cos2e—3x,求y'.

3、求Jx2e-xdx.

4、求到兩點A(l,0,-1),B(3,-2,1)距離相等的點的軌跡，并指出該軌跡的名稱.

5、判斷下列級數(shù)的斂散性：

(1)；(2).

6、求微分方程滿足初始條件y(0)=0的特解.

四、體題8分)

設(shè)平面圖形由曲線xy=l與直線y=2,x=3圍成，求

(1)平面圖形的面積S

(2)此平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體體積V

五、(本題8分)

某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，單位售價分別為40元和60元，若生產(chǎn)X單位甲產(chǎn)品，生產(chǎn)y

單位乙產(chǎn)品的總費用為20x+30y+0.1(2x2—2xy+3y2)+100,試求出甲、乙兩種各生產(chǎn)多

少時取得最大利潤。

六、(本題4分)

求證方程X-sinx-1=0在區(qū)間?,［,2］內(nèi)有唯一零點。

參考答案

一、選擇題(本題共30分)

l.B2.A3.D4.C5.C

6.A7.C8.D9.B10.A

ll.B12.A13.C14.C15.A

16.D17.C18.D19.B20.B

21.B22.A23.A24.C25.A

26.D27.B28.C29.D30.D

二、填空題（每小題2分，共20分）

1、1

2、

3、

4、e4-l

5^arctgx+ln（1+x2）+c

6^

7、

8、

9、ex（C1cos2x+C2sin2x）

10、e-1

三、（每小題5分，共20分）

1、解原式=

（3分）

=1（2分）

2、解y'=2cose_3x.（cose-3x）'

（2分）

=2cose_3x（—sine-3x）.（e-3x）'

（2分）

=3sin（2e—3x）.e—3x（1分）

3、解原式=-Jx2de-x

=—x2e—x+2fxe-xdx（2分）

=-x2e-x_2xe_x+2fe-xdx

=—x2e—x—2xe—x—2e—x+c（2分）

=-（x2+2x+2）e—x+c（l分）

4、解設(shè)點（x,y,z）到A,B距離相等，則

（2分）

兩邊平方并化簡得

2x—2y+2z—6=0（2分）

該軌跡稱為平面（1分）

5、解：（1）：

而等比級數(shù)收斂，

原級數(shù)收斂（3分）

⑵；=1WO,

???原級數(shù)發(fā)散。（2分）

6、解原方程可化為，

即（1分）

積分得（2分）

以x=O,y=O代入上式，

求得c=0o（1分）

所求特解為y=-1（1分）

（注：也可用一階線性方程求解）

四、（本題8分）

解：（1）S=（3分）

=5-=5-ln6（l分）

（2）V=（3分）

=（1分）

五、（本題8分）

解：總收入為40x+60y,總利潤為

z=40x+60y—（20x+30y+0.1（2x2—2xy+3y2）+100）=20x+30y—0.2x2+0.2xy—0.3y2—

100（2分）

令（2分）

解得x=90,y=80（2分）

而=-0.4,=0.2,

=-0.6

△=0.22-<-0.4）.（-0,6）<0,（fn=-0.4<0

.*.x=90,y=80為極大值點

因極值點唯一，故它就是最大值點。（2分）

答：當(dāng)甲產(chǎn)品生產(chǎn)90單位，乙產(chǎn)品生產(chǎn)80單位時利潤最大。

六、（本題4分）

證：設(shè)f(x)=x—sinx—1,

在WxW2上連續(xù)，

Vf()=-2<0,

f(2)=l—sin2>0?

???f(x)在［,2］內(nèi)有零點。(2分)

又f'(x)=l—cosx>0(<x<2)

???f(x)嚴(yán)格單調(diào)上升，???f(x)只有唯一的零點。(2分)

高等數(shù)學(xué)試題

一、單項選擇題(每小題1分，共30分)

1、函數(shù)f(x尸的定義域是

A、[—1)1]B、(-2,2)

C、(一8,-1)U(1,+8)

D、(-8,+oo)

2、下列函數(shù)中既是有界函數(shù)又是偶函數(shù)的是

A、xarcsinxB、arctgx

C、x2+1D、sinx+cosx

3、函數(shù)尸ex—1的反函數(shù)是

ANy=lnx+lB>y=ln(x—1)

C、y=lnx—1D、y=ln(x+1)

4、xsin=

A、8B、0C、1D、不存在

5、某商品的需要量Q是價格P的函數(shù)Q=a—bP(a>0,b>0),則需求量Q對價格P的彈性是

A、bB、

C、D、

6、曲線在40處的切線方程是

A、

B、

C、y—l=2(x—2)

D>y—1=—2(x—2)

7、函數(shù)月sinx|在x=0處是

A、無定義B、有定義，但不連續(xù)

C、連續(xù)，但不可導(dǎo)D、連續(xù)且可導(dǎo)

8^設(shè)y=lnx,則y〃=

A、B、

C、D、

9、設(shè)f(x)=arctgex,則df(x)=

A、B、

C、D、

10、=

A、-1B、0C、1D、8

11、函數(shù)產(chǎn)ax2+c在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)增加，則a,c應(yīng)滿足

A、a<0,c=0B、a>0,c任意

C^a<0,cWOD^a<0,c任意

12>若ln|x|是函數(shù)f(x)的原函數(shù)，aWO,那么下列函數(shù)中，f(x)的原函數(shù)是

A、ln|ax|B、

C、ln|x+a|D^

13、設(shè)aWO,貝/(ax+b)100dx=

A、

B、

C、

D、100a(ax+b)99

14>fxsinxdx=

A、xcosx-sinx+c

B、xcosx+sinx+c

C、—xcosx+sinx+c

D^—xcosx-sinx+c

15、函數(shù)f(x)=x2在［0,2］區(qū)間上的平均值是

A、B、1C、2D、

16、=

A、+8B、0C、D、1

17、下列廣義積分中收斂的是

A、B、

C、D、

18、方程x2+y2+z2+2x—4產(chǎn)1表示的空間圖形為

A、平面B、直線

C、柱面D、球面

19、函數(shù)z=arcsin(x2+y2)的定義域為

ANx2+y2<lB>x2+y2Wl

C、x2+y221

D、|x|WL|y|Wl

20、極限=

A、1B、2C、0D、8

21、函數(shù)f(x,y)=

在原點

A、連續(xù)B、間斷

C、取極小值D、取極大值

22、已知f(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在,且f'x(x,y)>0,fy(x,y)<0,則

A、當(dāng)y不變時，f(x,y)隨x的增加而增加

B、當(dāng)y不變時，f(x,y)隨x的增加而減少

C、當(dāng)x不變時，f(x,y)隨y的增加而增加

D、上述論斷均不正確

23、設(shè)z=exsiny,則dz=

A、ex(sinydx+cosydy)B、exsinydx

C、excosydyD、excosy(dx+dy)

24、已知幾何級數(shù)收斂，則

A、|q|Wl,其和為

B、|q|vl,其和為

C.|q|<l,其和為

D、|q|vl,其和為aq

25、是級數(shù)收斂的

A、必要條件B、充分條件

C、充分必要條件D、無關(guān)條件

26、下列級數(shù)中絕對收斂的是

A、B、

C、D、

27、塞級數(shù)的收斂半徑為

A、1B、C、2D、0

28、微分方程y3+(y')6+xy3+x4y2=l的階數(shù)是

A、1B、2C、3D、6

29、微分方程的通解為

A、y=±1B、y=sinx+c

C、y=cos(x+c)D、y=sin(x+c)

30、微分方程滿足初始條件y(0)=0的特解為

A、y=cosx—1B、y=cosx

c、y=sinxD、y=-cosx+1

二、填空題(每空2分，共20分)

1、a,b為常數(shù)，要使

，則b=(1)o

2、設(shè)山產(chǎn)sin(x+y)確定隱函數(shù)y=y(x),貝ljdy=(2)。

3、設(shè)當(dāng)x-0時與ax是等價無窮小，則常數(shù)a=(3)。

4、=(4)。

5、=(5)o

6、設(shè)f(x,y尸，則f'x(l,2)=(6)o

7、交換積分順序

=(7)。

8、函數(shù)e—2x的麥克勞林級數(shù)中xn的系數(shù)為(8)。

9、微分方程y〃-2y'+5y=0的通解為(9)。

10、函數(shù)y=lnx在區(qū)間［l,e］上滿足拉格朗日中值定理條件的，=(10)。

三、解答題(每小題5分，共30分)

1、求.

2、設(shè)y=cos2e—3x,求y'.

3、求Jx2e-xdx.

4、求到兩點A(l,0,-1),B(3,-2,1)距離相等的點的軌跡，并指出該軌跡的名稱.

5、判斷下列級數(shù)的斂散性：

(1)；(2).

6、求微分方程滿足初始條件y(0)=0的特解.

四、體題8分)

設(shè)平面圖形由曲線xy=l與直線y=2,x=3圍成，求

(1)平面圖形的面積S

(2)此平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體體積V

五、(本題8分)

某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，單位售價分別為40元和60元，若生產(chǎn)X單位甲產(chǎn)品，生產(chǎn)y

單位乙產(chǎn)品的總費用為20x+30y+0.1(2x2—2xy+3y2)+100,試求出甲、乙兩種各生產(chǎn)多

少時取得最大利潤。

六、(本題4分)

求證方程X-sinx-1=0在區(qū)間?,［,2］內(nèi)有唯一零點。

參考答案

一、選擇題(本題共30分)

l.B2.A3.D4.C5.C

6.A7.C8.D9.B10.A

ll.B12.A13.C14.C15.A

16.D17.C18.D19.B20.B

21.B22.A23.A24.C25.A

26.D27.B28.C29.D30.D

二、填空題（每小題2分，共20分）

1、1

2、

3、

4、e4-l

5^arctgx+ln（1+x2）+c

6^

7、

8、

9、ex（C1cos2x+C2sin2x）

10、e-1

三、（每小題5分，共20分）

1、解原式=

（3分）

=1（2分）

2、解y'=2cose_3x.（cose-3x）'

（2分）

=2cose_3x（—sine-3x）.（e-3x）'

（2分）

=3sin（2e—3x）.e—3x（1分）

3、解原式=-Jx2de-x

=—x2e—x+2fxe-xdx（2分）

=-x2e-x_2xe_x+2fe-xdx

=—x2e—x—2xe—x—2e—x+c（2分）

=-（x2+2x+2）e—x+c（l分）

4、解設(shè)點（x,y,z）到A,B距離相等，則

（2分）

兩邊平方并化簡得

2x—2y+2z—6=0（2分）

該軌跡稱為平面（1分）

5、解：（1）：

而等比級數(shù)收斂，

原級數(shù)收斂（3分）

⑵；=1WO,

???原級數(shù)發(fā)散。（2分）

6、解原方程可化為，

即（1分）

積分得（2分）

以x=O,y=O代入上式，

求得c=0o（1分）

所求特解為y=-1（1分）

（注：也可用一階線性方程求解）

四、（本題8分）

解：（1）S=（3分）

=5-=5-ln6（l分）

（2）V=（3分）

=（1分）

五、（本題8分）

解：總收入為40x+60y,總利潤為

z=40x+60y—（20x+30y+0.1（2x2—2xy+3y2）+100）=20x+30y—0.2x2+0.2xy—0.3y2—

100（2分）

令（2分）

解得x=90,y=80（2分）

而=-0.4,=0.2,

=-0.6

△=0.22-<-0.4）.（-0,6）<0,（fn=-0.4<0

.*.x=90,y=80為極大值點

因極值點唯一，故它就是最大值點。（2分）

答：當(dāng)甲產(chǎn)品生產(chǎn)90單位，乙產(chǎn)品生產(chǎn)80單位時利潤最大。

六、（本題4分）

證：設(shè)f(x)=x—sinx—1,

在WxW2上連續(xù)，

Vf()=-2<0,

f(2)=l—sin2>0?

???f(x)在［,2］內(nèi)有零點。(2分)

又f'(x)=l—cosx>0(<x<2)

???f(x)嚴(yán)格單調(diào)上升，???f(x)只有唯一的零點。(2分)

《高等數(shù)學(xué)》試題庫

一、選擇題

(-)函數(shù)

1、下列集合中()是空集。

<7.{0,l,2}A{0,3,4}Cl{5,6,7}=x且y=2x}3.卜卜|〈1且*20

2、下列各組函數(shù)中是相同的函數(shù)有()。

4J(x)=x,g(x)=(Vx)"b.f(x)=W，g(x)=Vx7

,x3

c.f[x}-l,g(x)=sin2x+cos2xd.f(x)=:—,g(x)=x2

1

3、函數(shù)f(x)=的定義域是）。

[g|x-5|

a.(-00,5)(J(5,+oo)b.(-00,6)U(6,+00)

C.(-OO,4)U(4,+OO)d.(-00,4)(J(4,5)U(5,6)U(6,+oo)

x+2-oo〈x〈0

4、設(shè)函數(shù)<2（0<x（2則下列等式中，不成立的是（）。

（x-2）22<x〈+8

c./(-2)=/(2)J./(-l)=/(3)

5、下列函數(shù)中，()是奇函數(shù)。

|工|〃2.ax,10'-5

a.—b.xsinxc,-----a.---------

XQ"+12

6、下列函數(shù)中，有界的是()o

a.y=arctgxb.y=tgxc.yd.y=T

x

7、若/(x—l)=x(x—l)，則7(x)=()o

a.x(x+l)》(尤一1)(九一2)c.x(x-1)d.不存在

8、函數(shù)》=卜出目的周期是（）o

JI

Q.44b2冗c.7id—

2

9、下列函數(shù)不是復(fù)合函數(shù)的有（）。

(J["丁=0--)2o'=Igsinxd.y-e%/1+sinx

10、下列函數(shù)是初等函數(shù)的有()。

x2-1,[1+xx)0

a.y=------b.y=<.

x-\[x2x<0

c.y=J—2—cosxd.y=ff?

11、區(qū)間[a,+8),表示不等式().

(A)a<x<4-oo(B)a<x<+oo(C)a<x(D)a>x

12、若夕”)=#+1,則9(p+l)=().

(A)尸+1(B)r6+l(Or+2(D)t9+3t6+3t3+2

13>函數(shù)y=log“(x++1)是().

(A)偶函數(shù)(B)奇函數(shù)(C)非奇非偶函數(shù)(D)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

14、函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)y=/-1(x)的圖形對稱于直線().

(A)y=0(B)x=0(C)y=x(D)y=-x

15、函數(shù)y=10i-2的反函數(shù)是（).

(A)y=Jgx

(B)y=log2

x—2x

?1

(C)y=log2-(D)y=l+lg(x+2)

X

16、函數(shù)y=binx|+|cosx|是周期函數(shù)，它的最小正周期是).

TC

(A)2萬(B)71(C)—()

2D7

17>設(shè)〃x)=x+l，則"(x)+l)=().

A.xB.x+1C./+2D.x+3

18、下列函數(shù)中，（）不是基本初等函數(shù).

sinx

A.尸（與B.y=Inx2D.y—x5

C.y二

ecosx

19、若函數(shù)f（6、）=X+1,則f（X）=（)

A.ex+1B.x+1C.ln(x+l)D.lnx+1

20、若函數(shù)f(x+1)=x?,則f(x)=()

A.x2B.(x+1)2C.(x-l)D.x2-l

21、若函數(shù)f(x)=Inx,g(x)=x+l,則函數(shù)f（g（x））的定義域是（)

A.x>0B.x20C.x21D.X>-1

22、若函數(shù)f（數(shù)的定義域為域1）則函數(shù)f（lnx+l）的定義域是（)

A.（0,1）B.（-1,0）C.(十,1)D.(el,e)

23、函數(shù)f（x）=|x-l|M（）

A.偶函數(shù)B.有界函數(shù)C.單調(diào)函數(shù)D.連續(xù)函數(shù)

24、下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

y=ln[x+Vl+x2I

A.y=cos(1-x)B.I'C.e1).sinx2

25、若函數(shù)f(x)是定義在(-8,+8)內(nèi)的任意函數(shù)，則下列函數(shù)中()是偶函數(shù)。

A.f(|x|)B.|f(x)|C.[f(x)]2D.f(x)-f(-x)

26、函數(shù)y=曾于是（）

A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

27、下列函數(shù)中（）是偶函數(shù)。

2By=，n

A.y=xsinx+l']+xC.y=f(x)+f(-x)D.y=f(x)~f(-x)

28、下列各對函數(shù)中，()中的兩個函數(shù)相等。

xlnx-xInx-1

B?f(x)=g(x)=

4f(x)=4x^,g(x)=xx2fx

2

C.f(x)=Inxfg(x)=2lnx

（-）極限與連續(xù)

1、下列數(shù)列發(fā)散的是（）。

3254

a、0.9,0.99,0.999,0.9999,b、

2,3,4,5

2"+1n

2n〃為奇數(shù)〃為奇數(shù)

d、/(〃)=<

2--1〃為偶數(shù)〃為偶數(shù)

2"A-n

2、當(dāng)xf8時，arctgx的極限（）。

TT7T

b、=---c、=ood、不存在，但有界

22

3、()。

XTX-1

a^=—1b、=1c、=0d、不存在

4、當(dāng)X-0時，下列變量中是無窮小量的有（）。

.1,sinxfl.ill

a、sin—b、----c、2d、Inx

xx

5、下列變量在給定的變化過程中是無窮大量的有（）。

x21

a^—>0+b^lgx(九—c、———-(x—>+oo)d、ex(x—>0

6、如果lim/(x)=8,limg(x)=oo,則必有()o

x->xQx-^xo

a、lim[/(x)+g(x)]=8b、lim[/(x)-g(x)]=0

?ITX。XTq

C\lim—y~\--7~\=0d、limV(x)=oo(k為非零常數(shù))

f[x)+g[x)Xf兩

a、1b、2c>0

8、下列等式中成立的是（

a、limf1+—=e

〃一認(rèn)n\

lim1+——

…認(rèn)2n

9、當(dāng)xfO時，l-cosx與xsinx相比較（）。

a、是低階無窮小量b、是同階無窮小量

c、是等階無窮小量d、是高階無窮小量

10、函數(shù)/（x）在點X。處有定義，是/（x）在該點處連續(xù)的（）。

a、充要條件b、充分條件c、必要條件d、無關(guān)的條件

11、若數(shù)列｛x“｝有極限。，則在。的￡鄰域之外，數(shù)列中的點（）.

（A）必不存在（B）至多只有有限多個

（C）必定有無窮多個（D）可以有有限個，也可以有無限多個

/（》）=/，〃X"，,若阿/（x）

12、設(shè)[ax+b,x>01。存在，則必有（）.

(A)d=0,h=O(B)a=2yh=1(C)a=-1,b=2（D）a為任意常數(shù),b=l

13、數(shù)列0,1234

，一，).

3456

M—2

（A）以0為極限（B）以1為極限（C）以——為極限（D）不存在極限

n

14、數(shù)列｛y,J有界是數(shù)列收斂的（）.

（A）必要條件（B）充分條件（C）充要條件（D）無關(guān)條件

15、當(dāng)x—>0時，（）是與sinx等價的無窮小量.

[—―ln（l+2x）

（A）tan2x（B）（C）2（D”（x+2）

16、若函數(shù)/（x）在某點極限存在，則（）.

（A）/（x）在X。的函數(shù)值必存在且等于極限值

（B）/（x）在X。的函數(shù)值必存在，但不一定等于極限值

(C)/(x)在/的函數(shù)值可以不存在(D)如果/(%)存在則必等于極限值

17、如果lim/(x)與lim/(x)存在，則().

+-

X—>.丫0XT為

(A)lim/(x)存在且lim/(x)=/(x0)

(B)lim/(x)存在但不一定有l(wèi)imf