近世代數(shù)模擬試題一一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1、設(shè)A＝B＝R(實數(shù)集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，則是從A到B的（）A、滿射而非單射B、單射而非滿射C、一一映射D、既非單射也非滿射設(shè)集合A中含有5個元素，集合B中含有2個元素，那么，A與B的積集合A×B中含有（）個元素。A、2B、5C、7D、10在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，這個解是（）乘法來說A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(兩方程解一樣)4、當(dāng)G為有限群，子群H所含元的個數(shù)與任一左陪集aH所含元的個數(shù)（）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、n階有限群G的子群H的階必須是n的（）A、倍數(shù)B、次數(shù)C、約數(shù)D、指數(shù)二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。設(shè)集合A1,0,1；B1,2，則有BA。若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，則e稱為環(huán)R的。環(huán)的乘法一般不交換。如果環(huán)R的乘法交換，則稱R是一個。偶數(shù)環(huán)是的子環(huán)。一個集合A的若干個--變換的乘法作成的群叫做A的一個。每一個有限群都有與一個置換群。全體不等于0的有理數(shù)對于普通乘法來說作成一個群，則這個群的單位元是，元a的逆元是。設(shè)I和S是環(huán)R的理想且ISR，如果I是R的最大理想，那么。一個除環(huán)的中心是一個。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）設(shè)置換和分別為：1234567864173528，1234567823187654，判斷和的奇偶性，并把和寫成對換的乘積。證明：任何方陣都可唯一地表示成一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和。 M{0,1,2,,m1,m}(m1) M M3、設(shè)集合m ，定義m中運算“m”為amb=(a+b)(modm),則（m，m）是不是群，為什么？四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）設(shè)G是群。證明：如果對任意的xG，有x2e，則G是交換群。假定R是一個有兩個以上的元的環(huán)，F(xiàn)是一個包含R的域，那么F包含R的一個商域。近世代數(shù)模擬試題二一、單項選擇題二、1、設(shè)G有6個元素的循環(huán)群，a是生成元，則G的子集（）是子群。aa,ee,a3e,a,a3A、 B、 C、 D、 2、下面的代數(shù)系統(tǒng)（G，*）中，（）不是群A、G為整數(shù)集合，*為加法B、G為偶數(shù)集合，*為加法C、G為有理數(shù)集合，*為加法D、G為有理數(shù)集合，*為乘法3、在自然數(shù)集N上，下列哪種運算是可結(jié)合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b| 4、設(shè)1、2、3是三個置換，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3=（1324），則3=（）A、21B、12C、22D、215、任意一個具有2個或以上元的半群，它（）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交換群二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。凱萊定理說：任一個子群都同一個同構(gòu)。一個有單位元的無零因子稱為整環(huán)。已知群G中的元素a的階等于50，則a4的階等于。a的階若是一個有限整數(shù)n，那么G與同構(gòu)。A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=。若映射既是單射又是滿射，則稱為。叫做域F的一個代數(shù)元，如果存在F的a0,a1,,an使得a0a1ann0。a是代數(shù)系統(tǒng)(A,0)的元素，對任何xA均成立xax，則稱a為。有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合G作成一個群，如果滿足G對于乘法封閉；結(jié)合律成立、。一個環(huán)R對于加法來作成一個循環(huán)群，則P是。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）設(shè)集合A={1,2,3}G是A上的置換群，H是G的子群，H={I,(12)}，寫出H的所有陪集。設(shè)E是所有偶數(shù)做成的集合，“”是數(shù)的乘法，則“”是E中的運算，（E，）是一個代數(shù)系統(tǒng)，問（E，）是不是群，為什么？a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）若<G，*>是群，則對于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。設(shè)m是一個正整數(shù)，利用m定義整數(shù)集Z上的二元關(guān)系：a?b當(dāng)且僅當(dāng)m︱a–b。近世代數(shù)模擬試題三一、單項選擇題1、6階有限群的任何子群一定不是（）。A、2階B、3階C、4階D、6階2、設(shè)G是群，G有（）個元素，則不能肯定G是交換群。A、4個B、5個C、6個D、7個3、有限布爾代數(shù)的元素的個數(shù)一定等于（）。A、偶數(shù)B、奇數(shù)C、4的倍數(shù)D、2的正整數(shù)次冪4、下列哪個偏序集構(gòu)成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除關(guān)系））D、(P(A),)5、設(shè)S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。群的單位元是的，每個元素的逆元素是的。如果f是A與A間的一一映射，a是A的一個元，則f1fa。區(qū)間[1，2]上的運算ab{mina,b}的單位元是?？蓳Q群G中|a|=6,|x|=8,則|ax|=——————————。環(huán)Z的零因子有。H的右、左陪集的個數(shù)。從同構(gòu)的觀點，每個群只能同構(gòu)于他/它自己的。無零因子環(huán)R中所有非零元的共同的加法階數(shù)稱為R的。設(shè)群G中元素a的階為m，如果ane，那么m與n存在整除關(guān)系為。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項鏈，問可做出多少種不同的項鏈？S，S是A的子環(huán)，則S∩S也是子環(huán)。S+S也是子環(huán)嗎？ 1 2 1 2 1 2(1345)(1245)(234)(456)S3、設(shè)有置換 ， 6。1．求和1；2．確定置換和1的奇偶性。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）1、一個除環(huán)R只有兩個理想就是零理想和單位理想。2、M為含幺半群，證明b=a-1的充分必要條件是aba=a和ab2a=e。近世代數(shù)模擬試題四一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1.設(shè)集合A中含有5個元素，集合B中含有2個元素，那么，A與B的積集合A×B中含有（）個元素。A.2 B.5C.7D.102.設(shè)A＝B＝R(實數(shù)集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，則是從A到B的（）A.滿射而非單射B.單射而非滿射C.一一映射D.既非單射也非滿射3.設(shè)S＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S中可以與(123)交換的所有元素有（） 3 3A.(1)，(123)，(132)B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123)D.S中的所有元素34.設(shè)Z是以15為模的剩余類加群，那么，Z的子群共有（）個。15 15A.2B.4C.6D.85.下列集合關(guān)于所給的運算不作成環(huán)的是（）A.整系數(shù)多項式全體Z［x］關(guān)于多項式的加法與乘法B.有理數(shù)域Q上的n級矩陣全體M(Q)關(guān)于矩陣的加法與乘法C.整數(shù)集Z關(guān)于數(shù)的加法和新給定乘法“”：m，n∈Z，mn＝0D.整數(shù)集Z關(guān)于數(shù)的加法和新給定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝1二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。6.設(shè)“～”是集合A的一個關(guān)系，如果“～”滿足___________，則稱“～”是A的一個等價關(guān)系。7.設(shè)(G，·)是一個群，那么，對于a，b∈G，則ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝___________。8.設(shè)σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S，那么στ＝___________(表示成若干個沒有公共數(shù)字的循環(huán)置換之積)。9.如果G是一個含有15個元素的群，么，根據(jù)Lagrange定理知，對于a∈G，則元素a的階只可能是___________。10.在3次對稱群S中，設(shè)H＝{(1)，(123)，(132)}是S的一個不變子群，則商群G/H中的元素(12)H＝___________。11.設(shè)Z＝{［0］，1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6模的剩余類環(huán)，則Z中的所有零因子是___________。 6 612.設(shè)R是一個無零因子的環(huán)，其特征n是一個有限數(shù)，那么，n是___________。13.設(shè)Z［x］是整系數(shù)多項式環(huán)，(x)是由多項式x生成的主理想，則(x)＝________________________。14.設(shè)高斯整數(shù)環(huán)Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，則Z［i］中的所有單位是______________________。15.有理數(shù)域Q上的代數(shù)元2+3在Q上的極小多項式是___________。解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）16.設(shè)Z為整數(shù)加群，Z為以m為模的剩余類加群，是Z到Z的一個映射，其中m m：k→［k］，k∈Z，驗證：是Z到Z的一個同態(tài)滿射，并求的同態(tài)核Ker。17.求以6為Z＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子環(huán)，并說明這些子環(huán)都是Z的理想。 6 618.試說明唯一分解環(huán)、主理想環(huán)、歐氏環(huán)三者之間的關(guān)系，并舉例說明唯一分解環(huán)未必是主理想環(huán)。證明題（本大題共3小題，第19、20小題各10分，第21小題5分，共25分）19.設(shè)G＝{a，b，c}，G的代數(shù)運算“”由右邊的運算表給出，證明：(G，)作成一個群。abcaabcbbcaccab20.設(shè)aRcb a,b,c,dZ,d a0 Ic0a,cZ,已知R關(guān)于矩陣的加法和乘法作成一個環(huán)。證明：I是R的一個子環(huán)，但不是理想。21.設(shè)(R，＋，·)是一個環(huán)，如果(R，＋)是一個循環(huán)群，證明：R是一個交換環(huán)。近世代數(shù)模擬試題一參考答案一、單項選擇題。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,11、 ；2、單位元；3、交換環(huán)；4、整數(shù)環(huán)；5、變換群；6、同構(gòu);7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）解：把和寫成不相雜輪換的乘積：(1653)(247)(8) (123)(48)(57)(6) 可知為奇置換，為偶置換。和可以寫成如下對換的乘積：(13)(15)(16)(24)(27) (13)(12)(48)(57) 1 1B(AA)C(AA)解：設(shè)A是任意方陣，令 2 ， 2 ，則B是對稱矩陣，而C是反對稱矩陣，且ABC。 ABC B C BBCC若令有 1 1，這里1和1分別為對稱矩陣和反對稱矩陣，則 1 1 ，而等式左邊是對稱矩陣，右邊BBCC是反對稱矩陣，于是兩邊必須都等于0，即： 1， 1，所以，表示法唯一。 M M3、答：（m，m）不是群，因為m中有兩個不同的單位元素0和m。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分） (xy)2e xy(xy)1y1x1yx x2e可得xx1）。對于G中任意元x，y，由于 ，所以 （對每個x，從證明在F里aab1b1a(a,bR,b0)b Q所有a(a,bR,b0)有意義，作F的子集 b Q顯然是R的一個商域證畢。近世代數(shù)模擬試題二參考答案一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。1、變換群；2、交換環(huán)；3、25；4、模n乘余類加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右單位元；9、消去律成立；10、交換環(huán)；三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）解：H的3個右陪集為：{I,(12)}，{(123)，(13)}，{(132)，(23)}H的3個左陪集為：{I,(12)}，{(123)，(23)}，{(132)，(13)}答：（E，）不是群，因為（E，）中無單位元。解方法一、輾轉(zhuǎn)相除法。列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）證明設(shè)e是群<G，*>的幺元。令x＝a－1*b，則a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。若x∈G也是a*x＝b的解，則x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。容易證明這樣的關(guān)系是Z上的一個等價關(guān)系，把這樣定義的等價類集合Z記為Zm，每個整數(shù)a所在的等價類記為a[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可記為，稱之為模m剩余類。若m︱a–b也記為a≡b(m)。當(dāng)m=2時，Z2僅含2個元：[0]與[1]。近世代數(shù)模擬試題三參考答案一、單項選擇題1、C；2、C；、只要f是A到、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f1。（）、如果循環(huán)群Ga中生成元a的階是無限的，則G與整數(shù)加群同構(gòu)。（）、如果群G的子群H是循環(huán)群，那么G也是循環(huán)群。（）1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、 ；、群G的子群H是不變子群的充要條件為、群G的子群H是不變子群的充要條件為gG,hH;g1HgH。（）、如果環(huán)R的階2，那么R的單位元10。（）、若環(huán)R滿足左消去律，那么R必定沒有右零因子。（）解在學(xué)群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進行計算：例如，全白只1種，四白一黑1種，三白二黑2種，…等等，可得總共8種。證由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：因為S1，S2是A的子環(huán)，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子環(huán)。S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：(1243)(56)1(16524)解：1． ， ；2．兩個都是偶置換。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）證明：假定是R的一個理想而不是零理想，那么a0，由理想的定義a1a1，因而R的任意元bb1這就是說=R，證畢。證必要性：將b代入即可得。充分性：利用結(jié)合律作以下運算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。近世代數(shù)試卷一、判斷題（下列命題你認為正確的在題后括號內(nèi)打“√”，錯的打“×”；每小題1分，共10分）設(shè)A與B都是非空集合，那么ABxxA且xB。（）設(shè)A、B、D都是非空集合，則AB到D的每個映射都叫作二元運算。（）9、F(x)中滿足條件p()0的多項式叫做元在域F上的極小多項式。（）10、若域E的特征是無限大，那么E含有一個與Zp同構(gòu)的子域，這里Z是整數(shù)環(huán)，p是由素數(shù)p生成的主理想。（）二、單項選擇題（從下列各題四個備選答案中選出一個正確答案，并將其號碼寫在題干后面的括號內(nèi)。答案選錯或未作選擇者，該題無分。每小題1分，共10分）設(shè)A,A,,A和D都是非空集合，而f是AAA到D的一個映射，那么（） 1 2 n 1 2 n①集合A,A,,A,D中兩兩都不相同；②A,A,,A的次序不能調(diào)換； 1 2 n 1 2 n③AAA中不同的元對應(yīng)的象必不相同； 1 2 n④一個元a,a,,a的象可以不唯一。指出下那運算二元運算（）①在整數(shù)集Z上，abab；②在有理數(shù)集Q上，abab；ab③在正實數(shù)集R上，abalnb；④在集合nZn0上，abab。設(shè)是整數(shù)集Z上的二元運算，其中abmaxa,b（即取a與b中的最大者），那么在Z中（）①不適合交換律；②不適合結(jié)合律；③存在單位元；④每個元都有逆元。設(shè)G,為群，其中G是實數(shù)集，而乘法:ababk，這里k為G中固定的常數(shù)。那么群G,中的單位元e和元x的逆元分別是（）①0和x；②1和0；③k和x2k；④k和(x2k)。5、設(shè)a,b,c和x都是群G中的元素且x2abxc1,acxxac，那么x（）①bc1a1；②c1a1；③a1bc1；④b1ca。設(shè)H是群G的子群，且G有左陪集分類H,aH,bH,cH。如果6，那么G的階G（）①6；②24；③10；④12。設(shè)f:GG是一個群同態(tài)映射，那么下列錯誤的命題是（） 1 2①f的同態(tài)核是G的不變子群；②G的不變子群的逆象是G的不變子群；③G的子群的象是G的子群；④ 1 2 1 1 2G的不變子群的象是G的不變子群。f:RR是環(huán)態(tài)滿射，f(a)b，那么下列錯誤的結(jié)論為（）2①若a是零元，則b是零元；②若a是單位元，則b是單位元；③若a不是零因子，則b不是零因子；④若R是不交換的，則R不交換。1下列正確的命題是（）①歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)；②主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；③唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)；④唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。若I是域F的有限擴域，E是I的有限擴域，那么（）①E:IE:II:F；②F:EI:FE:I；③I:FE:FF:I；④E:FE:II:F。三、填空題（將正確的內(nèi)容填在各題干預(yù)備的橫線上，內(nèi)容填錯或未填者，該空無分。每空1分，共10分）設(shè)集合A1,0,1；B1,2，則有BA。如果f是A與A間的一一映射，a是A的一個元，則f1fa。設(shè)集合A有一個分類，其中A與A是A的兩個類，如果AA，那么AA。i j i j i j設(shè)群G中元素a的階為m，如果ane，那么m與n存在整除關(guān)系為。凱萊定理說：任一個子群都同一個同構(gòu)。給出一個5-循環(huán)置換(31425)，那么1。若I是有單位元的環(huán)R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表達為。若R是一個有單位元的交換環(huán)，I是R的一個理想，那么RI是一個域當(dāng)且僅當(dāng)I是。整環(huán)I的一個元p叫做一個素元，如果。若域F的一個擴域E叫做F的一個代數(shù)擴域，如果。四、改錯題（請在下列命題中你認為錯誤的地方劃線，并將正確的內(nèi)容寫在預(yù)備的橫線上面。指出錯誤1分，更正錯誤2分。每小題3分，共15分）1、如果一個集合A的代數(shù)運算同時適合消去律和分配律，那么在aaa里，元的次序可以掉換。 1 2 n有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合G作成一個群，如果滿足G對于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律成立。設(shè)I和S是環(huán)R的理想且ISR，如果I是R的最大理想，那么S0。唯一分解環(huán)I的兩個元a和b不一定會有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有dd'。叫做域F的一個代數(shù)元，如果存在F的都不等于零的元a,a,,a使得aaan0。 0 1 n 0 1 n五、計算題（共15分，每小題分標(biāo)在小題后）1、給出下列四個四元置換 1234 1234 1234 12341234,21243,32134,421431組成的群G，試寫出G的乘法表，并且求出G的單位元及1,1,1,1和G的所有子群。2、設(shè)Z0,1,2,3,4,5是模6的剩余類環(huán)，且1f(x2),g(3x)4Zx。如果f(x)3x35x2、 6 6g(x)4x25x3，計算f(x)g(x)、f(x)g(x)和f(x)g(x)以及它們的次數(shù)。六、證明題（每小題10分，共40分）設(shè)a和b是一個群G的兩個元且abba，又設(shè)a的階am，b的階bn，并且(m,n)1，證明：ab的階abmn。設(shè)R為實數(shù)集，a,bR,a0，令f:RR,xaxb,xR，將R的所有這樣的變換構(gòu)成一個集合(a,b)Gfa,bR,a0，試證明：對于變換普通的乘法，G作成一個群。(a,b)設(shè)I和I為環(huán)R的兩個理想，試證II和IIabaI,bI都是R的理想。 1 2 1 2 1 21 2設(shè)R是有限可交換的環(huán)且含有單位元1，證明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。近世代數(shù)試卷參考解答一、判斷題12345678910××√√×√√√××單項選擇題12345678910②④③④①②④③①④填空題1、1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,1。2、a。3、。4、mn。5、變換群。6、13524。7、xay,x,yR。8、一個最大理想。 i i i ip既不是零元，也不是單位，且q只有平凡因子。E的每一個元都是F上的一個代數(shù)元。改錯題1、如果一個集合A的代數(shù)運算同時適合消去律和分配律，那么在aaa里，元的次序可以掉換。 1 2 n結(jié)合律與交換律有限群的另一定義：一個有乘法的有限非空集合G作成一個群，如果滿足G對于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律成立。消去律成立設(shè)I和S是環(huán)R的理想且ISR，如果I是R的最大理想，那么S0。S=I或S=R唯一分解環(huán)I的兩個元a和b不一定會有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有d=d′。一定有最大公因子；d和d′只能差一個單位因子5、叫做域F的一個代數(shù)元，如果存在F的都不等于零的元a,a,,a使得aaan0。 0 1 n 0 1 n不都等于零的元測驗題一、填空題（42分）設(shè)集合M與M分別有代數(shù)運算與，且M~M，則當(dāng)時，也滿足結(jié)合律；當(dāng)時，也滿足交換律。對群中任意元素a,b,有(ab)1=；設(shè)群G中元素a的階是n，n|m則am=；設(shè)a是任意一個循環(huán)群，若|a|，則a與同構(gòu)；若|a|n，則a與同構(gòu)；設(shè)G=a為6階循環(huán)群，則G的生成元有；子群有；n次對稱群S的階是；置換(1378)(24)的階是；n 1234 1234設(shè)2341，4132，則；設(shè)(14)(235)，(136)(25)，則1；設(shè)H是有限群G的一個子群，則|G|=；10、任意一個群都同一個同構(gòu)。二、證明題（24）設(shè)G