基本計數(shù)原理【第一課時】【教學目標】1．通過兩個計數(shù)原理的學習，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)。2．借助兩個計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題，提升數(shù)學運算的素養(yǎng)?！窘虒W重難點】1．通過實例，能歸納總結出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理。（重點）2．正確理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)具體問題的特征，選擇“分類”或“分步”。（易混點）3．能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題。（難點）【教學過程】一、情境引入十三屆全國人大三次會議在京召開，某政協(xié)委員5月19日從泉城濟南前往北京參加會議，他有兩類快捷途徑：一是乘坐飛機，二是乘坐動車組。假如這天適合他乘坐的飛機有3個航班，動車組有4個班次。問題1：此委員這一天從濟南到北京共有多少種快捷途徑？問題2：如果該委員需要在5月19日先從家鄉(xiāng)乘坐汽車到達濟南市，再乘坐飛機前往北京參加會議，其中汽車有4班，飛機有3個航班，問：此委員想從家鄉(xiāng)到達北京共有多少種途徑？二、新知初探1．分類加法計數(shù)原理完成一件事，如果有n類辦法且：第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1＋m2＋…＋mn種不同的方法。2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事，如果需要分成n個步驟，且：做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法。思考：在分步乘法計數(shù)原理中，第1步采用的方法與第2步采用的方法之間有影響嗎？[提示]無論第1步采用哪種方法，都不影響第2步方法的選取。拓展：兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系：分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別一每類辦法都能獨立地完成這件事，它是獨立的、一次的，且每次得到的是最后結果，只需一種方法就可完成這件事每一步得到的只是中間結果（最后一步除外），任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各步都完成了，才能完成這件事區(qū)別二各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關聯(lián)的、獨立的，“關聯(lián)”確保不遺漏，“獨立”確保不重復聯(lián)系這兩個原理都是用來計算做一件事情的不同方法數(shù)三、合作探究類型1分類加法計數(shù)原理的應用【例1】（1）從高三年級的四個班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分別為4人，5人，6人，7人，他們自愿組成數(shù)學課外小組，選其中一人為組長，有多少種不同的選法？（2）在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？[解]（1）分四類：從一班中選一人，有4種選法；從二班中選一人，有5種選法；從三班中選一人，有6種選法；從四班中選一人，有7種選法。共有不同選法N=4＋5＋6＋7=22（種）。（2）法一：按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個。由分類加法計數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=36（個）。法二：按個位上的數(shù)字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個，所以按分類加法計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8=36（個）。[母題探究]1．（變結論）本例（2）中條件不變，求個位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)的兩位數(shù)的個數(shù)。[解]當個位數(shù)字是8時，十位數(shù)字取9，只有1個。當個位數(shù)字是6時，十位數(shù)字可取7，8，9，共3個。當個位數(shù)字是4時，十位數(shù)字可取5，6，7，8，9，共5個。同理可知，當個位數(shù)字是2時，共7個。當個位數(shù)字是0時，共9個。由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的數(shù)共有1＋3＋5＋7＋9=25（個）。2．（變條件，變結論）本例（2）換為：用數(shù)字1，2，3可以組成多少個沒有重復數(shù)字的整數(shù)？[解]分三類：①第一類為一位整數(shù)，有1，2，3，共3個；②第二類為二位整數(shù)，有12，13，21，23，31，32，共6個；③第三類為三位整數(shù)，有123，132，213，231，312，321，共6個?！喙步M成3＋6＋6=15個無重復數(shù)字的整數(shù)。[規(guī)律方法]利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程提醒：確定分類標準時要確保每一類都能獨立的完成這件事。類型2分步乘法計數(shù)原理的應用【例2】（教材P6例2改編）一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼（各位上的數(shù)字允許重復）？[思路點撥]根據(jù)題意，必須依次在每個撥號盤上撥號，全部撥號完畢后，才撥出一個四位數(shù)號碼，所以應用分步乘法計數(shù)原理。[解]按從左到右的順序撥號可以分四步完成：第一步，有10種撥號方式，所以m1=10；第二步，有10種撥號方式，所以m2=10；第三步，有10種撥號方式，所以m3=10；第四步，有10種撥號方式，所以m4=10.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共可以組成N=10×10×10×10=10000個四位數(shù)的號碼。[母題探究]（變條件）若各位上的數(shù)字不允許重復，那么這個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼？[解]按從左到右的順序撥號可以分四步完成：第一步，有10種撥號方式，即m1=10；第二步，有9種撥號方式，即m2=9；第三步，有8種撥號方式，即m3=8；第四步，有7種撥號方式，即m4=7．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共可以組成N=10×9×8×7=5040（個）四位數(shù)的號碼。[規(guī)律方法]利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程提醒：分步時要注意不能遺漏步驟，否則就不能完成這件事。類型3辨析兩個計數(shù)原理[探究問題]如何區(qū)分一個問題是“分類”還是“分步”？[提示]如果完成這件事，可以分幾種情況，每種情況中任何一種方法都可以完成任務，則是分類；而從其中任何一種情況中任取一種方法只能完成一部分任務，且只有依次完成各種情況，才完成這件事，則是分步?！纠?】現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫。（1）從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？（2）從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？（3）從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？[思路點撥][解]（1）分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法。根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有5＋2＋7=14（種）不同的選法。（2）分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種，2種，7種不同的選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有5×2×7=70（種）不同的選法。（3）分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步乘法計數(shù)原理知，有5×2=10（種）不同的選法；第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7=35（種）不同的選法；第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7=14（種）不同的選法。所以共有10＋35＋14=59（種）不同的選法。[規(guī)律方法]1．當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法。2．分類時標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律。3．混合問題一般是先分類再分步。eq\o([跟進訓練])一個袋子里有10張不同的中國移動手機卡，另一個袋子里有12張不同的中國聯(lián)通手機卡。（1）某人要從兩個袋子中任取一張手機卡供自己使用，共有多少種不同的取法？（2）某人手機是雙卡雙待機，想得到一張移動卡和一張聯(lián)通卡供自己使用，問一共有多少種不同的取法？[解]（1）第一類：從第一個袋子取一張移動卡，共有10種取法；第二類：從第二個袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法。根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有10＋12=22種取法。（2）第一步，從第一個袋子取一張移動卡，共有10種取法；第二步，從第二個袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法。根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有10×12=120種取法。四、課堂總結1．使用兩個原理解題的本質eq\x(分類)→eq\x(\S\UP(將問題分成互相排斥,的幾類，逐類解決))→eq\x(\S\UP(分類加法,計數(shù)原理))eq\x(分步)→eq\x(\S\UP(把問題分化為幾個互相,關聯(lián)的步驟，逐步解決))→eq\x(分步乘法計數(shù)原理)2．利用兩個計數(shù)原理解決實際問題的常用方法eq\x(列舉法)eq\o(→,\s\up10(種數(shù)較少))eq\x(將各種情況一一列舉)eq\x(間接法)eq\o(→,\s\up10(正面復雜))eq\x(用總數(shù)減去不滿足條件的種數(shù))五、課堂練習1．某校開設A類選修課3門，B類選修課4門，若要求從兩類課程中選一門，則不同的選法共有（）A．3種 B．4種C．7種 D．12種答案：C解析：選擇課程的方法有2類：從A類課程中選一門有3種不同方法，從B類課程中選1門有4種不同方法，∴共有不同選法3＋4=7種。2．現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為（）A．7 B．12C．64 D．81答案：B解析：先從4件上衣中任取一件共4種選法，再從3條長褲中任選一條共3種選法，由分步乘法計數(shù)原理，上衣與長褲配成一套共4×3=12（種）不同配法。故選B．3．某學生去書店，發(fā)現(xiàn)2本好書，決定至少買其中一本，則購買方式共有（）A．1種 B．2種C．3種 D．4種答案：C解析：分兩類：買1本或買2本書，各類購買方式依次有2種、1種，故購買方式共有2＋1=3種。故選C．4．十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，不同的行車路線有________條。答案：12解析：經過一次十字路口可分兩步：第一步確定入口，共有4種選法；第二步確定出口，從剩余3個路口任選一個共3種，由分步乘法計數(shù)原理知不同的路線有4×3=12條。5．有不同的紅球8個，不同的白球7個。（1）從中任意取出一個球，有多少種不同的取法？（2）從中任意取出兩個不同顏色的球，有多少種不同的取法？答案：（1）由分類加法計數(shù)原理，從中任取一個球共有8＋7=15（種）。（2）由分步乘法計數(shù)原理，從中任取兩個不同顏色的球共有8×7=56（種）?！镜诙n時】【教學目標】1．借助兩個計數(shù)原理解題，提升數(shù)學運算的素養(yǎng)。2．通過合理分類或分步解決問題，提升邏輯推理的素養(yǎng)。【教學重難點】1．熟練應用兩個計數(shù)原理。（重點）2．能運用兩個計數(shù)原理解決一些綜合性的問題。（難點）【教學過程】一、合作探究類型1組數(shù)問題【例1】（教材P6例2改編）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個無重復數(shù)字的：（1）銀行存折的四位密碼？（2）四位整數(shù)？（3）比2000大的四位偶數(shù)？[思路點撥]（1）用分步乘法計數(shù)原理求解（1）問；（2）0不能作首位，優(yōu)先排首位，用分步乘法計數(shù)原理求解；（3）可以按個位是0，2，4分三類，也可以按首位是2，3，4，5分四類解決，也可以用間接法求解。[解]（1）分步解決。第一步：選取左邊第一個位置上的數(shù)字，有6種選取方法；第二步：選取左邊第二個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第三步：選取左邊第三個位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第四步：選取左邊第四個位置上的數(shù)字，有3種選取方法。由分步乘法計數(shù)原理知，可組成不同的四位密碼共有6×5×4×3=360（個）。（2）分步解決。第一步：首位數(shù)字有5種選取方法；第二步：百位數(shù)字有5種選取方法；第三步：十位數(shù)字有4種選取方法；第四步：個位數(shù)字有3種選取方法。由分步乘法計數(shù)原理知，可組成四位整數(shù)有5×5×4×3=300（個）。（3）法一：按末位是0，2，4分為三類：第一類：末位是0的有4×4×3=48個；第二類：末位是2的有3×4×3=36個；第三類：末位是4的有3×4×3=36個。則由分類加法計數(shù)原理有N=48＋36＋36=120（個）。法二：按千位是2，3，4，5分四類：第一類：千位是2的有2×4×3=24（個）；第二類：千位是3的有3×4×3=36（個）；第三類：千位是4的有2×4×3=24（個）；第四類：千位是5的有3×4×3=36（個）。則由分類加法計數(shù)原理有N=24＋36＋24＋36=120（個）。法三：用0，1，2，3，4，5可以組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)分兩類：第一類：末位是0的有5×4×3=60（個）；第二類：末位是2或4的有2×4×4×3=96（個）。共有60＋96=156（個）。其中比2000小的有：千位是1的共有3×4×3=36（個），所以符合條件的四位偶數(shù)共有156－36=120（個）。[規(guī)律方法]1．對于組數(shù)問題，一般按特殊位置（一般是末位和首位）由誰占領分類，分類中再按特殊位置（或者特殊元素）優(yōu)先的方法分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法從反面求解。2．解決組數(shù)問題，應特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的，要善于挖掘。排數(shù)時，要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則。eq\o([跟進訓練])1．四張卡片上分別標有數(shù)字“2”、“0”、“1”、“1”，則由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)的個數(shù)為（）A．6 B．9C．12 D．24答案：B解析：法一：（列舉法）根據(jù)0的位置分類：第一類：0在個位有：2110，1210，1120，共3個。第二類：0在十位有：2101，1201，1102，共3個。第三類：0在百位有：2011，1021，1012，共3個。故共有3＋3＋3=9個不同的四位數(shù)，故選B．法二：（樹形圖法）如圖，可知這樣的數(shù)共有9個，故選B．類型2抽取（分配）問題【例2】（1）高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（）A．16種 B．18種C．37種 D．48種（2）甲、乙、丙、丁四人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀卡，則不同取法的種數(shù)有________種。[思路點撥]（1）由于去甲工廠的班級分配情況較多，而其對立面較少，可考慮間接法求解。（2）先讓一人去抽，然后再讓被抽到賀卡所寫人去抽。答案：（1）C（2）9解析：（1）高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐有43種不同的分配方案，若三個班都不去工廠甲則有33種不同的分配方案。則滿足條件的不同的分配方案有43－33=37（種）。故選C．（2）不妨由甲先來取，共3種取法，而甲取到誰的將由誰在甲取后第二個來取，共3種取法，余下來的人，都只有1種選擇，所以不同取法共有3×3×1×1=9（種）。[規(guī)律方法]求解抽取（分配）問題的方法1．當涉及對象數(shù)目不大時，一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法。2．當涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接法：直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理。②間接法：去掉限制條件，計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可。eq\o([跟進訓練])2．3個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子至多放一個小球，共有多少種方法？[解]法一：（以小球為研究對象）分三步來完成：第一步：放第一個小球有5種選擇；第二步：放第二個小球有4種選擇；第三步：放第三個小球有3種選擇。根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得：共有方法數(shù)N=5×4×3=60（種）。法二：（以盒子為研究對象）盒子標上序號1，2，3，4，5，分成以下10類：第一類：空盒子標號為（1，2）：選法有3×2×1=6（種）；第二類：空盒子標號為（1，3）：選法有3×2×1=6（種）；第三類：空盒子標號為（1，4）：選法有3×2×1=6（種）；分類還有以下幾種情況：空盒子標號分別為（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10類，每一類都有6種方法。根據(jù)分類加法計數(shù)原理得，共有方法數(shù)N=6＋6＋…＋6=60（種）。類型3涂色（種植）問題[探究問題]1．用3種不同顏色填涂圖中A，B，C，D四個區(qū)域，且使相鄰區(qū)域不同色，若按從左到右依次涂色，有多少種不同的涂色方案？[提示]涂A區(qū)有3種涂法，B，C，D區(qū)域各有2種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理將A，B，C，D四個區(qū)域涂色共有3×2×2×2=24（種）不同方案。2．在探究1中，若恰好用3種不同顏色涂A，B，C，D四個區(qū)域，那么哪些區(qū)域必同色？把四個區(qū)域涂色，共有多少種不同的涂色方案？[提示]恰用3種不同顏色涂四個區(qū)域，則A，C區(qū)域，或A，D區(qū)域，或B，D區(qū)域必同色。由分類加法計數(shù)原理可得恰用3種不同顏色涂四個區(qū)域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1=18（種）不同的方案。3．在探究1中，若恰好用2種不同顏色涂完四個區(qū)域，則哪些區(qū)域必同色？共有多少種不同的涂色方案？[提示]若恰好用2種不同顏色涂四個區(qū)域，則A，C區(qū)域必同色，且B，D區(qū)域必同色。先從3種不同顏色中任取兩種顏色，共3種不同的取法，然后用所取的2種顏色涂四個區(qū)域共2種不同的涂法。由分步乘法計數(shù)原理可得恰好用2種不同顏色涂四個區(qū)域共有3×2=6（種）不同的涂色方案。【例3】將紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個小方格內，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？[思路點撥]注意小方格中第2個和第3個所涂顏色可能相同，也可能不同，故應分兩類：所涂顏色相同和不同，分別求解。[解]第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法。①當?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有4×3=12（種）不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有5×12×3=180（種）不同的涂法。②當?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有5×4×4=80（種）不同的涂法。由分類加法計數(shù)原理可得共有180＋80=260（種）不同的涂法。[母題探究]（變條件）本例中的區(qū)域改為如圖所示，其他條件均不變，則不同的涂法共有多少種？[解]依題意，可分兩類情況：①④不同色；①④同色。第一類：①④不同色，則①②③④所涂的顏色各不相同，我們可將這件事情分成4步來完成。第一步涂①，從5種顏色中任選一種，有5種涂法；第二步涂②，從余下的4種顏色中任選一種，有4種涂法；第三步涂③與第四步涂④時，分別有3種涂法和2種涂法。于是由分步乘法計數(shù)原理得，不同的涂法為5×4×3×2=120（種）。第二類：①④同色，則①②③不同色，我們可將涂色工作分成三步來完成。第一步涂①④，有5種涂法；第二步涂②，有4種涂法；第三步涂③，有3種涂法。于是由分步乘法計數(shù)原理得，不同的涂法有5×4×3=60（種）。綜上可知，所求的涂色方法共有120＋60=180（種）。[規(guī)律方法]求解涂色（種植）問題一般是直接利用兩個計數(shù)原理求解，常用方法有：（1）按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析；（2）以顏色（種植作物）為主分類討論，適用于“區(qū)域、點、線段”問題，用分類加法計數(shù)原理分析；（3）對于涂色問題將空間問題平面化，轉化為平面區(qū)域涂色問題。二、課堂總結解決較為復雜的計數(shù)問題綜合應用1．合理分類，準確分步：（1）處理計數(shù)問題，應扣緊兩個原理，根據(jù)具體問題首先弄清楚是“分類”還是“分步”，要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標準。（2）分類時要滿足兩個條件：①類與類之間要互斥（保證不重復）；②總數(shù)要完備（保證不遺漏），也就是要確定一個合理的分類標準。（3）分步時應按事件發(fā)生的連貫過程進行分析，必須做到步與步之間互相獨立，互不干擾，并確保連續(xù)性。2．特殊優(yōu)先，一般在后：