高中數(shù)學《基本不等式》公開課優(yōu)秀教學設計PAGE《§3.4.1基本不等式》的教學設計教材：人教版高中數(shù)學必修5第三章一、教學內容解析本節(jié)選自人教版必修五的第三章第四節(jié)的第一課時，它是在學生學習完“不等式的性質”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題”的基礎上對不等式的進一步研究。在探究基本不等式內涵和證明的過程中，能夠培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；培養(yǎng)學生形成數(shù)形結合的思想意識；在應用的過程中，通過對條件的轉換和變式，有助于培養(yǎng)學生形成類比歸納的思想和習慣，進而形成嚴謹?shù)乃季S方式。二、教學目標設置1．通過探究“數(shù)學家大會的會標”及感受會標的變形，引導學生從幾何圖形中獲得兩個基本不等式，了解基本不等式的幾何背景培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；培養(yǎng)學生形成數(shù)形結合的思想意識；2．進一步讓學生探究不等式的代數(shù)證明，加深對基本不等式的理解和認識，提高學生邏輯推理的能力和嚴謹?shù)乃季S方式。3．通過例題讓學生學會用基本不等式求最大值和最小值。三、學生學情分析對于高一的學生，不等式并不陌生，前面學習了不等式及不等式的性質，能夠進行簡單的數(shù)與式的比較，本節(jié)所學內容就用到了不等式的性質，所以學生可以在鞏固不等式性質的前提下學習基本不等式，接受上是容易的，爭取讓學生真正意義上理解基本不等式。四、教學策略分析在教學過程中學生往往會直接應用不等式而忽略成立的條件，因此本節(jié)課的重點內容是對基本不等式的理解和運用。在運用過程中生成的規(guī)律，在學生做題時能靈活運用是難點，因此理解基本不等式和靈活應用基本不等式十本節(jié)課難點五、教學過程：（一）情景引入下圖是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會會議現(xiàn)場。通過情境引發(fā)聯(lián)想，學生深切感受到我國數(shù)學科學的悠久歷史和深厚的文化底蘊，以及我國的數(shù)學成就對世界數(shù)學文明的影響和發(fā)展做出的卓越貢獻，激發(fā)學生喜歡數(shù)學，學好數(shù)學的熱情。探究一：觀察上面的會標。會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的,該圖給出了迄今為止對勾股定理最早、最簡潔的證明，體現(xiàn)了以形證數(shù)、數(shù)形結合的思想。將代數(shù)與幾何緊密的結合在了一起?！驹O計意圖】1．培養(yǎng)學生識圖和分析數(shù)據(jù)的能力，并通過對數(shù)量關系的分析得出基本不等式的雛形，進而逐步發(fā)現(xiàn)基本不等式的本質和成立條件。2．鼓勵學生獨立思考，充分發(fā)揮學生的創(chuàng)新和想象能力，進而發(fā)現(xiàn)并理解基本不等式的實質。師：從圖形上你能觀察到了什么？生：邊、角、三角形、正方形師：我們根據(jù)弦圖可知勾股定理，那么我們對三角形、正方形可以研究哪些數(shù)量關系呢？生：正方形和三角形的面積、周長，根據(jù)給的邊可以求。師：那么面積之間又有怎樣的關系呢？生：大正方形面積，四個直角三角形面積，并且>。師：僅此而已嗎？你還能發(fā)現(xiàn)怎樣的關系？生：還會相等。時會相等。（教師投影展示取等號的條件，證明學生的想法是正確的。）結論：（當且僅當時取等號）師：你能給出證明嗎？（此問題學生口述即可）生：由，則恒成立。則時取等號。師：一般的我們都用，表示，那么若將上式中的，換成，，你又會得出什么結論？如何證明？【設計意圖】用代數(shù)的方法證明基本不等式，進而使學生加深對基本不等式的理解，理解基本不等式中不等號和等號成立的條件；引導學生自己動手寫出證明過程，并自我總結歸納基本不等式運用的條件，有利于學生準確、靈活應用。生：當且僅當時取等號。師：很好，還可以寫成，如何證明這個結論成立呢？生投影展示：要證，只要證，只要證，只要證，顯然式子成立，當且僅當取等號。師：這樣我們又一次得到了基本不等式。根據(jù)以上證明學生已經基本了解了基本不等式的形式和推導方法，同學們是否真正理解了基本不等式的含義。探究二：如右圖，是圓的直徑，點是上的一點，，。過點作垂直于的弦,連接、。你能利用這個圖形，得出的幾何解釋嗎？【設計意圖】對圖形進一步分析，引導學生發(fā)現(xiàn)幾何平均數(shù)和算術平均數(shù)，讓學生體會不僅能以數(shù)證形，尋找數(shù)量關系的幾何解釋，還可以通過對圖形的觀察分析以形識數(shù)，進而完善前面的代數(shù)結論。ABABDCO證明：因為，所以。由于小于或等于圓的半徑，用不等式表示為顯然不等式當且僅當點與圓心結合，即當時，等號成立結論:（教師投影展示學生口述結果）是、的幾何平均數(shù)，是、的算術平均數(shù)。代數(shù)解釋是幾何平均數(shù)不大于算術平均數(shù)。幾何解釋為半弦不大于半徑。師：以上利用代數(shù)法和幾何法推導基本不等式，過程詳細，內容明確，學生們對基本不等式理解了嗎？我們來看看以下幾個問題是否正確？例：判斷對錯（1）由則。（）（2）若則。（）（3）當時，。（）（4）函數(shù)的最小值為2.（）【設計意圖】考查學生對所學知識點掌握的情況，是否真正理解了基本不等式并能注意運用公式時需要注意的條件，從而真正意義上理解不等式的含義。（學生先獨立思考，組內再探討，最后小組派代表解答。）師：基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應用，是解決最值問題的有力工具，看下面的例題。合作探究：下面兩道例題都由學生先獨立完成，然后組內探討，最后組內出代表完成。例：（１）用籬笆圍一個面積為１００平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短．最短的籬笆是多少？【設計意圖】1．總結歸納利用基本不等式求最值問題，實現(xiàn)積與和的轉化。2．培養(yǎng)學生在實際生活中對不等式的感性認識提煉為理性認識的過程，感受不等式和生活的緊密聯(lián)系和指導意義。解：設矩形菜園的長為ｍ，寬為ｍ，則，籬笆的長為ｍ．由，可得，。等號當且僅當時成立，此時.因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用籬笆最短，最短籬笆是40m．師：完成此例題你有什么發(fā)現(xiàn)？生：乘積是定值的時候，和取最值，并且為最小值。師：很好，那總結個規(guī)律該怎么說呢？（學生嘗試說，最后教師完善）結論1：積定和最小。師：看看下面這道例題，你又會得到什么結論呢？（2）一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大．最大的面積是多少？解：設矩形菜園的長為ｍ，寬為ｍ，則，，矩形菜園的面積為㎡．由，可得，當且僅當，即，等號成立。因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園的面積最大，最大的面積是81㎡。師：此題做完你又有什么想法呢？生：和定積最大。（由上面的題引導學生會很快得出結論）師：由上面例題，同學們，能總結一下運用基本不等式解題需要滿足的條件嗎？（根據(jù)前面學習學生會說出至少兩點）生：都為正數(shù)，取最值的條件是師：例題中運用公式取到最值的前提必須有什么？（通過教師引導學生會想到定值）生：有一個是定值。師：好，那我們給運用基本不等式滿足的條件一個口訣吧？（生嘗試去說，但不一定簡便，但用自己的思維方式說印象會更深）師：一正、二定、三相等。師：那我們如何運用基本不等式都能求哪些最值得題型呢？下節(jié)課我們再研究。五、課堂總結1、本節(jié)課你學到了什么？2、你還有哪些疑問？【設計意圖】通過提問讓學生在頭腦中形成自己的知識體系，自己總結檢驗本節(jié)課的聽課效果，是否還有自己沒聽懂的問題一下就清楚了。六、課后作業(yè)教材P113練習1、2、3.習題A組2、3【設計意圖】鞏固訓練本節(jié)課學習內容并且給學生一個完整的獨立思考，自主學習的機會。七、教學設計說明不等式對高中的學生來說不陌生，但基本不等式則是一個新的知識點出現(xiàn)在高中數(shù)學教材中，讓學生又學會一種求函數(shù)最值得方法，所以學生只有真正理解了才會用起來得心應手?；静坏仁焦降囊隼昧藘煞N方法：代數(shù)法和幾何法。代數(shù)學通過圖形展示，讓學生自己找出不等式關系，從而引出結論。又利用完全平方差公式更容易的看出公式成立的條件。最后用幾何法，移動弦的位置更直觀的看出公式形成的過程。兩種方法就是希望學生真正理解公式的由來。從而能夠靈活運用?；静坏仁皆诮鉀Q實際問題中有廣泛的應用，是解決最值問題的有力工具，所以一道求最值的實際問題引導學生理解運用不等式需要注意的三點：一正、二定、三相等。為后面求最值的題型做了鋪墊。課堂總結和課后作業(yè)都是給學生一個獨立思考，理順自己思路，回顧學習的內容，從而檢驗自己學習情況?！?.4.1基本不等式》課例點評稿一節(jié)好課，應該有老師高超的教學設計——既有學生數(shù)學知識的生成又要潛移默化的形成數(shù)學的邏輯思維，激發(fā)學生學習數(shù)學熱情。應該有學生充分的交流互動——既能發(fā)揮學生的主體作用又能學以致用的運用新知解決實際問題，體驗到生活離不開數(shù)學?！?.4.1基本不等式》一課，就完全詮釋了一節(jié)好課的內涵。情景引入環(huán)節(jié)以第24屆國際數(shù)學家大會的徽標為切入點，引出徽標的原型趙爽弦圖，讓學生真切的感受到了我國自古以來數(shù)學的突出成就，我國深厚豐盈的數(shù)學底蘊……以及我國數(shù)學為世界文明做出的巨大貢獻，激發(fā)了學生的民族自豪感，激發(fā)了學生熱愛數(shù)學，學習數(shù)學的熱情，這體現(xiàn)了教師傳承育人、文化育人的教育理念。獨立探究環(huán)節(jié)學生通過獨立觀察、思考和嘗試探究，讓學生充分的動眼觀察，動腦思考，動口表達……放手學生遨游于數(shù)學的觀察、想象、創(chuàng)新和自我感知、自我認可的自由空間。問題設計層層遞進，數(shù)形結合思想明線導引，數(shù)理邏輯思維暗線支撐……整堂課能夠讓學生切身感受到數(shù)學知識的漸次生成，邏輯思維的不斷完善和數(shù)學思想的逐步成熟；充分感受到數(shù)學藝術和數(shù)學魅力的同時又潛移默化中培養(yǎng)了學生的數(shù)學思