流體力學(xué)動力學(xué)規(guī)律都具有伽利略變換的不變性對稱性的研究在物理學(xué)中占有十分重要的地位，并已成為認(rèn)識物質(zhì)形體構(gòu)造及其相互作用規(guī)律的基礎(chǔ)。在物理學(xué)的研究中，基本物理規(guī)律（方程）所包含的對稱性起著非常重要的作用。對稱性分兩大類：一類是時空對稱性，它們是與描述物理事件的時空坐標(biāo)變換（例如時空坐標(biāo)的平移和Lorent變換）相聯(lián)系的；另一類對稱性是內(nèi)部對稱性。在場論中，它們是與不改變時空坐標(biāo)的場的變換相聯(lián)系的。這種變換稱為內(nèi)部空間的變換，物理學(xué)中的變換構(gòu)成變換群。物理規(guī)律的對稱性歸結(jié)為基本方程在這些變換群下的不變性。現(xiàn)代物理的一個基本要求是描述自然規(guī)律的數(shù)學(xué)形式應(yīng)與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，稱為廣義相對性原理或廣義協(xié)變原理，協(xié)變一詞的含義是協(xié)調(diào)變化，如果一個物理規(guī)律的表達(dá)式（方程）在某種變化的前后保持其形式不變，則我們稱物理規(guī)律對于這種變換是協(xié)變的，或者說具有某種協(xié)變性。我們知道，凡是能用張量形式表述的自然規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式必然與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，這正是張量的重要作用。而這里的協(xié)變性與協(xié)變矢量、協(xié)變張量沒有任何關(guān)聯(lián)。在場論中可以對不同時空點(diǎn)的場作獨(dú)立的變換，相應(yīng)的群元素是時空坐標(biāo)的函數(shù)，這種變換稱為定域規(guī)范變換，常簡稱為規(guī)范變換。物理定律（方程）在定域變換下不變，我們就稱為定律具有規(guī)范不變性。當(dāng)物理規(guī)律（方程）在定域規(guī)范變換下沒有不變性或者說在對物理規(guī)律（方程）進(jìn)行定域規(guī)范變換時，物理規(guī)律（方程）發(fā)生變化，不再具有不變性。為了保證描寫的物理規(guī)律（方程）在某種對稱變換下具有不變性，引入一個或一些新場，則可以恢復(fù)其規(guī)范不變性。這些場被稱為規(guī)范場。亦即規(guī)范變換不是隨意的，而是由被變換的物質(zhì)體系的各種性質(zhì)決定的，這些變換所遵循的規(guī)則使全體變換構(gòu)成了一個規(guī)范場的規(guī)范群。為了得到在某種變換下保持不變的物理規(guī)律理論要求存在一種規(guī)范場，所謂規(guī)范場就是傳遞相互作用的場，不同的規(guī)范場傳遞不同的相互作用。不難看出，一個物理規(guī)律（方程）的對稱性與其協(xié)變性、規(guī)范不變的關(guān)系是統(tǒng)一的，對稱性是最根本的，共同的。規(guī)范不變和協(xié)變性是對稱性的具體體現(xiàn)，協(xié)變性是一種對稱性，規(guī)范不變性也是一種對稱性，它們既有相同點(diǎn)又有不同點(diǎn)，一個物理規(guī)律同時可以有多種對稱性，如規(guī)范不變性和協(xié)變性。SU(N)變換首先是協(xié)變的，然后滿足規(guī)范不變的，廣義相對論既滿足協(xié)變性又滿足某種規(guī)范不變性。愛因斯坦認(rèn)為：當(dāng)我們的知識之圓擴(kuò)大之時，我們所面臨的未知的圓周也一樣。我認(rèn)為只有大膽的臆測（主觀地推測、猜測、憑想象揣測），而不是事實(shí)的積累，才能引領(lǐng)我們往前邁進(jìn)。流體力學(xué)有一些基本假設(shè)，基本假設(shè)以方程的形式表示。例如，在三維的不可壓縮流體中，質(zhì)量守恒的假設(shè)的方程如下:在任意封閉曲面(例如球體)中，由曲面進(jìn)入封閉曲面內(nèi)的質(zhì)量速率，需和由曲面離開封閉曲面內(nèi)的質(zhì)量速率相等。(換句話說，曲面內(nèi)的質(zhì)量為定值，曲面外的質(zhì)量也是定值)以上方程可以用曲面上的積分式表示。流體力學(xué)假設(shè)所有流體滿足以下的假設(shè):質(zhì)量守恒、動量守恒、連續(xù)體假設(shè)，在流體力學(xué)中常會假設(shè)流體是不可壓縮流體，也就是流體的密度為一定值。液體可以算是不可壓縮流體，氣體則不是。有時也會假設(shè)流體的黏度為零，此時流體即為非粘性流體。氣體常?？梢暈榉钦承粤黧w。若流體黏度不為零，而且流體被容器包圍(如管子)，則在邊界處流體的速度為零。一.連續(xù)性方程（質(zhì)量守恒）的推導(dǎo)連續(xù)性方程可由四種方法得到，分別為拉格朗日法下對有限體積和體積元應(yīng)用質(zhì)量守恒定律、在歐拉法下對有限體積應(yīng)用質(zhì)量守恒定律及在直角坐標(biāo)系中直接應(yīng)用質(zhì)量守恒定律。L法有限體積分析取體積為，質(zhì)量為的一定流體質(zhì)點(diǎn)團(tuán)，則有：（1）因?yàn)樗俣壬⒍鹊奈锢硪饬x是相對體積膨脹率及密度隨體導(dǎo)數(shù)，即：（2）（3）代入式（1）得（4）運(yùn)用奧高定理（5）得（6）上式即是連續(xù)性方程的積分形式。假定被積函數(shù)連續(xù)，而且體積是任意選取的，由此可知被積函數(shù)必須等于零，即：（7）或（8）在直角坐標(biāo)系中連續(xù)性方程為：（9）或（10）連續(xù)性方程（10）表明，密度變化（隨時間和位置）等于密度和體積變形的乘積。L法體積元分析考慮質(zhì)量為的體積元，對其用拉格朗日觀點(diǎn)，根據(jù)質(zhì)量守恒定律有：（11）（12）兩邊同除以，得（13）或?qū)懗桑?4）上式表明要維持質(zhì)量守恒定律，相對體積變化率必須等于負(fù)的相對密度變化率。1.3E法有限體積分析著眼坐標(biāo)空間，取空間中以面為界的有限體積，則稱面為控制面，為控制體。取外法線方向?yàn)榉ň€的正方向，為外法線方向的單位矢量?？紤]該體積內(nèi)流體質(zhì)量的變化，該變化主要以下兩方面原因引起。第一，通過表面有流體流出或流入，單位時間內(nèi)流出流入變化的總和為：（15）第二，由于密度場的不定常性（注意，歐拉觀點(diǎn)下空間點(diǎn)是固定的，密度的變化只由場的不定常性刻畫），單位時間內(nèi)體積的質(zhì)量將變化，變化量為：（16）上述兩者應(yīng)相等，即（17）由于體積是任意的，且被積函數(shù)連續(xù)，則（18）1.4E法直角坐標(biāo)系分析單位時間內(nèi)通過表面EFGH的通量為：通過表面ABCD的通量為：其他三對表面類似，另外，該控制體內(nèi)質(zhì)量的變化率為：則（19）特殊情況下的連續(xù)性方程：定常態(tài)：不可壓縮流體：下面將寫出它在曲線坐標(biāo)下的形式.因?yàn)? (20)所以 （21）將（21）式代入得到曲線坐標(biāo)下連續(xù)性方程的形式為： （22）二.歐拉方程的推導(dǎo)1755年，瑞士數(shù)學(xué)家L.歐拉在《流體運(yùn)動的一般原理》一書中首先提出這個方程。形如：(1)的方程稱為歐拉方程，其中為常數(shù)。歐拉方程的特點(diǎn)是：方程中各項未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與其乘積因子自變量的冪次相同。瑞士的歐拉采用了連續(xù)介質(zhì)的概念，把靜力學(xué)中壓力的概念推廣到運(yùn)動流體中，建立了歐拉方程，正確地用微分方程組描述了無粘流體的運(yùn)動。流體靜力學(xué)著重研究流體在外力作用下處于平衡狀態(tài)的規(guī)律及其在工程實(shí)際中的應(yīng)用。以地球作為慣性參考坐標(biāo)系，當(dāng)流體相對于慣性坐標(biāo)系靜止時或當(dāng)流體相對于非慣性參考坐標(biāo)系靜止時，稱流體處于靜止?fàn)顟B(tài)，兩者都表現(xiàn)不出黏性作用，即切向應(yīng)力都等于零。所以，流體靜力學(xué)中所得的結(jié)論，無論對實(shí)際流體還是理想流體都是適用的。流體靜壓強(qiáng)的特性1靜壓強(qiáng)的方向—沿作用面的內(nèi)法線方向2任一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方向無關(guān)，只與該點(diǎn)的位置有關(guān)由上圖可以推到出流體平衡微分方程式，即歐拉平衡方程當(dāng)流體處于平衡狀態(tài)時，單位體積質(zhì)量力在某一軸向上的分力，與壓強(qiáng)沿該軸的遞增率相平衡。這里的fx、fy、fz是流體質(zhì)量力在x、y、z軸上的投影，且質(zhì)量力中包含以下兩項：重力和慣性力。在這里如果假定fx、fy、fz僅僅是重力在三個坐標(biāo)軸上的投影，那么慣性力在x、y、z軸上的投影分別為:-du/dt，-dv/dt和-dw/dt。于是，上式便可寫成上式整理后可得：將加速度展開成歐拉表達(dá)式用矢量表示為，對于恒定流動，稱為流動歐拉運(yùn)動微分方程式。三.歐拉方程具有伽利略變換的不變性“對稱是美的化身”。李政道教授認(rèn)為：“物理定律一定是對稱的，失去的對稱性應(yīng)該到物理真空中去找”。這足以說明，對稱性是物理學(xué)中廣泛存在的一種美的屬性。對稱性既是愛因斯坦科學(xué)研究的一種方法論原則，又是他科學(xué)創(chuàng)造的一個美學(xué)思想。在理想流體力學(xué)中動力學(xué)基本方程是歐拉方程：或下面證明歐拉方程在慣性坐標(biāo)系變換下的協(xié)變性：在方程（1）中G、ρ、P、t是不變量，可直接變換為G/、ρ/、P/、t/；v變換為v/+u。其中u是常矢，故再考慮算符▽的坐標(biāo)變換，單位矢i、j、k都是不變量，可用i/、j/、k/代入，y、z用y/、z/代入。但，當(dāng)算符▽所作用場量為壓強(qiáng)P時，t與x可認(rèn)為是獨(dú)立坐標(biāo)，從而當(dāng)算符▽作用于場量v時，t與x是相關(guān)的，，從而-----（2）將（2）式代入歐拉方程最終變換為：?？梢姎W拉方程在x/系中的形式與在x系中形式完全相同。歐拉方程在慣性坐標(biāo)系變換下協(xié)變是意料中的，因?yàn)闅W拉方程是牛頓運(yùn)動定律在流體力學(xué)中的表達(dá)，而牛頓運(yùn)動定律對伽利略變換是協(xié)變的，故對歐拉方程自然也協(xié)變。四.納斯—斯托克斯方程（N—S方程）在所有的慣性系都成立19世紀(jì)工程師們?yōu)榱私鉀Q許多工程問題，尤其是要解決帶有粘性影響的問題。于是他們部分地運(yùn)用流體力學(xué)，部分地采用歸納實(shí)驗(yàn)結(jié)果的半經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行研究，這就形成了水力學(xué)，至今它仍與流體力學(xué)并行地發(fā)展。1822年，納維建立了粘性流體的基本運(yùn)動方程;1845年，斯托克斯又以更合理的基礎(chǔ)導(dǎo)出了這個方程，并將其所涉及的宏觀力學(xué)基本概念論證得令人信服。這組方程就是沿用至今的納維-斯托克斯方程(簡稱N-S方程)，它是流體動力學(xué)的理論基礎(chǔ)。上面說到的歐拉方程正是N-S方程在粘度為零時的特例。普朗特學(xué)派從1904年到1921年逐步將N-S方程作了簡化，從推理、數(shù)學(xué)論證和實(shí)驗(yàn)測量等各個角度，建立了邊界層理論，能實(shí)際計算簡單情形下，邊界層內(nèi)流動狀態(tài)和流體同固體間的粘性力。同時普朗克又提出了許多新概念，并廣泛地應(yīng)用到飛機(jī)和汽輪機(jī)的設(shè)計中去。這一理論既明確了理想流體的適用范圍，又能計算物體運(yùn)動時遇到的摩擦阻力。使上述兩種情況得到了統(tǒng)一。首先根據(jù)動量定理推導(dǎo)與坐標(biāo)系選取無關(guān)的微分形式的方程：任取一體積為QUOTE的流體如圖1所示，設(shè)其邊界面為，根據(jù)動量定理，體積中流體動量的變化率等于作用在該體積上質(zhì)量力和面力之和.以表示作用在單位質(zhì)量上的質(zhì)量力分布函數(shù)，而表示作用于單位面積上的面力分布函數(shù).圖1則作用在上和上的總質(zhì)量力和面力為圖1及其次，體積內(nèi)的動量是于是，動量定理可寫成下列表達(dá)式： （1）利用公式，得：(2)再利用的是高斯公式得： （3）其中是應(yīng)力張量.將（2）和（3）式代入（1）式，整理得：因任意，且假定被積函數(shù)連續(xù)，由此推出被積函數(shù)恒為0，即（4）（4）式就是微分形式的動量方程，易見，它與坐標(biāo)系的選取無關(guān)，下面將寫出它在曲線坐標(biāo)下的形式.因?yàn)椋? （5）上式中利用到等式：，，現(xiàn)在進(jìn)一步處理（5）式右端的第二項 ，根據(jù)定義有故 （6）又 （7）考慮到：（8）（9）（10）將上面的（8）式代入（7）中，整理得， 同理 將，，表達(dá)式代入（6）式，得（11）因?yàn)?，所以速度的隨體導(dǎo)數(shù)同理可得所以（11）式可簡化為至此，我們將表示成曲線坐標(biāo)系下的形式了.在曲線坐標(biāo)系下表示成:最后，我們將表示成曲線坐標(biāo)系下的形式.應(yīng)力張量：，共九個量可以證明應(yīng)力張量是對稱張量，所以也可以將寫成其在曲線坐標(biāo)面上表示為由式得： （12）其中同樣把、、用（8）式代替得 （13）考慮到因此可將（13）式化為：同理：將以上三式代入（12）式，得 （14）至此，已將、、全部表示成曲線坐標(biāo)系下的形式，將其都代入（4）式，并考慮對應(yīng)項相等原則，有 （15b） （15c）（15）式就是曲線坐標(biāo)系下的方程的具體形式.類似地，讀者可以證明流體力學(xué)中的蘭姆型的理想流體運(yùn)動方程、柯西-拉格朗日定理、蘭姆霍茲方程等流體動力學(xué)都滿足伽利略變換，在此從略。所有自然規(guī)律都只是近似的……是表現(xiàn)我們現(xiàn)有知識狀態(tài)的近似。數(shù)學(xué)感興趣的規(guī)則也正是自然界所選擇的規(guī)則?；镜奈锢硪?guī)律是以美和有力的方式來描述的，這是自然界的基本特征。我想我正是和這一概念（優(yōu)美的數(shù)學(xué)）一起來到這個世界的。這種對數(shù)學(xué)美的欣賞曾支配著我們的全部工作。這是我們的一種信條……這對我們像是一種宗教，奉行這種宗教是很有益的，可以把它看成是我們許多成功的基礎(chǔ)。凡是在數(shù)學(xué)上是美的在描述在基本物理學(xué)方面就很可能是有價值的。這實(shí)在是比以前任何思想都需要更加基本的思想，描述基本物理理論的數(shù)學(xué)方程中必須有美。今天我覺得在物理學(xué)中，人們最好的出發(fā)點(diǎn)是假定物理學(xué)務(wù)必要建立在優(yōu)美的方程式上。應(yīng)當(dāng)學(xué)會在自己的思想中能不參照數(shù)學(xué)形式而掌握物理概念，并盡可能地了解數(shù)學(xué)形式的物理意義。研究者在他把基本的自然規(guī)律以數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來的努力中應(yīng)當(dāng)力爭數(shù)學(xué)美。很有可能物理學(xué)的下一個進(jìn)展是沿著這樣的路線：人們首先方程，并且需要若干年的發(fā)展以找出這個方程背后的物理思想。抓住不變量與變換式之間的矛盾，并通過不斷擴(kuò)大變換的不變性，來解決二者的矛盾，從而達(dá)到改革舊理論，發(fā)展新理論的目的。進(jìn)一步前進(jìn)的方向是使我們的方程在越來越廣泛的變換中具有不變性。五.流體力學(xué)中能量守恒定律在所有的慣性系都成立首先根據(jù)能量守恒定律推導(dǎo)與坐標(biāo)系選取無關(guān)的微分形式的能量方程：任取一包含點(diǎn)的體積為的流體，設(shè)其界面為，為的外法線單位矢量，如圖2。則能量守恒定律可以表述為：體積內(nèi)流體的動能和內(nèi)能的改變率等于單位時間內(nèi)質(zhì)量力和面力所作的功加上單位時間內(nèi)給予體積的熱量，容易看到，體積內(nèi)動能和內(nèi)能總和是：，其中是單位質(zhì)量的內(nèi)能，而質(zhì)量力和面力所作的功則是及。單位時間內(nèi)由于熱傳導(dǎo)通過表面?zhèn)鹘o內(nèi)的熱量是，其中為熱傳導(dǎo)系數(shù)，故單位時間內(nèi)由于熱傳導(dǎo)通過傳入的熱量為。單位時間內(nèi)由于輻射或其它原因傳入的總熱量為，其中為由于輻射或其它原因在單位時間內(nèi)傳入單位質(zhì)量的熱量分布函數(shù)。能量守恒定律可以寫為： （1）根據(jù)公式（2），將上式中的隨體導(dǎo)數(shù)改寫為：此外根據(jù)奧高公式將（1）中的面積分化為體積分：于是（1）式可以寫為：因任意，且假定被積函數(shù)連續(xù)，由此推出被積函數(shù)恒為0，即： （2）雖然（2）式是微分形式的方程，但是不夠簡潔。下面我們推到更簡潔的能量方程。 因?yàn)槭菍ΨQ張量，所以有： ……（3）由張量分解定理得：可以寫成： （4）其中為對稱張量，為反對稱張量。從而（3）可以改寫為：（5）又因?yàn)椋瑒t（5）可以改寫為：（6），將（6）代入（2）得：（7）在式左右兩邊點(diǎn)乘速度矢量，得：即： （8）將上式代入得：（9）雖然（9）式也是微分形式的方程，但是為了更好地寫出曲線坐標(biāo)下的形式，繼續(xù)利用本構(gòu)方程(在下一小節(jié)進(jìn)行推導(dǎo))寫出另一種微分形式的方程。將本構(gòu)方程代入中有：定義（10）為耗損函數(shù)并將其代入上式得：當(dāng)斯托克頓假設(shè)成立時有，將其代入（9）得：利用連續(xù)性方程得：，于是有： （11）由熱力學(xué)知識有：，為熵。將其代入上式得：（12）到處我們已經(jīng)推到出了我們所需要的能量方程了，下面將寫出它在曲線坐標(biāo)下的具體形式：先寫出的具體形式，再寫出的具體形式就可以寫出（12）的具體形式。因?yàn)?，再根?jù)有：（13）要寫出的具體形式必須先寫出對稱張量在曲線坐標(biāo)系下的形式。我們首先推導(dǎo)的表達(dá)式，過點(diǎn)做正交曲線坐標(biāo)系，在坐標(biāo)軸上取流體質(zhì)點(diǎn)組成的線段元，如右圖。于是：將代入代入上式得：由此推出于是其次我們有下標(biāo)1和2輪換得：兩式相加得：由此得：采取下標(biāo)輪換得方法可得及，綜合起來得到在曲線曲線坐標(biāo)下的形式： （14）另外（15）分別將（14）和（15）式代入（10），即可得出在曲線坐標(biāo)系下的具體形式。將在曲線坐標(biāo)系下的具體形式和（13）代入（12）即可得出能量方程在曲線坐標(biāo)系下的形式為：（16）其中由（14）和（15）決定。根據(jù)上面的推導(dǎo)可以看出，流體中能量守恒定律在所有的慣性系都成立，伯努利方程是能量守恒定律在流體中體現(xiàn)形式，所以伯努利方程在所有的慣性系都成立。經(jīng)典力學(xué)中的相對性原理實(shí)際上就是指協(xié)變性問題，力學(xué)相對性原